Sách giáo khoa đại số và giải tích 11

Hàm Số liên tụcHàm Số liên tụcHàm Số liên tục

Hàm Số liên tụcHàm Số liên tụcHàm Số liên tục
Hàm Số liên tục

Hàm Số liên tục –

Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi x -> 1. b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1. (Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x = 1 và hàm số y = g(x) không liên tục tại điểm này). ĐINH NGHIA 1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và \0 = K. Hàm sốy= f(x) được gọi là liên tục tại \o nếu lim f(x) = f(x0). *→xoHàm số y = f(x) không liên tục tại xo được gọi là gián đoạn tại điểm đó.Ví dụ J. Xét tính liên tục của hàm sốf(x) = -* 5 tại xo=3. Giải. Hàm số y = f(x) xác định trên R \ {2}, do đó xác định trên khoảng(2; +oo) chứa x0 =3.lim f(x) = lim – = 3 = f(3). x→3 x-3 x – 2 Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại xo=3. =II – HẢM SỐ LIÊN TUC TRÊN MộT KHOẢNG ĐINH NGHIA 2 Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a ; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a ; b) và lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b). x→a” x-bKhái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như (a ; b], [a ; +ơo), … được định nghĩa một cách tương tự.NHÂN XÉTkhoảng đó (h.56). Hình 56 136 Hình 57 cho ví dụ về đồ thị của một hàm số không liên tục trên khoảng (a; b).Hình 57III – MộT SỐ ĐINH Lí CO BẢNTa thừa nhận các định lí sau đây. ĐINH LÍ 1a). Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b). Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.ĐINH Lí 2Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm \0. Khi đó : a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x)g(x) liên tục tại \0 ;b) Hàm só y = } liên tục tại \0 nếu g(x0) z 0. g(X 2 y – 2x ếu \ + 1 Ví dụ 2. Cho hàm số h(x) = ( x_1 “*”** 5 nếu x = 1.Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. Giải. Tập xác định của hàm số là R. • Nếu x + 1, thì h(x) = 2*-2x – 1 Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-CO: 1) \_j (1; +ơo). Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-20; 1) và (1 ; +ơ).137 • Nếu x = 1, ta có h{1}=5 và- lim h(x) = lim2 = lim2 = lim2 = 2. x→1 A-1 – x – V – 1 ܥܹ- ܂Vì lim h(x) z h{1), nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 1. x – 1Kết luận : Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (~o: 1), (1; +oo) và gián đoạn tại x = 1. Ba 2Trong biểu thức xác định h(x) cho ở Ví dụ 2, cần thay số 5 bởi số nào để được một hàm số mới liên tục trên tập số thực R ?3. f. sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a : b] vớif{a) và f(b) trái dấu nhau. Hỏi138đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a > b) không ? o Bạn Hưng trả lời rằng : “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Or tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng (a, b)”. /)b(+——————س y2 = x • Bạn Lan khẳng định : “Đồ thị của hàmsố y = f(x) phải cắt trục hoành OY ít nhấttại ột điể 皇 g khoảng (a; b)”. O • Bạn Tuấn thì cho rằng : “Đồ thị của hàm số y = f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (a + b), chẳng hạn như đường parabol ở hình (h.58).Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao ? Hình 58ĐịNH LÍ3Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn {a; b] và f(a)/(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c = (a ; b) sao cho f(c) = 0.Minh hoạ bằng đồ thị (h.59). y f(b)//ình 59 Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng. Có thể phát biểu Định lí 3 dưới một dạng khác như sau : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a: b] và fia)/(b)<0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b). Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x + 2 - 5 = 0 có itnhat một nghiệm. Giải. Xét hàm sốf(x)=x^+ 2\ - 5. Ta có f(0) = −5 và f(2) = 7. Do đó, f(0)f{2) < 0. y = f(x) là hàm số đa thức nên liên tục trên R. Do đó, nó liên tục trên đoạn [0:2]. Từ đó suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm \0 = (0, 2). BaCHÚ Ý Nếu nhận xét thêm rằng f{1}/{2} = -14 < 0 thì ta có thể kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1: 2) c" (0; 2),4. 汽, tìm hai số a và b thoả mãn 1 < a < b < 2, sao cho phương trình trong Ví dụ 3 ở trên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).B Ả I ĐQ C TH Ê MTÍNH GÂN ĐÚNG NGHIÊM CỦA PHƯONG TRINH. PHƯONG PHÁP CHIA ĐÔ!* Trong Ví dụ 3 ở phần III, 83, ta đã chứng minh được rằng phương trình x + 2 - 5 = 0 có nghiệm \0 thuộc khoảng (0; 2). Giả sử rằng đó là nghiệm duy nhất của phương trình trên khoảng này. Bằng cách áp dụng liên tiếp Định lí 3, ta có thể tìm được các giá trị gần đúng của nghiệm \0. Ta làm như sau : o Ta có, f(1) = -2. So sánh dấu của f(1) và dấu của giá trị hàm số tại hai đầu mút là f(0) và f{2), ta thấy:f{1),f{2) = −27 < 0. Do đó, phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (1; 2). Như vậy, \0 = (1:2),– Bước 1: Lấy số 1 =139- Bước 2: Lấy số 1.5=}}*. Ta có, f(15) = 1,375 và f(1)j(15) = -2.1.375 < 0.Do đó, f(x) = 0 có nghiệm thuộc (1; 1,5). Như vậy, X0 = (1 : 1,5) – Bước 3: Lấy số 1,25 = Ta có, f{1,25) = -0,546 875 và f(1,25),f{1,5) < 0. Do đó, f(x) = 0 có nghiệm thuộc (1,25; 1.5). Như vậy, X0 = (1.25 : 1,5) Bảng sau đây trình bày kết quả tính lần lượt của các bước 4, 5, 6, 7.h a b ffa) f(b) f Nghiệm "01.25 1.5 1.375 - 0.546875 1.375 0.349609375 125 < \0< 1,375 1.25 1,375 13125 - 0.546875 0.3496.09375 - 0,1140.13671875 1,3125

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 1046

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

--Chọn Bài--

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Print Friendly, PDF & Email