Phần Đại số – Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

Sách giải toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 8: Kiểm tra rằng cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Lời giải

Ta có: 2.2 + (-1) = 3 ⇒ Cặp số (x; y) = (2; -1) là nghiệm của phương trình 2x + y = 3

2 – 2 .(-1) = 3 ⇒ Cặp số (x; y) = (2; -1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 4

Vậy cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 9: Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (…) trong câu sau:

Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (xo; yo) của điểm M là một … của phương trình ax + by = c.

Lời giải

Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (xo; yo) của điểm M là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 10: Hệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm ? Vì sao ?

Lời giải

Hệ phương trình trong ví dụ 3 có vô số nghiệm vì tập nghiệm của hai phương trình trong hệ được biểu diễn bởi cùng một đường thẳng y = 2x – 3

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4 (trang 11 SGK Toán 9 tập 2): Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 1

Lời giải

a) Xét (d): y = 3 – 2x có a = -2; b = 3

(d’) : y = 3x – 1 có a’ = 3 ; b’ = -1.

Có a ≠ a’ ⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 2 có nghiệm duy nhất.

b) Xét (d): Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 3 có a =

Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 4 ; b = 3

(d’): Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 5 có a’ = Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 4 ; b’ = 1.

Có a = a’; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ phương trình

Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 6 vô nghiệm.

c) Ta có: Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 7

Xét (d): y = Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 8 x có a =

Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 8 ; b = 0

(d’) : y = Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 9 x có a’ = Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 9 ; b’ = 0

Ta có: a ≠ a’ ⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ

Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 10 có nghiệm duy nhất.

d) Ta có:

Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 4 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 11

Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau

⇒ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Kiến thức áp dụng

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 5 (trang 11 SGK Toán 9 tập 2): Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 5 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 3

Lời giải

a) Xét hệ (I):

Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 5 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 4

Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x – y = 1 và (d’): x – 2y = -1 trên mặt phẳng tọa độ. Tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (d’) chính là nghiệm của hệ (I).

+ Xét đường thẳng (d): 2x – y = 1 hay (d) : y = 2x – 1

   Chọn x = 0 ⇒ y = -1.

   Chọn y = 0 ⇒ x = Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 5 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 5

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; -1) và Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 5 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 6

+ Xét (d’) : x – 2y = -1 hay (d’): Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 5 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 7

   Chọn x = 0 ⇒ y = Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 5 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 5

   Chọn y = 0 ⇒ x = -1.

⇒ (d’) đi qua hai điểm Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 5 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 8 và (-1; 0).

Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 5 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 9

Dựa vào đồ thị thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 1).

Vậy hệ phương trình (I) có một nghiệm là (1; 1)

b) Xét (II): Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 5 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 10

Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x + y = 4 và (d’): -x + y = 1 trên mặt phẳng tọa độ. Tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (d’) chính là nghiệm của hệ (II).

+ Xét (d): 2x + y = 4 hay (d): y = -2x + 4

   Chọn x = 0 ⇒ y = 4

   Chọn y = 0 ⇒ x = 2.

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; -4) và (2; 0).

+ Xét (d’) : -x + y = 1 hay (d’) : y = x + 1.

   Chọn x = 0 ⇒ y = 1

   Chọn y = 0 ⇒ x = -1.

⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 1) và (-1; 0).

Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 5 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 11

Nhận thấy (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 2).

Vậy hệ phương trình (II) có một nghiệm là (1; 2).

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 6 (trang 11-12 SGK Toán 9 tập 2): Đố:

Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau.

Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (Có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).

Lời giải

– Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng ∅.

– Bạn Phương nhận xét sai.

Ví dụ: Xét hai hệ Giải bài 6 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 6 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 1Giải bài 6 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 6 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 2

Hệ Giải bài 6 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 6 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 1 có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (I) được biểu diễn bởi đường thẳng x – y = 0.

Hệ Giải bài 6 trang 11 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 6 Trang 11 Sgk Toan 9 Tap 2 2 có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (II) được biểu diễn bởi đường thẳng x + y = 0.

Nhận thấy hệ (I) và hệ (II) có hai tập nghiệm khác nhau nên hai hệ không tương đương.

Kiến thức áp dụng

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập (trang 12 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 7 (trang 12 SGK Toán 9 tập 2): Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.

Lời giải

a) + Xét phương trình 2x + y = 4 (1) ⇔ y = -2x + 4

Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát là (x ; -2x + 4) (x ∈ R).

+ Xét phương trình 3x + 2y = 5 (2) ⇔ Giải bài 7 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 7 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 1

Vậy phương trình (2) có nghiệm tổng quát là : Giải bài 7 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 7 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 2 (x ∈ R).

b) Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (1) là đường thẳng (d) : y = -2x + 4.

Chọn x = 0 ⇒ y = 4

Chọn y = 0 ⇒ x = 2.

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 0).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (2) là đường thẳng (d’) : Giải bài 7 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 7 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 3

Chọn x = 0 ⇒ y = 2,5.

Chọn x = 1 ⇒ y = 1.

(Có thể chọn y = 0 ⇒ x = Giải bài 7 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 7 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 4 ).

⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 2,5) và (1; 1).

Giải bài 7 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 7 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 5

Hai đường thẳng cắt nhau tại A(3; -2).

Vậy (3; -2) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập (trang 12 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 8 (trang 12 SGK Toán 9 tập 2): Cho các hệ phương trình sau:

Giải bài 18 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 8 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 1

Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.

Lời giải

Giải bài 18 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 8 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 2

Đường thẳng (d): x = 2 song song với trục tung.

Đường thẳng (d’): 2x – y = 3 không song song với trục tung

⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.

Vẽ (d): x = 2 là đường thẳng đi qua (2 ; 0) và song song với trục tung.

Vẽ (d’): 2x – y = 3

– Cho x = 0 ⇒ y = -3 được điểm (0; -3).

– Cho y = 0 ⇒ x = 1,5 được điểm (1,5 ; 0).

Giải bài 18 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 8 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 3

Ta thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A(2; 1).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1).

Giải bài 18 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 8 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 4

Đường thẳng (d): x + 3y = 2 không song song với trục hoành

Đường thẳng (d’): 2y = 4 hay y = 2 song song với trục hoành

⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vẽ (d1): x + 3y = 2

– Cho y = 0 ⇒ x = 2 được điểm (2; 0).

– Cho x = -1 ⇒ y = 1 được điểm (-1; 1).

Vẽ (d2): y = 2 là đường thẳng đi qua (0; 2) và song song với trục hoành.

Giải bài 18 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 8 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 5

Ta thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A(-4; 2).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2).

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập (trang 12 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 9 (trang 12 SGK Toán 9 tập 2): Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

Giải bài 9 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 9 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 1

Lời giải

a) (I): Giải bài 9 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 9 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 2

Xét (d): x + y = 2 hay (d): y = -x + 2 có a = -1; b = 2.

(d’) 3x + 3y = 2 hay (d’): y = -x + Giải bài 9 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 9 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 3 có a’ = -1 ; b’ = Giải bài 9 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 9 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 3

Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ (I) vô nghiệm.

b) (II): Giải bài 9 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 9 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 4

Xét: (d): 3x – 2y = 1 hay (d):

Giải bài 9 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 9 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 5

(d’): -6x + 4y = 0 hay (d’):

Giải bài 9 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 9 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 6

Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ (II) vô nghiệm.

Kiến thức áp dụng

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập (trang 12 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 10 (trang 12 SGK Toán 9 tập 2): Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

Giải bài 10 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 10 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 1

Lời giải

Giải bài 10 trang 12 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 Bai 10 Trang 12 Sgk Toan 9 Tap 2 4

Kiến thức áp dụng

Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập (trang 12 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 11 (trang 12 SGK Toán 9 tập 2): Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?

Lời giải

Nếu một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm phân biệt

⇒ Hệ đó có vô số nghiệm.

Vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của chúng có hai điểm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau.

Kiến thức áp dụng

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 970

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Print Friendly, PDF & Email