Phương pháp quỵ nạp toán học

Sách giáo khoa đại số và giải tích 11

Phương pháp quỵ nạp toán họcPhương pháp quỵ nạp toán họcPhương pháp quỵ nạp toán họcPhương pháp quỵ nạp toán họcPhương pháp quỵ nạp toán học

Phương pháp quỵ nạp toán học –

Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), O(n) đúng hay sai ? b) Với mọi n = N thì P(n), Q(n) đúng hay sai ? Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n = N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau : Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k > 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n = 1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n = 1 + 1 = 2. Vì nó đúng với n = 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n = 2 + 1 = 3, … Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n = N.II – VÍ DU ÁP DUNGVí dụ I. Chứng minh rằng với n = N thì1 + 3 +5+…+(2n – 1) = n. (1) Giaii Bước 1. Khi n = 1, vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 12. Vậy hệ thức (1) đúng.Bước 2. Đặt vế trái bằng Sa. Giả sử đẳng thức đúng với n = k > 1, nghĩa là &= 1+3+5 +…+ (2k – 1) = k” (giả thiết quỵ nạp). Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là S = 1 + 3 +5+…+(2k-1)+(2(k+1)- 1) = (k+1). Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có S = S + [2(k+1)- 1) = k + 2 + 1 = (k+1).Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n = N'”. na然 2 Chứng minh rằng với n = N th〔-°Ví dụ 2. Chứng minh rằng với n = N” thì n” – n chia hết cho 3. Giải Đất A,= n”-n. Bước 1. Với n = 1, ta có A = 0:3. Bước 2. Giả sử với n = k > 1 ta có A = (k = k): 3 (giả thiết quy nạp). Ta phải chứng minh AK11 : 3. Thật vậy, ta có A = (k+1)- (k+1) = k + 3 + 3 + 1 – k-1=(k-k) +3(k+ k)= A +3(k+ k). Theo giả thiết quy nạp Ak : 3, hơn nữa, 3(k° + k): 3 nên A. : 3. Vậy An = n” – n chia hết cho 3 với mọi n = N’. In6-ĐAI SỐ & G|ẢI TÍCH 11-A813.CHÚ Ý Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n >p (p là một số tự nhiên) thì: * Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh để đúng với n = p; * Ở bước 2, ta giả thiết mệnh để đúng với số tự nhiên bất kì n = ki>p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.3Cho hai số 3″ và 8n với n = N’.a) So sánh 3″ với 8n khi n = 1,2,3,4,5,ܬ݁ܶܚܐ ܚܐ “.ܥܝܬܚ ܬ. . ܬܓ… ܝܨ 1 ܩ – ܪ – ܫ – ܦ- ܝ – ܖ ܧ r чuy 1 içар.Bời tộpChứng minh rằng với n = N”, ta có các đẳng thức:02-3-8—n-1 – b) + 1 + 1 +…+ 1 = 2 1 2 4 8 2″ 2″9 r. ? ?. ? – men tent 1).Chứng minh rằng với n = Ν”, ta cό :a) — + 5n chia hết cho 3 :b).4”+ 15n – 1 chia hết cho 9;c) chia hết cho 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 2, ta có các bất đẳng thức:+1a) 3″> 3n+1 ; b) 2”’ > 2n +3.6-ĐAI SỐ & GIAI TÍCH 11-B4.5Cho tổng S, = + 1 +…+ – với n = N’. 1.2 2.3 n(n+1) a) Tính S1, S2, Sვ.b) Dự đoán công thức tính tổng S, và chứng minh bằng quy nạp.Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là (3)BAN CÔ B IÊ T ? SUY LUÂN QUY NAPNgười ta thường phân biệt hai hình thức suy luận, đó là suy diễn và quy nạp. Suy diễn hay còn gọi là phép suy diễn là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể. Chẳng hạn, từ định lí “Mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 đều chia hết cho 5”, ta suy ra 135 và 170 chia hết cho 5. Trong suy diễn, nếu mệnh đề tổng quát là đúng thì kết luận có được bao giờ cũng đúng.*Còn quy nạp hay còn gọi là phép quy nạp lại đi từ cái riêng đến cái chung, từ cụ thể đến tổng quát.Ví dụ: So sánh các số A(n) = 10′ ‘ với B(n) = 2004 + n, trong đó n = N”. Bằng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta có:A(1) < B(1): A(2) < B(2): A(3) < B(3): A(4) < B(4). Từ đây, ta kết luận"10" '''<2004 + n với mọi n <4" (1) Rõ ràng kết luận này đúng. Tuy nhiên, cũng từ kết quả của phép thử trên, nếu vội kết luận:"10" '''< 2004 + n với mọi n = N'" (2) thì lại sai lầm vì với n = 5 ta có:10'> 2004 + 5 (tương tự, với n = 6, 7, 8,…). Đến đây, nếu kết luận tiếp:”10″” > 2004 + n với mọi n > 5″. (3) sau đó với phép thử, cho dù có nhận được kết quả đúng với n bằng bao nhiêu chăng nữa thì vẫn không thể coi là đã chứng minh được mệnh đề (3).83Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là (n(n – 3))/2.

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bình luận