Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Cánh Diều: tại đây
Câu hỏi khởi động trang 67 Toán lớp 10 Tập 2:
Làm thế nào để xác định được tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm trên?
Lời giải:
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán này như sau:
Gọi T(x; y) là vị trí máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ (0 ≤ t ≤ 3).
Ta có:
A
T
→
=
x
−
400
;
y
−
50
;
A
B
→
=
100
−
400
;
450
−
50
=
−
300
;
400
.
Theo bài ra có thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ, suy ra tọa độ máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ chính là tại vị trí T sao cho
A
T
→
=
t
3
A
B
→
.
Ta có:
t
3
A
B
→
=
t
3
−
300
;
400
=
t
3
.
−
300
;
t
3
.400
=
−
100
t
;
400
t
3
Khi đó:
A
T
→
=
t
3
A
B
→
⇔
x
−
400
;
y
−
50
=
−
100
t
;
400
t
3
Vậy tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ là
T
400
−
100
t
;
50
+
400
t
3
với (0 ≤ t ≤ 3).
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Hoạt động 1 trang 67 Toán lớp 10 Tập 2:
u
→
=
x
1
;
y
1
và
v
→
=
x
2
;
y
2
.
a) Biểu diễn các vectơ
u
→
,
v
→
theo hai vectơ
i
→
và
j
→
.
b) Biểu diễn các vectơ
u
→
+
v
→
,
u
→
−
v
→
,
k
u
→
(k ∈ ℝ) theo hai vectơ
i
→
và
j
→
.
c) Tìm tọa độ các vectơ
u
→
+
v
→
,
u
→
−
v
→
,
k
u
→
(k ∈ ℝ).
Lời giải:
a) Do
u
→
=
x
1
;
y
1
và
v
→
=
x
2
;
y
2
nên
u
→
=
x
1
i
→
+
y
1
j
→
,
v
→
=
x
2
i
→
+
y
2
j
→
.
b) Để biểu diễn vectơ
u
→
+
v
→
theo hai vectơ
i
→
và
j
→
, ta làm như sau:
Do
u
→
=
x
1
i
→
+
y
1
j
→
,
v
→
=
x
2
i
→
+
y
2
j
→
, vậy nên:
u
→
+
v
→
=
x
1
i
→
+
y
1
j
→
+
x
2
i
→
+
y
2
j
→
=
x
1
i
→
+
x
2
i
→
+
y
1
j
→
+
y
2
j
→
=
x
1
+
x
2
i
→
+
y
1
+
y
2
j
→
Tương tự, ta có:
u
→
−
v
→
=
x
1
i
→
+
y
1
j
→
−
x
2
i
→
+
y
2
j
→
=
x
1
i
→
−
x
2
i
→
+
y
1
j
→
−
y
2
j
→
=
x
1
−
x
2
i
→
+
y
1
−
y
2
j
→
.
k
u
→
=
k
x
1
i
→
+
y
1
j
→
=
k
x
1
i
→
+
k
y
1
j
→
=
k
x
1
i
→
+
k
y
1
j
→
(k ∈ ℝ).
c) Do
u
→
+
v
→
=
x
1
+
x
2
i
→
+
y
1
+
y
2
j
→
nên tọa độ vectơ
u
→
+
v
→
là (x1 + x2; y1 + y2).
Do
u
→
−
v
→
=
x
1
−
x
2
i
→
+
y
1
−
y
2
j
→
nên tọa độ vectơ
u
→
−
v
→
là (x1 – x2; y1 – y2).
Do
k
u
→
=
k
x
1
i
→
+
k
y
1
j
→
nên tọa độ vectơ
k
u
→
là (kx1; ky1) với (k ∈ ℝ).
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 68 Toán lớp 10 Tập 2:
a) Cho
u
→
=
−
2
;
0
,
v
→
=
0
;
6
,
w
→
=
−
2
;
3
. Tìm tọa độ của vectơ
u
→
+
v
→
+
w
→
.
b) Cho
u
→
=
3
;
0
,
v
→
=
0
;
−
7
. Tìm tọa độ của vectơ
w
→
sao cho
w
→
+
u
→
=
v
→
.
Lời giải:
a) Ta có:
u
→
+
v
→
+
w
→
= ((– 2) + 0 + (– 2); 0 + 6 + 3). Vậy
u
→
+
v
→
+
w
→
= (– 4; 9).
b) Ta có:
w
→
+
u
→
=
v
→
⇔
w
→
=
v
→
−
u
→
⇔
w
→
=
0
−
3
;
−
7
−
0
. Vậy
w
→
=
−
3
;
−
7
.
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Luyện tập 2 trang 68 Toán lớp 10 Tập 2:
Lời giải:
Gọi C(xC; yC) là vị trí máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ.
Ta có:
A
C
→
=
x
C
−
400
;
y
C
−
50
;
A
B
→
=
100
−
400
;
450
−
50
=
−
300
;
400
.
Theo bài ra có thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ, suy ra tọa độ máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ chính là tại vị trí C sao cho
A
C
→
=
2
3
A
B
→
.
Ta có:
2
3
A
B
→
=
2
3
−
300
;
400
=
2
3
.
−
300
;
2
3
.400
=
−
200
;
800
3
Khi đó:
A
C
→
=
2
3
A
B
→
⇔
x
C
−
400
;
y
C
−
50
=
−
200
;
800
3
Vậy tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ là
C
200
;
950
3
.
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Hoạt động 2 trang 69 Toán lớp 10 Tập 2:
a) Biểu diễn vectơ
O
M
→
theo hai vectơ
O
A
→
và
O
B
→
.
b) Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.
Lời giải:
a) Vì M là trung điểm của AB nên với điểm O, ta có
O
A
→
+
O
B
→
=
2
O
M
→
hay
O
M
→
=
1
2
O
A
→
+
O
B
→
=
1
2
O
A
→
+
1
2
O
B
→
.
b) Tọa độ của vectơ
O
A
→
chính là tọa độ của điểm A(xA; yA) nên
O
A
→
=
x
A
;
y
A
.
Tọa độ của vectơ
O
B
→
chính là tọa độ của điểm B(xB; yB) nên
O
B
→
=
x
B
;
y
B
.
Ta có:
1
2
O
A
→
=
1
2
x
A
;
y
A
=
1
2
x
A
;
1
2
y
A
;
1
2
O
B
→
=
1
2
x
B
;
y
B
=
1
2
x
B
;
1
2
y
B
.
Do đó:
O
M
→
=
1
2
O
A
→
+
1
2
O
B
→
=
1
2
x
A
+
1
2
x
B
;
1
2
y
A
+
1
2
y
B
.
Tọa độ của vectơ
O
M
→
chính là tọa độ của điểm M.
Vậy tọa độ của điểm M là M
x
A
+
x
B
2
;
y
A
+
y
B
2
.
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Luyện tập 3 trang 69 Toán lớp 10 Tập 2:
Lời giải:
Gọi tọa độ điểm B(xB; yB).
Vì M là trung điểm của AB nên
x
M
=
x
A
+
x
B
2
;
y
M
=
y
A
+
y
B
2
.
Vậy tọa độ điểm B là B(8; 10).
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Hoạt động 3 trang 69 Toán lớp 10 Tập 2:
a) Biểu diễn vectơ
O
G
→
theo ba vectơ
O
A
→
,
O
B
→
và
O
C
→
.
b) Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.
Lời giải:
a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm O ta có
O
A
→
+
O
B
→
+
O
C
→
=
3
O
G
→
hay
O
G
→
=
1
3
O
A
→
+
O
B
→
+
O
C
→
=
1
3
O
A
→
+
1
3
O
B
→
+
1
3
O
C
→
.
b) Tọa độ của vectơ
O
A
→
chính là tọa độ của điểm A(xA; yA) nên
O
A
→
=
x
A
;
y
A
.
Tọa độ của vectơ
O
B
→
chính là tọa độ của điểm B(xB; yB) nên
O
B
→
=
x
B
;
y
B
.
Tọa độ của vectơ
O
C
→
chính là tọa độ của điểm C(xC; yC) nên
O
C
→
=
x
C
;
y
C
.
Ta có:;
1
3
O
B
→
=
1
3
x
B
;
y
B
=
1
3
x
B
;
1
3
y
B
,
1
3
O
C
→
=
1
3
x
C
;
y
C
=
1
3
x
C
;
1
3
y
C
Do đó:
O
G
→
=
1
3
O
A
→
+
1
3
O
B
→
+
1
3
O
C
→
=
1
3
x
A
+
1
3
x
B
+
1
3
x
C
;
1
3
y
A
+
1
3
y
B
+
1
3
y
C
.
Tọa độ của vectơ
O
G
→
chính là tọa độ của điểm G.
Vậy tọa độ của điểm G là G
x
A
+
x
B
+
x
C
3
;
y
A
+
y
B
+
y
C
3
.
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Luyện tập 4 trang 69 Toán lớp 10 Tập 2:
a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Lời giải:
a) Ta có:
A
B
→
=
1
−
−
1
;
5
−
1
=
2
;
4
,
A
G
→
=
1
−
−
1
;
2
−
1
=
2
;
1
.
Vì
2
2
≠
4
1
nên
A
B
→
≠
k
A
G
→
.
Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.
b) Gọi tọa độ điểm C(xC; yC).
Vậy tọa độ điểm C là C(3; 0).
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Hoạt động 4 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2:
i
→
và
j
→
là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy.
a) Tính
i
→
2
;
j
→
2
;
i
→
,
j
→
.
b) Cho
u
→
=
x
1
;
y
1
,
v
→
=
x
2
;
y
2
. Tính tích vô hướng của
u
→
.
v
→
.
Lời giải:
a) Ta có:
i
→
2
=
i
→
2
=
1
;
j
→
2
=
j
→
2
=
1
;
i
→
.
j
→
=
0
(vì , do hai trục tọa độ vuông góc với nhau).
b) Vì
u
→
=
x
1
;
y
1
,
v
→
=
x
2
;
y
2
.
Nên ta có:
u
→
=
x
1
i
→
+
y
1
j
→
;
v
→
=
x
2
i
→
+
y
2
j
→
.
Do đó
u
→
.
v
→
=
x
1
i
→
+
y
1
j
→
.
u
→
=
x
2
i
→
+
y
2
j
→
=
x
1
x
2
.
i
→
2
+
x
1
y
2
.
i
→
.
j
→
+
y
1
x
2
.
j
→
.
i
→
+
y
1
y
2
.
j
→
2
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
(do
i
→
2
=
i
→
2
=
1
;
j
→
2
=
j
→
2
=
1
;
i
→
.
j
→
=
j
→
.
i
→
=
0
)
Vậy
u
→
.
v
→
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
.
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Bài 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2:
a
→
=
−
1
;
2
,
b
→
=
3
;
1
,
c
→
=
2
;
−
3
.
a) Tìm tọa độ vectơ
u
→
=
2
a
→
+
b
→
−
3
c
→
.
b) Tìm tọa độ của vectơ
x
→
sao cho
x
→
+
2
b
→
=
a
→
+
c
→
.
Lời giải:
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Bài 2 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(– 2; 3) ; B(4; 5); C(2; – 3).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
c) Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải:
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Bài 3 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng là M(2; 0); N(4; 2); P(1; 3).
a) Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
b) Trọng tâm hai tam giác ABC và MNP có trùng nhau không? Vì sao?
Lời giải:
a) Gọi tọa độ các điểm A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC).
Vì P(1; 3) là trung điểm của cạnh AB nên
Vì N(4; 2) là trung điểm của cạnh CA nên
Từ (1) và (2) suy ra:
Vì M(2; 0) là trung điểm của BC nên
Vậy tọa độ các điểm A, B, C là A(3; 5), B(– 1; 1), C(5; – 1).
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó tọa độ của G là
x
G
=
x
A
+
x
B
+
x
C
3
=
3
+
−
1
+
5
3
=
7
3
,
y
G
=
y
A
+
y
B
+
y
C
3
=
5
+
1
+
−
1
3
=
5
3
.
Vậy
G
7
3
;
5
3
.
Gọi G‘ là trọng tâm tam giác MNP, khi đó tọa độ của G‘ là
x
G
‘
=
x
M
+
x
N
+
x
P
3
=
2
+
4
+
1
3
=
7
3
,
y
G
‘
=
y
M
+
y
N
+
y
P
3
=
0
+
2
+
3
3
=
5
3
Vậy
G
‘
7
3
;
5
3
.
Do đó G ≡ G‘.
Vậy trọng tâm hai tam giác ABC và MNP trùng nhau.
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Bài 4 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4); B(– 1; 1); C(– 8; 2).
a) Tính số đo góc ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
b) Tính chu vi của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM.
Lời giải:
c)
Vì
A
B
C
^
=
127
°
nên tam giác ABC tù.
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, M thuộc đường thẳng BC nên đường cao của tam giác ABM cũng là AH.
Khi đó: SABC =
1
2
AH . BC và SABM =
1
2
AH . BM.
Theo bài ra ta có diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM nên SABC = 2SABM.
Do đó:
1
2
AH . BC = 2 .
1
2
AH . BM ⇔ BC = 2BM hay BM =
1
2
BC.
Suy ra M là trung điểm của BC hoặc M là điểm đối xứng với trung điểm của BC qua B.
Trường hợp 1: M là trung điểm của BC nên tọa độ của M là
x
M
=
x
B
+
x
C
2
=
−
1
+
−
8
2
=
−
9
2
,
y
M
=
y
B
+
y
C
2
=
1
+
2
2
=
3
2
.
Vậy
M
−
9
2
;
3
2
.
Trường hợp 2: M là điểm đối xứng với trung điểm BC qua B.
Khi đó điểm cần tìm là M’, với B là trung điểm của MM’.
Ta có: xM’ = 2xB – xM = 2 . (– 1) –
−
9
2
=
5
2
, yM’ = 2 . 1 –
3
2
=
1
2
.
Vậy
M
‘
5
2
;
1
2
.
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Bài 5 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Cho ba điểm A(1; 1) ; B(4; 3) và C (6; – 2).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD = 2AB.
Lời giải:
a) Ta có:
A
B
→
=
4
−
1
;
3
−
1
=
3
;
2
,
A
C
→
=
6
−
1
;
−
2
−
1
=
5
;
−
3
.
Vì
3
5
≠
2
−
3
nên
A
B
→
≠
k
A
C
→
.
Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Gọi tọa độ điểm D(x; y).
Ta có:
D
C
→
=
6
−
x
;
−
2
−
y
.
Vì hình thanh ABCD có AB // CD nên hai vectơ
A
B
→
,
D
C
→
cùng hướng và CD = 2AB, do đó
D
C
→
=
2
A
B
→
.
Ta có:
2
A
B
→
=
2
3
;
2
=
6
;
4
.
Vậy tọa độ điểm D là D(0; – 6).
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Bài 6 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Chứng minh khẳng định sau:
Hai vectơ
u
→
=
x
1
;
y
1
,
v
→
=
x
2
;
y
2
v
→
≠
0
→
cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho x1 = kx2 và y1 = ky2.
Lời giải:
Hai vectơ
u
→
và
v
→
v
→
≠
0
cùng phương khi và chỉ khi có số thực k sao cho
u
→
=
k
v
→
.
Mà
k
v
→
=
k
x
2
;
y
2
=
k
x
2
;
k
y
2
.
Vậy suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:
Bài 7 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2:
F
1
→
có độ lớn là 1 500 N, lực tác động thứ hai
F
2
→
có độ lớn là 600 N, lực tác động thứ ba
F
3
→
có độ lớn là 800 N. Các lực này được biểu diễn bằng những vectơ như Hình 23, với
F
1
→
,
F
2
→
=
30
°
,
F
1
→
,
F
3
→
=
45
°
và
F
2
→
,
F
3
→
=
75
°
. Tính độ lớn lực tổng hợp tác động lên vật (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải:
Ta vẽ các hợp lực như hình sau:
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
F
2
→
+
F
3
→
=
F
23
→
.
Lực tổng hợp tác động lên vật là
F
→
với
F
→
=
F
1
→
+
F
2
→
+
F
3
→
=
F
1
→
+
F
23
→
.
Ta cần tìm độ lớn lực
F
→
.
Lời giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác: