Sách giáo khoa đại số và giải tích 12

Cực trị của hàm sốCực trị của hàm sốCực trị của hàm sốCực trị của hàm sốCực trị của hàm sốCực trị của hàm số

Cực trị của hàm số –

Dựa vào đồ thị (H7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)… CHÚ Ý 1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại \0 thì xo được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCD (fCT), còn điểm M(\o ; f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. 2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại \0 thì [‘(vo)= 0.2 汽。 sử f(x) đạt cực đại tại \0. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằngΔια) – – – – cách xét giới hạn tỉ số for real khi Ar-> 0 trong hai trường hợp A\> 0 vàΔν κ0. II – ĐIÊU KIÊN ĐỦ ĐÊ HẢM SỐ Có CựC TRI3 汽 Sử dụng đồ thị, hãy xét xem các hàm số sau đây có cực trị hay không. y = -2x+1;y = (x-3) (H.8). b). Nêu mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm. Ta thừa nhận định lí sau đây.ĐINH LÍ1Giả sử hàm sốy = f(x) liên tục trên khoảng K=(\0 – h; \0 + h) và có đạo hàm trên Khoặc trên K\{ \0}, với h > 0. a). Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (\0 – h; \0) và f'(x) < 0 trên khoảng (\0; \0+ h) thì \o là một điểm cực đại của hàm sốf(x). b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (\o – h: \o) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0; \o+ h) thì xo là một điểm cực tiểu của hàm số f(x),A | vo — h *0 xo + h X Ao-h *0 xo + h f'(x) f'(x) +f(x) 160 مدر ~പ f(x) ~പ fCT کسکیVí dụ I. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm sốf(x) = -x + 1.Giải. Hàm số xác định với mọi x = R.Ta có f'(x) = -2\; f'(x) = 0 x_2 x = 0.Bảng biến thiên -oid O +oo f'(x) + O – 1 f(x) كر ~പ -oid -ooTừ bảng biến thiên suy ra x = 0 là điểm cực đại của hàm số và đồ thị của hàm số có một điểm cực đại (0; 1) (H.7). Ví dụ 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x – x – x +3. Giải. Hàm số xác định với mọi x = R. Ta có y = 3.x-2x – 1 ;x = 1y’ = 0 <-> 1 X = –.Bảng biến thiênA II -OJO l 1 +○○ 3. y + O – O + 86 +OO y . 27 کاست །། . کاست -oo 2Từ bảng biến thiên suy ra \ = – điểm cực đại, x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho. Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số 3.x + 1 y = – A + 1Giải. Hàm số xác định tại mọi x z-1.Ta có y’= > 0, να με -1.(x + 1) Vậy hàm số đã cho không có cực trị (vì theo khẳng định 3 của Chú ý trên, nếu hàm số có cực trị tại \0 thì tại đó y’= 0).4. Chứng minh hàm số y=||x| không có đạo hàm tại Y=0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?III – QUY TÁC TìM CUC TRI汽Áp dụng Định lí 1, ta có quy tắc tìm cực trị sau đây. QUY TÁC | 1. Tìm tập xác định. 2. Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định. 3. Lập bảng biến thiên. 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. 5 Áp dụng quy tắc l, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số f(x)=x(x-3). Ta thừa nhận định lí sau đây. ĐINH Lí 2Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (\0 – h: \0 + h), với h > 0. Khi đó : a). Nếu f'(\0) = 0, f'(\0) > 0, thì \0 là điểm cực tiểu : b). Nếu f'(\0) = 0, f'(x0)| < 0 thì \o là điểm cực đại.Áp dụng Định lí2, ta có quy tắc sau đây để tìm các điểm cực trị của một hàm số.QUY TÁC ||1. Tìm tập xác định.2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu \; (i= 1,2,..., n)là các nghiệm của nó.3. Tính f'(x) và f"(\).4. Dựa vào dấu của f"(\,.) suy ra tính chất cực trị của điểm \, . Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số4 7 x) = -- 2 x + 6. f(x) 4.Giải. Hàm số xác định với mọi \ = R. f'(x) = x - 4x = x(xo - 4) : f'(x) = 0 => x = 0, \, = -2, v, = 2. f”(x) = 3.x° — 4. f'(+ 2) = 8 > 0 => \ = -2 và \ = 2 là hai điểm cực tiểu : f'(0) = -4 < 0 => \ = 0 là điểm cực đại. Kết luận f(\) đạt cực tiểu tại Y = -2 và Y = 2:/CT = f{+ 2) = 2. f(x) đạt cực đại tại \ = 0 và fop = f(0) = 6. Ví dụ 5. Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = sin2\. Giải. Hàm số xác định với mọi \ = R. f'(x) = 2cos2A : f'(x) = 0 <-> 2x = + Ιπ «-» Α = + 1 (1. sz.). f'(x) = -4sin2.x.–4 nếu 1 = 2k. 7 ( / ) –4sin ༈ 77) – + neu (k e Z). 4. 2 2 4 nếu 1 = 2k+12. Giải tích 12A 17Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Tìm a và b để các cực trị của hàm số?

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bình luận