Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 12
• Sách giáo khoa hình học 12
• Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao
• Giải Toán Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Giải Toán Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 3.31 trang 130 Sách bài tập Hình học 12: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a) Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương a→ = (3; 3; 1);

b) Δ đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x – y + z + 9 = 0

c) Δ đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)

Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương

a→ = (3; 3; 1) là:

Phương trình chính tắc của Δ là:

b) Δ ⊥ (α) ⇒ a_Δ→ = a_α→ = (2; −1; 1)

Phương trình tham số của Δ là

Phương trình chính tắc của Δ là:

c) Δ đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương CD→ = (1; 2; 3)

Vậy phương trình tham số của Δ là

Phương trình chính tắc của Δ là:

Bài 3.32 trang 130 Sách bài tập Hình học 12: Viết phương trình của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α): x + 2z = 0 và cắt hai đường kính

và

Lời giải:

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d₁ và d₂ với (α). Đường thẳng Δ cần tìm chính là đường thẳng AB.

Ta có: A(1 − t; t; 4t) ∈ d₁

A ∈ (α) ⇔ t + 4.(2t) = 0 ⇔ t = 0

Suy ra: A(1; 0; 0)

Ta có : B(2 − t′; 4 + 2t′; 4) ∈ d2

B ∈ (α) ⇔ 4 +2t′ + 8 = 0 ⇔ t′ = −6

Suy ra B(8; -8; 4)

Δ đi qua A, B nên có vecto chỉ phương a_Δ→− = AB→ = (7; −8; 4)

Phương trình chính tắc của Δ là:

Bài 3.33 trang 130 Sách bài tập Hình học 12: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a)

và

b)

c)

Lời giải:

a) d và d’ cắt nhau.

b) d và d’ song song.

c) d và d’ chéo nhau.

Bài 3.34 trang 130 Sách bài tập Hình học 12: Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

Lời giải:

Ta có a_d→ = (1; a; −1) và a_d’→ = (2; 4; −2)

d//d′

⇒ a = 2

Khi đó M′₀(1; 2; 2) thuộc d’ và M’₀ không thuộc d. Vậy d // d’ ⇔ a = 2.

Bài 3.35 trang 130 Sách bài tập Hình học 12: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau

a) và (α): x + 2y + z – 3 = 0

b) và (α): x + z + 5 = 0

c) và (α): x + y + z -6 = 0

Lời giải:

a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) ta được: t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0

⇔ 4t = 0 ⇔ t = 0

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại M₀(0; 1; 1).

b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của (α) ta được: (2 – t) +(2 + t) + 5 = 0 ⇔ 0t = -9

Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với (α)

c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của (α) ta được: (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⇔ 0t = 0

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong (α) .

Bài 3.36 trang 131 Sách bài tập Hình học 12: Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng Δ:

Lời giải:

Đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương a→ = (2; 2; 1).

Ta có M₀A→ = (0; 0; 1), n→ = a→ ∧ M₀A→ = (2; −2; 0).

Vậy khoảng cách từ điểm A đến Δ là

Bài 3.37 trang 131 Sách bài tập Hình học 12: Cho đường thẳng:

và mặt phẳng (α) : 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng Δ song song với (α).

b) Tính khoảng cách giữa Δ và (α)

Lời giải:

a) Ta có: a_Δ→ = (2; 3; 2) và n_α→ = (2; −2; 1)

a_Δ→.n_α→ = 4 – 6 + 2 = 0 (1)

Xét điểm M₀(-3; -1; -1) thuộc Δ , ta thấy tọa độ M₀ không thỏa mãn phương trình của (α) . Vậy M₀ ∉ (α) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra Δ // (α).

b) d(α,(α)) = d(M₀,(α))

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng α và mặt phẳng (α) là 2/3.

Bài 3.38 trang 131 Sách bài tập Hình học 12:

Lời giải:

a) Gọi (α) là mặt phẳng chứa Δ và song song với Δ′. Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: a→ = (1; −1; 0) và a’→ = (−1; 1; 1). Suy ra n_α→ = (−1; −1; 0)

(α) đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc Δ và có vecto pháp tuyến: n_α’→ = (1; 1; 0)

Vậy phưong trình của mặt phẳng (α) có dạng x – 1 + y + 1 = 0 hay x + y = 0

Ta có: M₂(2; 2; 0) thuộc đường thẳng Δ′

b) Hai đường thẳng Δ và Δ′ có phương trình là:

Phương trình mặt phẳng (α) chứa Δ và song song với Δ′ là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên Δ′ .

Ta có:

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là

Bài 3.39 trang 131 Sách bài tập Hình học 12: Cho hai đường thẳng

a) Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ′;

b) Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′.

Lời giải:

a) Δ đi qua điểm M₀(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương a→ = (2; 1; −2)

Δ′ đi qua điểm M₀’ (-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương a’→ = (−4; −2; 4)

Ta có:

Vậy Δ′ song song với Δ

b) Ta có M₀M′₀→ = (−3; 4; −5)

a→ = (2; 1; −2)

n→ = M₀M′₀→ ∧ a→ = (−3; −16; −11)

Bài 3.40 trang 131 Sách bài tập Hình học 12: Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ;

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ.

Lời giải:

a) Phương trình tham số của Δ:

Xét điểm H(1 + 2t; −1 − t; 2t) ∈ Δ

Ta có MH→ = (2t − 1; −t; 2t − 1)

a_Δ→ = (2; −1; 2)

H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ ⇔ MH→. a_Δ→ = 0

⇔ 2(2t − 1) + t + 2(2t − 1) = 0 ⇔ t = 4/9

Ta suy ra tọa độ điểm

b) H là trung điểm của MM’, suy ra x_M’ + x_M = 2x_H

Suy ra

Tương tự, ta được

Vậy

Bài 3.41 trang 132 Sách bài tập Hình học 12: Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng (α): 2x – y + 2z + 12 = 0

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α) ;

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α) .

Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(1; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – y + 2z + 12 = 0 là:

Δ

Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t; 2 + 2t) ∈ Δ

Ta có H ∈ (α) ⇔ 2(1 + 2t) + (1 + t) + 2(2 + 2t) + 12 = 0 ⇔ t = −19/9

Vậy ta được

b) H là trung điểm của MM’, suy ra x_M′ = 2x_H – x_M = −67/9

y_M′ = 2y_H – y_M = 29/9

z_M′ = 2z_H – z_M = −58/9

Vậy ta được

Bài 3.42 trang 132 Sách bài tập Hình học 12: Cho hai đường thẳng:

và

Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d:

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’lần lượt là a→ = (−1; 2; 3), a’→ = (1; −2; 0).

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’; 1) trên d’ ta có MM’→ = (t′ + t; 1 − 2t′ − 2t; 1 − 3t).

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là

Do đó MM’→ =

Suy ra đường vuông góc chung Δ của d và d’ có vecto chỉ phương u→ = (2; 1; 0)

Vậy phương trình tham số của Δ là:

Bài 3.43 trang 132 Sách bài tập Hình học 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’.

Lời giải:

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ, CD→ = ai→; CB→ = aj→; CC’→ = ak→

Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a; 0; 0), D’(a; 0; a)

CA’→ = (a; a; a),
DD’→ = (0; 0; a)

Gọi (α) là mặt phẳng chứa CA’→ và song song với DD’→. Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến là: n→ = CA’→ ∧ DD’→ = (a²; −a²; 0) hay x – y = 0

Phương trình tổng quát của (α) là x – y = 0.

Ta có:

d(CA′, DD′) = d(D,(α)) =

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’ là

Bài 3.44 trang 132 Sách bài tập Hình học 12: Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + z – 1 = 0

và đường thẳng

Gọi M là giao điểm của d và (α), hãy viết phương trình của đường thẳng Δ đi qua M vuông góc với d và nằm trong (α)

Lời giải:

Xét phương trình:

2(1 + 2t) + (t) + (−2 – 3t) – 1 = 0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t = 1/2

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại điểm M(2; 1/2; −7/2).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là n_α→ = (2; 1; 1) và a_d→ = (2; 1; −3).

Gọi a_Δ→ là vecto pháp tuyến của Δ, ta có a_Δ→ ⊥ n_α→ và a_Δ→ ⊥ a_d→.

Suy ra a_Δ→ = n_α→ ∧ n_d→ = (−4; 8; 0) hay a_Δ→ = (1; −2; 0)

Vậy phương trình tham số của Δ là

Bài 3.45 trang 132 Sách bài tập Hình học 12:

và

a) Chứng minh rằng d₁ và d₂ cùng nằm trong một mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình của (α).

Lời giải:

a) Ta có ad₁→ = (2; −3; 4) và ad₂→ = (3; 2; −2)

n→ = ad₁→ ∧ ad₂→ = (−2; 16; 13)

Lấy điểm M₁(1; -2; 5) trên d₁ và điểm M₂(7; 2; 1) trên d₂.

Ta có M₁M₂→ = (6; 4; −4)

n→. M₁M₂→ = −12 + 64 – 52 = 0

Suy ra d₁ và d₂ cùng nằm trong mặt phẳng (α)

b) Mặt phẳng (α) chứa M₁ và có vecto pháp tuyến là n→, vậy phương trình của (α) là:

–2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0 – 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0 hay 2x – 16y – 13z + 31 = 0