Sách giáo khoa đại số và giải tích 12

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốGiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốGiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốGiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốGiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốGiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốGiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốGiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốGiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số –

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)| <= M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu M = max, f(x).Vậy min f(\) = -3 (tại \ = 1). Không tồn tại giá trị lớn nhất của f(\) (0; +oo) trên khoảng (0:+2O).II - CÁCH TÍNH GIÁ TRI LỞN NHẤT VA GIÁ TRI NHỞ NHẤT CỦA HẢM SỐ TRÊN MộT ĐOAN1 Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = A° trên đoạn [-3: 0]; b) y = trên đoạn [3:5].1Định líMọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.Ta thừa nhận định lí này.Ví dụ 2. Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = sin\a) Trên đoạn 6 6b) Trên đoạn -Giải- -O t NHình 92.然 – 2 + 2 nرياض - Cho hàm số y = +2 neu 2 < x < 1 nếu 1 < \ <3 ---Từ đồ thị của hàm số y = sin\ (H.9), ta thấy ngay:a) Trên doan D = |; ta có 6 6. ()- = 1. -- 5 ' Từ đó max_y = 1 , miny =-l. D D 2 b) Trên đoạn E = ta có 冗 TI 3九 || = ---, y| | | = 1 , |y| | | = -1 , y(2 TT) = 0. y; 2 s y(2 TT) Vậy max, y = 1 , min_y = -1. E EQuy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn2có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra giá trị 2 才── lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số -- trên đoạn [-2:3] và nêu cách tính. ܐܐܲܚܒܵܐ -- -- - //ình 10 NHÂN XÉTNếu đạo hàm f'(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a : b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(\) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn. Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm \; (\; < \; + 1) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng(\,:\; + 1). Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a : b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a, b và tại các điểm \, nói trên.21Quy tắc 1. Tìm các điểm \1, A2,...,\, trên khoảng (a > b), tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định. 2. Tính f{a), f(\1), f(\2),…, f(\,n), f(b). 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có M = max f(x), m = min f(x). a; b. a; b) CHÚ Ý Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn, hàm số f(x) = l không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0 < 1). Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như trong Ví dụ 3 dưới đây. Ví dụ 3. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như Hình 11 để được một cái hộpkhông nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.HillGiải. Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt. Rõ ràng Y phải thoả mãn điều kiện 0 < x < Thể tích của khối hộp làV(x) = x(a - 2)? o < \ C. g). Ta phải tìm \0 = (0. g sao cho V(\o) có giá trị lớn nhất. Ta có V(x) = (a - 2v) + x.2(a - 2.x). (-2) = (a - 2.x)(a - 6.x). Trên khoảng (o g). ta cóV'(x) = 0 <-> x = . (x) 6Bảng biến thiên O d a. 6 2 Vʼ(x) OV(x) 27 کس سے O OTừ bảng trên ta thấy trong khoảng o g hàm số có một điểm cực trị duynhất là điểm cực đại x = nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất:2aV (a) = ,(0.然” Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)= —. 1 + x’Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định. Bời tộp1. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y =A” – 3\” – 9\ + 35 trên các đoạn [-4: 4] và [0:5];2.3.4.S.b)y =A’-3\” + 2 trên các đoạn [0:3] và 12: 5];c) y’ = *trên các đoạn 12: 4] và [–3: -2]: \”d) y = N5 – 4.\ trên đoạn 1–1 : 1]. Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m. hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau :a) y = , ; b) y = 4A-3A’. | + \ Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau : a) y= x : b) y = x + 4. (x > 0).B Ả I ĐQ C TH Ê MCU NG LÔ|, CU NG LÖM VA ĐIÊM UỐN1. Khái niệm về cung lồi, cung lõm và diểm uốn Xét đồ thị ACB của hàm số y = f(x) biểu diễn trên Hình 12. Giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm.Hirian 12 Tại mọi điểm của Cung ÁC, tiếp tuyến luôn luôn ở phía trên của AĊ. Ta nói ÁC là một cung lồi. Nếu a là hoành độ của điểm A, c là hoành độ của điểm C, thì khoảng (a; c) được gọi là một khoảng lồi của đồ thị Tại mọi điểm của Cung CB, tiếp tuyến luôn luôn ở phía dưới của CB. Ta nói CB là một cung lõm. Kí hiệu b là hoành độ của điểm B thì khoảng (c, b) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị. Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn của đồ thị. Trên Hình 12, C là một điểm uốn. CHÚ Ý1. Tại điểm uốn, tiếp tuyến đi xuyên qua đồ thị (H. 12). 2. Trong một số giáo trình, nhất là giáo trình Giải tích toán học ở Đại học, người ta gọi ÁC trên Hình 12 là Cung lõm và CB là Cung lồi.2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốnTa có hai định lí sau đây.ĐINH LÍ 1Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b). Nếu f”(A) < 0. Với mọi x = (a + b) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó. Nếu f"(A)>0 với mọi x = (a + b) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.ĐINH LÍ2 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a + b) và \ne (a; b). Nếu f'(x) đổi dấu khi x đi qua An thì điểm M(\o ; f(\o)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.3. Ар dung Ví dụ 1. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số: a) у – wo ; b) y = −sin \ trên đoạn [0:2rt].Giảia) Tập xác định : R. Ta có y’=5A”, y”=20\”. Bảng Xét dấu y” 26Oy” O + Đồ thị của | Điểm uốn – hàm số Lổi 20.0ỹ LõmVậy đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-20; 0), lõm trên khoảng (0; +…). Điểm O(0:0) là điểm uốn của đồ thị hàm số (H.13). b) Ta cóy” = -cos y, y” = sin x .Bảng xét dấu y”O t y” + O Đồ thị của – Điểm uốn hàm số Lõm ^0)^ LổiVậy trên đoạn [0 ; 2n), đồ thị hàm số lõm trên khoảng (0; ft), lồi trên khoảng (t:2n). Điểm A(rt:0) là điểm uốn của đồ thị hàm số (H. 14).yHình 13THình 14 Ví dụ 2. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số y = A + 1 x -1 Giải. Tập xác định:R\{1}. 2. – =——, хас định với mọi x = 1; (x-1) у”= я, хас định với mọi x z 1. (x-1) Bảng xét dấu y” -༡༦ I y 一| Đô thị của hàm số || Lổi LÖm5下Vậy đồ thị của hàm số lồi trên khoảng (…: 1) và lõm trên khoảng (1; +ơ). Đồ thị không có điểm uốn vì hàm số y không xác định tại điểm x = 1…

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bình luận