Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

Một số phương pháp tìm nguyên hàmMột số phương pháp tìm nguyên hàmMột số phương pháp tìm nguyên hàmMột số phương pháp tìm nguyên hàmMột số phương pháp tìm nguyên hàm

Một số phương pháp tìm nguyên hàm –

Phương pháp đổi biến số Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lí sau đây. ĐINH LÍ 1: Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là |f(u) du = F(t) + C thìJflu(x) u'(x).dx = Fu(x) + C. (1)Chứng minh Theo quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có (FLu(x) + C) = Fu(x) u'(x) = fu(x) u'(x).Vậy ta có (1). D CHÚ Ý Trong thực hành, ta thường viết tắt F[u(x)} là F(u), flu(x)} là f(u) và coi du là vi phân của hàm số u = u(\) (nghĩa là du = du(x) = L (\)dY). Khi đó, công thức (1) được viết như sau:flu(x) u'(x)dy |f(u(x)]du(x) |f(u) du = F(u) + C = Fu(x) + C. (2)Ta nói đã thực hiện phép đổi biến u = u(\).Giải. Ta có (2.x + 1)”dx = (2x + 1)* (2x + 1)’dx = (2x +1)”d(2 x + 1). Đät u = u(x) = 2x + 1. Áp dụng công thức (2), ta có 4,4 — f1 / 2) + 1\4 fl. 4 a. s.4 (2 x + 1)” dx = 腊° +1)”d(2 x + 1) = 腊” du = 3 Ju” du 1. 2H1 Tim 2x(*+1)ode.2x Ví du 2. Tìm dx. x + 4Giải. Ta cóls = . 5 – C= 2 +1) + C.2vdiv (a +4)’ 《 x + 4 x + 4Đặt u = x° +4. Áp dụng công thức (2), ta cóI dx = (x* + 4) 3d(x^* + 4).2x乒I l dx = sexo +4) d(x +4) = fu * du2 – , – , , , as =五” – c=(r +4)+ C. Ví dụ 3. Tìm lcos (7\ +5)dx. Giải. Ta có cos(7 x + 5)dx = cos(7x 5)(7. + 5)’ dx = cos7 +5) d(7 x +5). Đặt u = 7.X + 5. Công thức (2) cho ta cos(7x + 5)dx = 片 cos(7 x + 5) d(7 x + 5) = jcosudu1 . 1 . – 亏° +C = ; sin(7x + 5) + C.Ví dụ 4. Tìm fe” cosx de, Giải. Ta có e*”‘* cos xdx = e^”*”d(sinv).1432.Đặt u = sinx. Công thức (2) cho ta sein cos x dx = sein d(sin x) = fe” du = e” + C = e”* + C.Η2 Tin jve” dx.Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Cơ sở của phương pháp lấy nguyên hàm từng phần là định lí sau đây.ĐINH LÍ2Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì u(x)y(x)dx = u (x) vʻ(x) — fv(x)u'(x) dix.Công thức trên gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần (gọi tắt là công thức nguyên hàm từng phần) và được viết gọn dưới dạngfu dv = uv – svdu.Chứng minh Ta cần chứng tỏ vế phải là một nguyên hàm của uy”. Thật vậy (u(x)v(x) – sv(x),u'(x)dx)’ = u(x) v'(x) + vʻ(x)u”(x) — ( sv(v)u'(x)dx)” = u (x) v'(x) + vʻ(x)u'(x) — vʻ(x)uʼ(x) = u(x) v'(x). D Ví dụ 5. Tìm [\cos \dx. Gidi Đặt u(x) = \, v'(x) = cos\. Khi đó u'(x) = 1, V(x) = sin\ (chỉ cần lấy một nguyên hàm của V). Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta cósix cos x dx = x Sinx – ssin x dx = x sin x + cos x + C. Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của hàm số y = |n_\. Gidi Đặt u = u(x) = ln_\, dV = dx. Khi đó du = | dx, V = V(x) = \. Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta cósin x dx = \ln Y- Jr. de = \lny – jdv = \lny – x + C.|H3] Tìm nguyên hàm của hàm sốf(x) = ;e2″(Hướng dẫn. Đặt u(x) = v'(v) = e°*).Câu hủi và bài tập 5. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 9. – 3. a) f(x) = (Hướng dẫn. Đặt u = 1 – \”): 1 – xb)f(x) = (Hướng dần. Đặt u = 5Y + 4);c) f(x) = A Wi-vi (Hướng dần. Đặt u = 1 – xo); 1 – d)f(x) = −: “… (Hướng dẫn. Đặt u = 1 + V.Y). f Wv (1 + Wv)*6. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàmSOSELLI a) f(x) = x sin b)f(x) = x’ cosx;c)f(x)= xe; d) f(x) = x. ln(2x).LUyệm tập Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 7. a) f(x) = 3rvi-3. b) f(x) = cos(3x + 4) ; c) f(x) = 2) d) f(x) = sin” cos ) ; 3༽5 8. a) f(x) = b)f(x) = in coਨ c)f(t) = re’: d) f(v) = e^**°.145 10-GT12-NC-ADùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau…

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bình luận