Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao

    Hai đường thẳng vuông gócHai đường thẳng vuông gócHai đường thẳng vuông gócHai đường thẳng vuông gócHai đường thẳng vuông góc

    Hai đường thẳng vuông góc –

    Cho hai đường thẳng A1, A2 bất kì trong không gian. Từ điểm O nào đó, ta vẽ hai đường thẳng A’1, A’2 lần lượt Song song (hoặc trùng). Với A1, A2. Dễ thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa A’ và A’2 không thay đổi (h.93). Vì vậy ta có định nghĩa sau ΟĐINH NGHIA 1 Hình 93 Góc giữa hai đường thẳng AI và A2 là góc giữa hai đường thẳng A’ và A’2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với A4 và A2. Nhận xét 1) Để xác định góc giữa hai đường thẳng AI và A2, ta có thể lấy điểm O nói trên thuộc một trong hai đường thẳng đó. 2). Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90°. 3) Nếu ủi, ü2 lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng A1, A2 và (üị, ü2) = a thì góc giữa hai đường thẳng AI và A2 bằng a nếu a < 90° và bằng 180° – a nếu & > 90°. Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC’=AB=AC=a và BC = a \/2. Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB (h.94). Các mặt của hình chóp S.ABC là những tam giác có gì đặc biệt ? F/1/1/194 Giaii Cách 1. Ta tính góc giữa hai vectơ SC và AB. Ta có cos(SC, AB)==CATA |Sc||AB| ZSuy ra (SC. AB) = 120°. Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60°. Cách 2. Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm của SA, SB. A.C. Khi đó MN//AB, MP//SC. Để tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB, ta cần tính NMP.2 2 Ta có MN = MP = “, Sp2-3, Bp2 = 3, 2 4 4. 2 BPo + SP2 = 2NP* + ೨೬ 2 Vậy NP° = 3a. 4 Mặt khác NP* = NM* + MP3 – 2MNMPcos NMP, a” do đó cos NMP =–4–=-}, suy ra NMP = 120°. 2dd 2 2 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60°. D2. Hai đường thẳng vuông góc ĐINH NGHIA 2 Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.9394Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta còn nói gọn là hai đường thẳng a và b vuông góc, và kí hiệu alb hay bLa. Như vậy alb <> tỉ.V = 0, ở đó ữ và 7 lần lượt là các vectơ chỉ phương của a và b. Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét sauNhận xét Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. 1 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau (hình hộp như thế gọi là hình hộp thof). Hãy giải thích tại sao AC || B’D’. Ví dụ 2 Cho hình hộp thoi ABCD A’B’C’D’ có tất A D cả các cạnh bằng a và کرن<"ك ABC = BBA – BBC = 60°. BTính diện tích tứ giác A'B'CD. Gidi (h.95) Trước hết ta dễ thấy A'B'CD là hình bình D' hành, ngoài ra B'C'= a = CD nên A'B'CD là hình thoi. Ta sẽ chứng minh A'B'CD là B' C hình vuông. Hình 95 Thật vậy, ta cóS SSSSSSS ? ?CB', CD = (CB + BB"). BA = CB. BA + BB". BA = = 0. Vậy có CB" || CD, do đó A'B'CD là hình vuông.Từ đó diện tích hình vuông A'B'CD bằng đ”. DA.Ví dụ 3 Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB || AC, AB || BD. Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho PẢ = kPB, QC = kQD (k z 1). Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau (h.96).Hinh 96 汽7.2 (Để giải ví dụ 3) Biểu thị PQ theo PA, AC, CO và Pọ theo PB, BD, DQ để có(1 — k)PQ = AC — kBD. Tính tích vô hướng của (1 - k)PQ với AB. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 4 Tính các góc giữa các cặp đường thẳng DA và BC, DB và AC, DC và AB của tứ diện ABCD, biết rằng DA = BC'=a, DB'=AC=b, DC = AB = c. GidiTheo kết quả ở Ví dụ 2 $1 (trang. 86), ta có2 h2 cos(BC, DA) = E 2 b? Vậy góc giữa hai đường thắng BC và AD là a mà cosa. = --. (1Tương tự như trên, nếu gọi /3 và 7 lần lượt là góc giữa các cặp đường thẳng AC và BD. AB và DC thì Dcoss3 =.la' - b |2م -a2| cosy =Côu hỏi vòi bời tộp Mỗi khẳng định sau có đúng không ? a) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song Với nhau. b) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc Với nhau.a) Cho vectơ rỉ khác 0 và hai vectơ ä, 5 không cùng phương. Chứng minhrằng nếu vectơ rỉ vuông góc với cả hai vectơ ä và 5 thì ba vectơ n, ả, 5 không đồng phẳng. b) Chứng minh rằng ba vectơ cùng vuông góc với vectơ rỉ z 0 thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.95Cho hình chóp S.ABC có SA=SB = SC và ÁSB = BSC = CSA. Chứng minh rằng SA || BC, SB || AC, SC || AB. Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB.AC = AC.AD = AD.AB thì AB || CD, AC || BD, AD || BC. Điều ngược lại có đúng không ?. Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = 60°, BAD = 60°.Chứng minh rằng: a) ABIL CD; b) Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì IJ || AB và IJ || CD.

     

    Print Friendly, PDF & Email

    Bài giải này có hữu ích với bạn không?

    Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

    Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

    Bình luận