Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao

Đường elipĐường elipĐường elip

Đường elipĐường elipĐường elip
Đường elipĐường elip

Đường elip –

Đường elip là một đường quen thuộc với chúng ta và thường gặp trong thực tế, chẳng hạn : – Bóng của một đường tròn in trên mặt đất bằng phẳng dưới ánh sáng mặt trời thường là một đường elip (h. 77). – Ta đổ một ít nước màu vào một cốc thuỷ tinh hình trụ. Nếu đặt đứng cốc nước trên mặt bàn nằm ngang thì mặt thoáng của nước trong cốc là một hình tròn, giới hạn bởi một đường tròn. Nếu ta nghiêng cốc nước đi thì mặt thoáng của nước được giới hạn bởi một đường elip (h. 78). – Quỹ đạo của Trái Đất khi quay quanh Mặt Hình 79 Trời là một đường elip. Các nhà thiên văn học đã phát hiện ra rằng, trong hệ Mặt Trời, mỗi hành tinh đều chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip (h. 79).Hành tinh_______Metro1. Định nghĩa dường elip汽” (Vẽ đường elip)Em hãy đóng lên mặt một bảng gỗ hai chiếc định tại hai điểm F1 và F2 (h.80). Lấy một vòng dây kín không đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai lần khoảng cách FIF2. Quàng sợi dây vào hai chiếc định, đặt đầu bút chì vào trong vòng dây rồi căng ra để vòng dây trở thành một tam giác. Hãy di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn luôn căng và áp sát mặt gỗ. Khi đó đầu bút chì sẽ vạch ra một đường mà ta gọi là đường elip.Hình 8021 Trong cách về đường elip ở trên, gọi vị trí đầu bút chì là M. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về chu vi tam giác MF1F2, và về tổng MF} + MF2 ? ĐINH NGHIACho hai điểm cố định F1 và F2, với FIF2 = 2c (c >0). Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF1+ MF2=2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c. Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2C được gọi là tiêu cự của elip.977-hhoNC-A 2. Phương trình chính tắc của elipCho elip (E) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ y M trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng /づー FIF2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 つゞnằm trên tia Ox (h. 81). ང(༡། ༼རྒྱ་Với cách chọn hệ trục toạ độ như vậy, hãy chobiết toạ độ của hai tiêu điểm F1 và F2. //ình 8/2 汽, sử điểm M(x : y) nằm trên elip (E). Hãy tính MF” – MFể rồi sử dụng địnhnghĩa MF + MF2 = 2a để tính MF – MF2. Từ đó suy raMFi = a + ^ và MF = a – o.Các đoạn thẳng MF1, MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.Bây giờ ta lập phương trình của elip (E), đối với hệ trục toạ độ đã chọn như trên.Ta có 으프 – . αν ” MF = a + = (x +c) +y hay (a ) = (x + c) + y”. Cl2 Rút gọn đẳng thức trên ta được }1-{^2 +شر = a -c. , hay d* +-o-s = 1. Vì a” – c” >0 nên ta có thể đặta” – c” = b” (với b>0) ? 2 2(a > b > 0). (1)Ngược lại, có thể chứng minh được rằng : Nếu điểm M có toạ độ (x : y)thoả mãn (1) thì MF = a +o, MF) = a – o , do đó MF +MF2=2a, tứclà M thuộc elip (E).Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho.7- HH1ONC-b Ví dụ 1. Cho ba điểm FI(-N5; 0), F2(N5; 0) và 1(0:3). a). Hãy viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F1, F2 và đi qua I. b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF1 có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu ?Giải ، v2 y2 a) Elip có phương trình chính tắc ^2 + 23 = 1. Điểm I(0; 3) nằm trên elip り- 0 32 2 . — * * ,đã cho nên – + = l, suy ra b* = 9. Theo giả thiết, tiêu cự của elip đó blà 2c = FIF2 = 2 N5. Vậy c = N5. Do đó a”= b° + c” = 9+5= 14.2 .2 Vậy elip cần tìm có phương trình chính tắc là 둥 = 1.b) Theo công thức về độ dài bán kính qua tiêu, ta có MF1 = a + *. Vì– a < x < a nên a – “ < MF. < a + hay a + c < MF) < a + C. Do đó (1 da MF có giá trị nhỏ nhất là a - c = V14 – N5 khi x = - a và có giá trị lớn nhất là a + c = V14 + N5 khi x = a. Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M(0; 1) vàN| 1: . Xác định toạ độ các tiêu điểm của elip đó. y? Giải Phương trình chính tắc của elip có dạng + = 1 või a > b > 0.Elip đi qua M(0: 1) nên = 1 hay bo = 1. Elip đó đi qua N(, ) かnên — = 1, suy ra a” = 4. Vậy elip cần tìm có phương trình chính ? 4b?tắc là2 2 +2 = 1. 14.99Ta có c” = w” – b° = 4 + 1 = 3. Vậy toạ độ các tiêu điểm của elip đó là Fi = (-N3:0) và F2 = (N3:0).3. Hình dạng của elip a) Tính đối xứng của elip Cho elip có phương trình (1) và một điểm M(\o ; yo) nằm trên elip. Hởi các điểm sau đây có nằm trên elip không ? M(—-xo ; yo), M2(xo ; —yo), M3(—-xo ; —yo). Từ đó suy ra Elip có phương trình (1) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng. b). Hình chữ nhật cơ sở Elip với phương trình chính tắc (1), cắt trục OY tại hai điểm A và A2, cắt trục Oy tại hai điểm B và B.2. Bốn điểm đó gọi là các đỉnh của elip. Trục OY được gọi là trục lớn, trục Oy được gọi là trục bé (hay trục nhỏ). Người ta cũng gọi đoạn A 1A 2 là trục lớn, đoạn Bị B2 là trục bé. Độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b. P B byΟVẽ qua A1 và A2 hai đường thẳng song song với trục tung, vẽ qua B1và B2 hai đường thẳng song song với trục hoành. Bốn đường thẳng đó tạo thành hình chữ nhật PQRS. Ta gọi hình chữ nhật đó là hình chữ nhật cơ sở của elip (h.82). Hinih 82S B-b RNếu xét điểm M(x : y) nằm trên elip có phương trình chính tắc (1) thì giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x là bao nhiêu ? Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của y là hao nhiêu ? Từ đó suy ra Mọi điểm của elip nếu không phải là đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở của nó. Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.c) Tâm sai của elipTỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai- – của elip và được kí hiệu là e, tức là e = -.22 Rõ ràng là 0 < e < 1. Hơn nữa, do 2 = \off = \ i = eo nên– Nếu tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó đường elip càng "béo";- Nếu tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thìtỉ số b càng gần tới 0 và hình chữ nhật cơ sở Hình 83 càng "dẹt", do đó đường elip càng "gầy" (h.83). Ví dụ 3. Một đường hẩm xuyên qua núi có chiều rộng là 20 m, mặt cắt đứng của đường hầm có dạng nửa elip như hình 84. Biết rằng tâm sai của đường elip là e s 0,5. Hãy tìm chiều cao của đường hẩm đó. Giải. Gọi chiều cao của đường hầm là b. y Nửa trục lớn của elip là a = 10 m. Elip có ửa tiêu cự là c = a.e < 5 (m).Chiều cao của hầm là b = Wa-c = 100-25s 8,7(m).d) Elip và phép co đường trònHình 84Bài toán. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường tròn (Ý) có phương trình x° + y” = a” và một số k (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x : y) trên (Ý), lấy điểm M'(x"; y’) sao cho x'=x và y'= ky. Tìm tập hợp các điểm M''. Giải. Từ x'= x, y'= ky suy ra \ = \’, y = Điểm M thuộc đường tròn (Ý) khi và chỉ khi x° + y” = a”, tức là101 3. 0.1022 .1 = + چپہ 2 a = ہیلا۔ +2^x 从 (ka) Đặt b = ka, ta được tập hợp các điểm M” là elip (E) có phương trình chính tắcNgười ta nói: Phép co về trục hoành theo hệ số k biến đường tròn (Ý) thành elip (E).Hình 85. Phép co về trục hoành theo hệ số k - biếnđường tròn (Ý) thành elip (E), Em có biết ? (?Nhà thiên văn học người Đức Kê-ple (J. Kepler) đã chứng minh rằng : Mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời đều chuyển động theo quỹ đạo là một đường elip mà tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Tâm sai của các quỹ đạo của 8 hành tinh đã quen thuộctrong hệ Mặt Trời như sau: Sao Kim : e = 0,0068Trái Đất: es. 0.0167 Sao Mộc : e s 0.0484 Sao Hải Vương: e = 0,0082 Sao Thuỷ: e’s 0.2056 Sao Thiên Vương: e s 00460 Sao Thổ: e < 0.0543 Sao Hoả : e = 0.0934.Johannes Kepler Trong các hành tinh trên thì Sao Kim, Trái Đất và Sao7 Hải Vương có quỹ đạo gần giống đường tròn hơn.Ngoài ra, chúng ta cũng biết rằng Mặt Trăng quay quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip mà tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Tâm sai của quỹ đạo này là e is 0.0549.Côu hỏi và bài tập y? Cho elip (E) có phương trình chính tắc - + = 1. Hỏi trong các mệnh C7 bđề sau, mệnh đề nào đúng ? Vệ tinh nhân tạo đầu tiên được Liên Xô (cũ) phóng từ Trái Đất năm 1957. Quỹ đạo của vệ tinh đó là một đường elip nhận tâm của Trái Đất là một tiêu điểm. Người ta đo được vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm (1 dặm s: 1,609 km). Tìm tâm sai của quỹ đạo đó biết bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm.. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạytrên trục Oy nhưng độ dài đoạn AB bằng a không đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB=2MA.103

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 4 / 5. Số lượt đánh giá: 1103

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

--Chọn Bài--

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Print Friendly, PDF & Email