Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

LôgaritLôgaritLôgaritLôgaritLôgaritLôgaritLôgaritLôgaritLôgaritLôgaritLôgaritLôgarit

Lôgarit –

Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu một trong những phép toán quan trọng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đó là lôgarit. Định nghĩa và ví dụ Trước tiên, ta có những lưu ý sau về luỹ thừa của cơ số a : Cho số a dương. Với mỗi số thực a tuỳ ý, ta luôn xác định được luỹ thừa a“. Hơn nữa, ta cóa” là một số dương :Nếu a = 1 thì a” = 1“ = 1 với mọi & = R :6-GT12-NC-BNếu a > 1 thì a” < a” khi và chỉ khi a 6.Từ đó, suy ra Nếu 0 < a # 1 thì a“ = a” khi và chỉ khi a =/3.Ngược lại, ta thừa nhận rằng khi a là một số dương khác 1 thì với mỗi số dương b, có một số a để a' = b.Theo lưu ý ở trên, số (Y đó là duy nhất. Từ đó, ta có định nghĩa sau:ĐINH NGHIA 1 Cho a là một số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực & để đ“ = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là loga, b, tức là a = log, b > a” = b.Ví dụ 1 – –2 – — – = -2. Vì 10 * =1 v2ی ، د logo 100 = 2 vì 10° =100; logo too 10?CHÚ Ý 1) Không có lôgarit của số 0 và số âm vì a” luôn dương với moi a. 2). Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1. 3) Theo định nghĩa lôgarit, ta có= 0, log, a = 1 ;log, 1 log, aʼ = b, vʻb e R ; (1)(2)a”=b、vbe R.b>0Hai công thức (1) và (2) nói lên rằng phép lấy lôgarit và phép nâng lên luỹ thừalà hai phép toán ngược của nhau. Cụ thể, với số a dương khác 1 ta có 83Với mọi số thực b a”, log, a” = b; nâng lên lụỹ thừa lấy lôgarit cơ số a CỞ SỐ (IVới mọi số thực b dương b – log b – a”ga” = b; lấy lôgarit cơ số a nâng lên luỹ thừa cơ số aVí dụ 2 1 Y-2 log. Í3 = log 33 =5: log 4 = log() = -2. 2. 2.|H1 Tỉnhl a) log. . . 10 b) gloss 12 0.125’90s. |H2. Với giá trị nào của x thì loga (1-x) = 2 ?Tính chấta) So sánh hai lôgarit cùng cơ số2.Từ những lưu ý của mục 1, dễ dàng chứng minh đượcĐịNH LÍ1Cho số dương a khác 1 và các số dương b, c, l) Khi a > 1 thì log, b> log, C → b > C :2) Khi 0 < a < 1 thì loga, b > log, C <> b < c.Ta chứng minh 1). Vì a > 1 nên, theo lưu ý của mục 1, ta cólog, b, > llog, c ce> a”eu” > a”** <=> b > c.|H3. Hãy chứng minh 2) Từ định lí 1, ta cóHÊ QUẢ Cho số a dương khác 1 và các số dương b, c, 1). Khi a > 1 thì log, b > 0 <> b > 1. 2) Khi 0 < a < 1 thì log, b > 0 <> b < 1.3) log, b = log, c K> b = c.Ví dụ 3. Hãy so sánh log༣ và loga 3. s 2. Giải. Vì 1 va – 1 nên logi – log 1 = 0. s 5vi va – 1 nen logs: < log, i = 0. 2 5 으 5 2.2 Từ đó suy ra log > logs s 2.b) Các quy tắc tính lôgarit Từ định nghĩa lôgarit và tính chất của luỹ thừa, ta suy ra các quy tắc tínhlôgarit.ĐINH LÍ2 Với số a dương khác 1 và các số dương b, c, ta có1) log(bc) = log, b + log C :2) log(”) = log, b – log, c :3) log, b” = a log, b.CHÚ Ý Bằng quy nạp, suy ra rằng với các số dương bị, b2,…, b, ta có log, (bib.lb, ) = log, b + log, b + … + log, b, . Khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ? WA. e. (-oi-1), log, (x – 1) = log(x+1)+ log(x – 1). Từ định lí 2 dễ dàng suy raHÊ QUẢ Với số a dương khác 1, số dương b và số nguyên dương n, ta có1) log. ; = -log b :2) log, b = log. b.Ví dụ 4 log, 16 log, 16 logs 2″ 4log, 2 = -4 log, 15 – log, 30 15 log 2-1 -log2 . “log’; } 7H5 Tỉnh logs V3 – logs 12 + logs 50.Đổi cơ số của lôgarit Trong tính toán, đôi khi ta cần biết mối liên hệ giữa những lôgarit với cơ số3.Sau đây là công thức đổi cơ số của lôgarit.ĐINH LÍ3 Với a, b là hai số dương khác 1 và c là số dương, ta cólog, c b. – log b hay log, b.logi, c = log, clogh, c =Chứng minhThật vậy, ta có c = b”o”, từ đó log, c = log, (b”) = log, c.log, b.Vì b z 1 nên loga, b z 0, do đólog, clogh, C = log, b DTừ công thức đổi cơ số của lôgarit, với c = a, ta suy raHÊ QUẢ 1Với a và b là hai số dương khác 1, ta cólog, b = logh, ahay log, blog, a = 1.Cũng trong công thức đổi cơ số đó, với b = a” (a + 0), ta cóHÊ QUẢ 2Với a là số dương khác 1, c là số dương và C. z 0, ta có1 log, c = log, CVí dụ 5, logi (loga 4, log23) = logi (2loga 2.log23) = log12 = log, a 2 4. 4. 4.1.- log:2 =-3.2Tìm X, biết loga x+logọ x = 를 Nhận xét. Nhờ công thức đổi cơ số của lôgarit, khi biết lôgarit cơ số a, ta có thể tính được lôgarit cơ số bất kì. Chẳng hạn, ta có thể tính được các lôgarít cơ số 2, cơ số 3, … theo lôgarit cơ số 10.4. Lôgarit thập phân và ứng dụng Trong thực hành ta hay dùng hệ đếm thập phân (hệ đếm cơ số 10); chính vì vậy lôgarit thập phân (lôgarit cơ số 10) chiếm một vị trí quan trọng trong tính toán. Năm 1617 người ta đã xây dựng được bảng lôgarit thập phân để tìm giá trị gần đúng lôgarit thập phân của một số thực dương bất kì (xem bài Em có biết “Về lịch sử phát minh lôgarit và bảng lôgarit” trang 91). Ngày nay thay vì dùng bảng, người ta thường dùng máy tính bỏ túi. ĐINH NGHIA 2Lôgarit cơ số 10 của một số dương Y được gọi là lôgarit thập phân của x và kí hiệu là log \ (hoặc là lgY).Lôgarit thập phân có đầy đủ các tính chất của lôgarit với cơ số lớn hơn 1.• Trước khi có máy tính, để tính các luỹ thừa với số mũ phức tạp, người tathường dùng phương pháp “lôgarit hoá” với lôgarit cơ số 10 và các tính toán được thực hiện nhờ bảng số.Ví dụ 6. Để tính 2.1” người ta làm như sau: – Tính log2.1”log2, 1 = 3,2log2, 1 s 1,0311; – Từ đó suy ra 2.1” s 10’s 10,7424. O o Người ta còn dùng phương pháp “lôgarit hoá” và các tính chất của lôgarit để giải quyết một số bài toán liên quan đến luỹ thừa. Ví dụ 7 Một người gửi 6 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi) ? Gidi Theo công thức lãi kép C = A(1 + r)^, sau N năm gửi, người gửi sẽ có một số tiền là6(1 + 0.0756). Từ đó, ta phải tìm N sao cho 12=6(1 + 0.0756). (1) 88Lấy lôgarit thập phân hai vế của đẳng thức (1), ta được log12 = log6 + N log1,0756. log12 – log6 log 1,0756 Vậy sau khoảng 10 năm người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số vốn 6 triệu đồng ban đầu.Suy ra N = is 9,51.• Rõ ràng khi x = 10° thì log \ = n. Còn với số x > 1 tuỳ ý, viết Y trong hệ thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu phảy của \ là n + 1, trong đó n là phần nguyên của log\, n = [log\}. Thật vậy, vì 10” là số tự nhiên bé nhất có n + 1 chữ số nên số các chữ số đứng trước dấu phảy của Y bằng n + 1 khi và chỉ khi 10° < x < 10", tức là n < log_x < n + 1; điều này chứng tỏ n = [log \]. Ví dụ 8. Để tìm số các chữ số của 2” khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của log2 là 0,3010 và được|2008, log2 + 1 = 2008.0,3010) + 1 = (604,408+ 1 = 605. Vậy số 2” có 605 chữ số.Khi viết 2" trong hệ thập phân ta được một số có bao nhiêu chữ số ? (lấy giá trị gần đúng của log2 là 0,3010).Câu hủi và bài tập 23. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: a) Cơ số của lôgarit là một số thực bất kì: b) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên ; c) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương; d). Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1. 24. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? a) Có lôgarit của một số thực bất kì. b) Chỉ có lôgarit của một số thực dương.c) Chỉ có lôgarit của một số thực dương khác 1. d) Chỉ có lôgarit của một số thực lớn hơn 1.25. Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để có đẳng thức đúng.a) log(xy) = ... ; b)... = log, X - logy ;c) log, " =..; d) a'a' = ... 26. Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của a để có mệnh đề đúng:a) log A C logy (> 0 < x < y :b) log, - logy (> x > y > 0.27. Hãy tìm lôgarit của mỗi số sau theo cơ số 3:1 3: 81; ; ; 3 ; –. 9 33 ݂ ݂ 1 1 28. Tính log: 125 ; log05 ਨੂੰ log| 64 log 36. 5 4. 6 log25 logo.52 է Հlog3 18 . 5 log2 . 1. – 29. Tính 3 3. () 32 – 30. Tìm \, biết a) logs X = 4; b) log(5- ) = 3; c) logs (x + 2) = 3; d) log (0.5 + x) = -1. 631. Biểu thị các lôgarit sau đây theo lôgarit thập phân (rồi cho kết quả bằng máy tính, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):log, 25 : logs 8 : logo 0,75 : logos 1,13.GÓ b ع%4$VÊ LICH sử PHÁT MINH LÔGARIT VẢ BẢNG LÔGARITLôgarit là phát minh của Nê-pe (J. Napier hay J. Neper 1550 – 1617) – một điền chủ và nhà thần học người Xcôt-len. Nê-pe bị toán học lôi cuốn và ông coi toán học là niềm vui giải trí của mình. Trong vòng 20 năm trời, những lúc rảnh rỗi, Nê-pe đã phát triển lí thuyết lôgarit và Ông đã trình bày vấn đề này trong một cuốn sách viết bằng chữ La-tinh in năm 1614 với đầu đề “Mô tả một bảng lôgarit kì diệu” (từ “lôgarit” có gốc là những từ Hi Lạp : logos nghĩa là tỉ lệ, arithmos nghĩa là số). Ông hi vọng phát minh của mình sẽ giúp đơn giản hoá nhiều phép tính trong thiên văn, đó là những phép tính đòi hỏi nhiều CÔng sức và thời gian.John Napier (1550-1617)Thực tế, lôgarit của Nê-pe đã làm cuộc cách mạng trong thiên văn và trong nhiều lĩnh vực toán học bằng cách thay thế việc thực hiện “phép tính nhân, chia, tính căn bậc hai, căn bậc ba của những số lớn mà bên cạnh việc tiêu phí thời gian một cách tẻ nhạt, người ta còn hay bị nhầm lẫn” bằng thực hiện các phép tính cộng, trừ đơn giản những số tương ứng. Phát minh của Nê-pe là một phương thức tiết kiệm thời gian đáng kể. Một số nhà sử học coi rằng việc sử dụng lôgarit để đơn giản các phép tính đã giúp nhà thiên văn người Đức GiÔ-han Kê-ple (J. Kepler) phát hiện ba quy luật chuyển động của hành tinh mà điều này lại giúp nhà vật lí người Anh Niu-tơn (l, Newton) phát hiện lí thuyết hấp dẫn. Sau phát minh của Nê-pe 200 năm, nhà toán học Pháp La pla-xơ (P. Laplace) viết rằng: Lôgarit, bằng cách giảm bớt công sức tính toán, đã kéo dài tuổi thọ gấp hai lần cho các nhà thiên văn. Các bảng lôgarit ban đầu của Nê-pe còn nhiều khiếm khuyết. Một nhà toán học người Anh là Hen-ry Bric (H. Briggs) đọc công trình của Nê-pe (bằng chữ La-tinh) ngay sau khi nó được công bố, lập tức thấy được ý nghĩa của phát minh kì diệu này. Bric viết thư cho Nê-pe đề nghị gặp gỡ trao đổi và nêu ra nhiều cải tiến cho phát minh đó. Hai nhà toán học gặp nhau vào mùa hè năm 1615, Bric đề nghị định nghĩa lại lôgarit thập phân (lôgarit cơ số 10). Thực ra, Nê-pe có nghĩ đến dùng cơ số 10ã không đủ sức làm nên các bảng mới. Nê-pe đề nghị Bric xây dựng các bảng như thế. Sau đó hai năm, các bảng lôgarit thập phân đầu tiên đã được Bric xây dựng. Nê-pe mất năm 1617 trước khi Bric hoàn thành các bảng đó. Nhiều nhà toán học đã tiếp tục xây dựng các bảng lôgarit thập phân trong đó có bảng của Bra-đi-xơ mà ngày nay chúng ta vẫn còn dùng.91 3. 23. 3.343. 5Khi viết số thập phân dương a dưới dạng kí hiệu khoa học a = oZ.10”, với 1 < 0 < 10, ne Z thi loga = log (z + n. (1)Như vậy, chỉ cần biết logo với mọi Cỵ thuộc [ 1: 10) thì sẽ tính được lôgarit thập phân của một số thập phân dương bất kì. Người ta gọi log (x trong (1) là phần định trị, n là phần đặc tính của loga. Trong các bảng số, người ta cho sẵn giá trị gần đúng phần định trị log (Y. Bảng của Bra-đi-xơ cho log (z với bốn chữ số thập phân. Ví dụ. Cho biết log2.319 = 0.3653. Tính log23,19 và log02319. Giải log23, 19 = log(2,319.10) = log2,319 + 1 = 0,3653 + 1 = 1,3653 ; log(0,2319 = log(2,319,10) = log2,319 -1= 0,3653 - 1 = -0.6347.LUyệm tập . Hãy tính: a) logs 12-logs 15+ logs 20 ; b) ilog, 36 - log, 14 - 3log, R21 ; c) logs 36 - logs 12 d) 36 სიზ65 + 101–1092 — 8"იF23. logs 9 . Hãy so sánh: a) loga 4 và log b) goggll va logo.9. . Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh : a) log2 + log3 với log5 ; b) log12 = log5 với log7 ; c) 3log2+ log3 với 2 log5 ; d) 1 + 2 log3 với log27.. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính loga \, biết log, b = 3, log, C = -2 :4. b) - "o.Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu ? (Giả sử lãi suất không thay đổi).

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bình luận