Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Sách giải toán 11 Bài tập ôn cuối năm (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1 (trang 124 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a) Xét bốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP . Tìm phép dời hình biến tam giác APN lần lượt thành 1 trong ba tam giác còn lại.

b) Phép vị tự nào biến tam giác ABC thành tam giác MNP?

c) Xét tam giác có ba đỉnh là trực tâm của ba tam giác APN, PBM và NCM. Chứng tỏ rằng tam giác đó bằng tam giác APN. Chứng minh điều đó cũng đúng nếu thay trực tâm bằng trọng tâm, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp , hoặc tâm đường tròn nội tiếp

Lời giải:

Giải bài 1 trang 124 SGK Hình học 11 nâng cao
Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 1 Trang 124 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao
Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 1 Trang 124 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao 1

Đối với các trường hợp khác (trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp), chứng minh hoàn toàn tương tự

Bài 2 (trang 124 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. Kẻ MM’, NN’, PP’, QQ’ lần lượt vuông góc với CD, DA, AB, BC,

a) Gọi I là giao điểm của MN và NQ . Phép đối xứng tâm Đ_1 biến các đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ thành những đường thẳng nào?

b) Chứng tỏ rằng bốn đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ đồng quy tại một điểm. Nhận xét gì về vị trí điểm đồng quy và hai điểm I, O?

Lời giải:

Giải bài 2 trang 124 SGK Hình học 11 nâng cao
Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 2 Trang 124 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

a) MNPQ là hình bình hành nên I là trung điểm của MN và NQ.

Phép đối xứng tâm〖 Đ〗_1biến điểm M thành điểm P, biến đường thẳng MM’ thành đường thẳng đi qua P và song song với MM’, tức là vuông góc với DC. Vây đường thẳng MM’ được biến thành đường thẳng PO. Hoàn toàn tương tự: đường thẳng NN’ biến thành QO, đường thẳng PP’ biến thành MO, đường thẳng QQ’ biến thành NO

b) Vì bốn đường thẳng MO, NO, PO, QO đồng quy tại O nên bốn đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ đồng quy tại O’ đối xứng với O qua điểm I.

n

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 2 Trang 124 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

Bài 3 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tam giác ABC và hai hình vuông ABMN và ACPQ như hình vẽ.

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 3 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

a) Xác định phép quay biếm tam giác ABQ thành tam giác ANC.

b) Chứng tỏ rằng hai đoạn thẳng BQ, CN bằng nhau và vuông góc với nhau.

c) Gọi O, O’ là tâm của các hình vuông , I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác OIO’ là tam giác vuông cân.

Lời giải:

Giải bài 3 trang 125 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 3 trang 125 SGK Hình học 11 nâng cao

a) Ta có AB = AN, AQ = AC và góc (AB, AN) = (AQ, AC) = -90˚.

Vậy phép quay tâm A, góc quay φ=-90˚ biến tam giác ABQ thành tam giác ANC

b) Vì đoạn thẳng BQ biến thành đoạn thẳng NC nên BQ = NC và BQ ⊥ NC

c) Theo kí hiệu hình bên thì

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 3 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao 1

Vâỵ từ câu b) ta suy ra tam giác IOO’ vuông cân tại đỉnh I

n

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 3 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

Bài 4 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD; P là một điểm thay đổi trên đoạn thẳng AD.

a) Xác định giao điểm Q của mp(MNP) và cạnh AC. Tứ giác MNPQ là hình gì ?

b) Tìm quỹ tích giao điểm I của QM và PN.

c) Tìm quỹ tích giao điểm J của QN và PM.

Lời giải:

Giải bài 4 trang 125 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 4 trang 125 SGK Hình học 11 nâng cao

a) Kẻ đường thẳng qua P song song với CD cắt AC tại Q thì Q là giao điểm của AC và mp(MNP). Dễ thấy tứ giác MNPQ là hình thang (PQ // MN).

Chú ý : Nếu P ≡ A thì Q ≡ A; Nếu P ≡ D thì Q ≡ C.

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 4 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

b) Thuận : Giả sử I là giao điểm của QM và PN. Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ABD), (MNPQ) thì điểm I thuộc đường thẳng AB.

Vì P thay đổi trên đoạn thẳng AD nên dễ thấy I chỉ nằm trên phần của đường thẳng AB trừ đi các điểm trong đoạn thẳng AB.

Đảo : Lấy 1 điểm I bất kì thuộc đường thẳng AB nhưng không nằm giữa A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của IN với AD, của IM với AC. Khi đó rõ ràng mp(MNP) cắt AC tại Q và giao điểm của QM và PN là I.

Kết luận : Quỹ tích giao điểm I của QM và PN là đường thẳng AB trừ đi các điểm trong đoạn thẳng AB

c) Tương tự câu b), ta có quỹ tích giao điểm J của QN và QN và PM là đoạn thẳng AO(O là giao điểm của DM và CN).

n
Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 4 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

Bài 5 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ . Điểm M nằm giữa A và D, điểm N nằm giữa C và C’ sao cho AM/MD = CN/NC’

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mp(ACB’)

b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mp(ACB’).

Lời giải:

Giải bài 5 trang 125 SGK Hình học 11 nâng cao

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 5 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

Theo định lí Ta-lét đảo thì MN song song mp(P), ở đó (P) // AC và DC’

Mặt khác DC’ // AB’. Vậy MN // (ACB’).

b) Kẻ MK // AC (K Є CD), kẻ NI // CB’(I Є C’B’), kẻ IJ // A’C’(J Є A’B’); kẻ JE // AB’(E Є AA’). Thiết diện là lục giác MKNIJE.

n
Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 5 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

Bài 6 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng . Chứng minh rằng các tia phân giác ngoài góc xOy, yOx, zOx đồng phẳng.

Lời giải:

Giải bài 6 trang 125 SGK Hình học 11 nâng cao
Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 6 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

Giả sử Δ1, Δ2, Δ3 lần lượt là 3 đường phân giác ngoài của các góc xOy, yOx, zOx.

Nếu trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC thì dễ thấy Δ // AB, Δ2 // BC, Δ3 // CA

Vậy Δ1, Δ2, Δ3 đồng phẳng.

n

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 6 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

Bài 7 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp S.ABC. Gọi K và N lần lượt là trung điểm của SA VÀ BC; M là điểm nằm giữa S và C

a) Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua K, song song với AB và SC thì đi qua điểm N

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(KMN). Chứng tỏ rằng KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

Giải bài 7 trang 125 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 7 trang 125 SGK Hình học 11 nâng cao

a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC thì dễ thấy các điểm K, I , N, J cùng thuộc mặt phẳng song song với AB và SC. Vậy câu a) được chứng minh.

b) Nếu M là trung điểm của SC thì thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(MKN) là hình bình hành , trong đó P là trùng điểm của AB . Khi đó KN chia hình bình hành MKPN thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 7 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

Nếu M không là trung điểm của SC. Gọi Q là giao điểm của KM và AC, P là giao điểm của QN và AB. Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi mp(MKN) là tứ giác MKPN.

Ta có : SC // (α) và AB // (α) đồng thời K là trung điểm SA nên :

d(M, (α)) = d(P, (α)) ⇒ OP = OM (với O là giao điểm của PM và NK).

Do đó hai đường cao của hai tam giác MKN và PKN kẻ từ M và P bằng nhau, từ đó suy ra SPKN = SMKN.

n
Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 7 Trang 125 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

Bài 8 (trang 126 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a√2

a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD)

b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD)

c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và SC

d) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P). Tính diện tích thiết diện.

e) Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(P)

Lời giải:

Giải bài 8 trang 126 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 8 trang 126 SGK Hình học 11 nâng cao

Gọi H là giao điểm của AC và BD . Do S.ABCD là hình chóp đều nên SH vuông góc với mặt đáy (ABCD).

a) Khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là AH

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 8 Trang 126 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

c) Vì AB và SC chéo nhau, AB // mp(SCD) nên d(AB; SC)=d(AB; (SCD))= (a√42)/7

d) Gọi C1 là trung điểm của SC, do SAC là tam giác đều nên AC1 ⊥ SC. Mặt khác BD ⊥ SC, nên (P) chính là mặt phẳng chứa AC1 và song song với BD. Kí hiệu H1 là giao điểm của AC1 và SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B1D1, trong đó B1D1 đi qua H1 và song song với BD. Vậy thiết diện của S.ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB1C1D1

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 8 Trang 126 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao 1

e) Trong mp(SAC) kẻ HI song song với CC1 cắt AC1 taị I thì HI ⊥ (P) vì SC ⊥ (P)

Ta lấy điểm J sao cho BHIJ là hình bình hành thì BJ ⊥ (P),

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 8 Trang 126 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao 2
n
Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 8 Trang 126 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

Bài 9 (trang 126 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a, BC = 2a. Hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với mp(ABC) và nằm về một phía đối với mặt phẳng đó . Trên Bx, Cy lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho BB’ = a, CC’ = m.

a) Với giá trị nào của m thì AB’C’ là tam giác vuông?

b) Khi tam giác AB’C’ vuông tại B’, kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh rằng B’C’H là tam giác vuông, tính góc giữa hai mp(ABC) và mp(AB’C’).

Lời giải:

Giải bài 9 trang 126 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 9 trang 126 SGK Hình học 11 nâng cao

Ta có AC2=3a2; AB’2=2a2; AC’2= 3a2+ m2; B’C’2= 4a2+ (m-a)2

a)- Tam giác AB’C’ vuông ở A khi và chỉ khi :

5a2+m2-2ma=2a2+3a2+m2

Vậy ΔAB’C’ vuông ở A khi và chỉ khi m = 0

– Tam giác AB’C’ vuông ở C’ khi và chỉ khi :

2a2= 3a2+m2+ 4a2+ (m-a)2 .Điều này không xảy ra.

– Tam giác AB’C’ vuông ở B’ khi và chỉ khi :

2a2+4a2+ (m-a)2 = 3a2+m2 ⇔ m=2a

Vậy tam giác AB’C’ vuông ở B’ khi và chỉ khi m = 2a.

b) Giả sử tam giác AB’C’ vuông ở B’ tức là m = 2a.

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 9 Trang 126 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao
Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 9 Trang 126 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao 1

+ Tính góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) khi m=2a

Gọi I là giao điểm của B’C’ và BC. Do BB’ // CC’ , BB’ = a, CC’ = 2a nên BC = BI, B’C’ = B’I.

Xét phép chiếu lên mp(ABC) . Ta có tam giác AIC là hình chiếu của tam giác AIC’. Gọi φ là góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) thì :

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 9 Trang 126 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao 2
n
Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao Bai 9 Trang 126 Sgk Hinh Hoc 11 Nang Cao

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 963

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Print Friendly, PDF & Email