Một số phương pháp tìm nguyên hàm –

Phương pháp đổi biến số Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lí sau đây. ĐINH LÍ 1: Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là |f(u) du = F(t) + C thìJflu(x) u'(x).dx = Fu(x) + C. (1)Chứng minh Theo quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có (FLu(x) + C) = Fu(x) u'(x) = fu(x) u'(x).Vậy ta có (1). D CHÚ Ý Trong thực hành, ta thường viết tắt F[u(x)} là F(u), flu(x)} là f(u) và coi du là vi phân của hàm số u = u(\) (nghĩa là du = du(x) = L (\)dY). Khi đó, công thức (1) được viết như sau:flu(x) u'(x)dy |f(u(x)]du(x) |f(u) du = F(u) + C = Fu(x) + C. (2)Ta nói đã thực hiện phép đổi biến u = u(\).Giải. Ta có (2.x + 1)”dx = (2x + 1)* (2x + 1)’dx = (2x +1)”d(2 x + 1). Đät u = u(x) = 2x + 1. Áp dụng công thức (2), ta có 4,4 — f1 / 2) + 1\4 fl. 4 a. s.4 (2 x + 1)” dx = 腊° +1)”d(2 x + 1) = 腊” du = 3 Ju” du 1. 2H1 Tim 2x(*+1)ode.2x Ví du 2. Tìm dx. x + 4Giải. Ta cóls = . 5 – C= 2 +1) + C.2vdiv (a +4)’ 《 x + 4 x + 4Đặt u = x° +4. Áp dụng công thức (2), ta cóI dx = (x* + 4) 3d(x^* + 4).2x乒I l dx = sexo +4) d(x +4) = fu * du2 – , – , , , as =五” – c=(r +4)+ C. Ví dụ 3. Tìm lcos (7\ +5)dx. Giải. Ta có cos(7 x + 5)dx = cos(7x 5)(7. + 5)’ dx = cos7 +5) d(7 x +5). Đặt u = 7.X + 5. Công thức (2) cho ta cos(7x + 5)dx = 片 cos(7 x + 5) d(7 x + 5) = jcosudu1 . 1 . – 亏° +C = ; sin(7x + 5) + C.Ví dụ 4. Tìm fe” cosx de, Giải. Ta có e*”‘* cos xdx = e^”*”d(sinv).1432.Đặt u = sinx. Công thức (2) cho ta sein cos x dx = sein d(sin x) = fe” du = e” + C = e”* + C.Η2 Tin jve” dx.Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Cơ sở của phương pháp lấy nguyên hàm từng phần là định lí sau đây.ĐINH LÍ2Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì u(x)y(x)dx = u (x) vʻ(x) — fv(x)u'(x) dix.Công thức trên gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần (gọi tắt là công thức nguyên hàm từng phần) và được viết gọn dưới dạngfu dv = uv – svdu.Chứng minh Ta cần chứng tỏ vế phải là một nguyên hàm của uy”. Thật vậy (u(x)v(x) – sv(x),u'(x)dx)’ = u(x) v'(x) + vʻ(x)u”(x) — ( sv(v)u'(x)dx)” = u (x) v'(x) + vʻ(x)u'(x) — vʻ(x)uʼ(x) = u(x) v'(x). D Ví dụ 5. Tìm [\cos \dx. Gidi Đặt u(x) = \, v'(x) = cos\. Khi đó u'(x) = 1, V(x) = sin\ (chỉ cần lấy một nguyên hàm của V). Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta cósix cos x dx = x Sinx – ssin x dx = x sin x + cos x + C. Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của hàm số y = |n_\. Gidi Đặt u = u(x) = ln_\, dV = dx. Khi đó du = | dx, V = V(x) = \. Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta cósin x dx = \ln Y- Jr. de = \lny – jdv = \lny – x + C.|H3] Tìm nguyên hàm của hàm sốf(x) = ;e2″(Hướng dẫn. Đặt u(x) = v'(v) = e°*).Câu hủi và bài tập 5. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 9. – 3. a) f(x) = (Hướng dẫn. Đặt u = 1 – \”): 1 – xb)f(x) = (Hướng dần. Đặt u = 5Y + 4);c) f(x) = A Wi-vi (Hướng dần. Đặt u = 1 – xo); 1 – d)f(x) = −: “… (Hướng dẫn. Đặt u = 1 + V.Y). f Wv (1 + Wv)*6. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàmSOSELLI a) f(x) = x sin b)f(x) = x’ cosx;c)f(x)= xe; d) f(x) = x. ln(2x).LUyệm tập Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 7. a) f(x) = 3rvi-3. b) f(x) = cos(3x + 4) ; c) f(x) = 2) d) f(x) = sin” cos ) ; 3༽5 8. a) f(x) = b)f(x) = in coਨ c)f(t) = re’: d) f(v) = e^**°.145 10-GT12-NC-ADùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau…

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Một số phương pháp tìm nguyên hàm

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!