Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

Một số phương pháp tính tích phânMột số phương pháp tính tích phânMột số phương pháp tính tích phânMột số phương pháp tính tích phânMột số phương pháp tính tích phân

Một số phương pháp tính tích phân –

Phương pháp đổi biến số Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây, trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K ; a và b là hai số thuộc K. Công thức (1) được chứng minh như sau : Gọi F là nguyên hàm củaf. Khi đó vế phải của (1) là F[u(b)]- F[u(a)] Theo định lí 1 N2, vế trái của (1) là (FLu(x)). = F(u(b)) — Fu(a)). Ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy (1) được chứng minh. D Công thức (1) được gọi là công thức đổi biến số Phương pháp đổi biến số thường được áp dụng theo hai cách sau đây. b Cách 1. Giả sử ta cần tính JigGs)dy. Nếu ta viết được g(\) dưới dạngf{u(\)]u'(x), thì theo công thức (1) ta có(b) Vậy bài toán quy về tính f f(u)du. Trong nhiều trường hợp việc tính tích (a) phân mới này đơn giản hơn. -Ví dụ 1. Tính Îve*di.Giaii Ta có xe de = eace ). Đặt u = \” ta có u(1)=1, u(2) = 4. Do đó 2 4. -4م) 1 = ,,1, “u w = fS,”3 dx = 序 du = (e e). 3. |H1 Tinh [N2\ +3 de bằng cách đặt u = 2\ +3.Cách 2. Giả sử ta cần tính stod Đặt \ = x(t) (t = K) và a, b = K thoả mãn CZ = \(a), /? = \(b) thức (1) cho ta- fristojevodi,Vậy bài toán quy về tính fg(t)dt (ở đó g(t) = [[x(t)}. \'(t)). Trong nhiềutrường hợp, việc tính tích phân mới này đơn giản hơn.Ví dụ 2. Tính s 1-A dy. 0.Giai Đặt \ = sin [. Ta có dx = d(sin t) = cosfdf, 0 = Sin 0 và 1 = inਨੂੰVậy 1 — x* dx = – sint, cost di.O O V eo | nên N1 – sin” t = cost. Do đóTE rt tR – 2. li *一器 fili tdt |102 2. 2. O 4.deн2] Tỉnh f 2. bằng cách đặt \ = sinf. W1-A1.592.160Phương pháp tích phân từng phần Tương tự như phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, ta cũng có phương pháp tích phân từng phần. Cơ sở của phương pháp này là công thức sau đây.s。 h fu(x)y ‘(x) dx = (u(x)v(x)), – sv(x),u'(x) dx, (2)trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a’, b là hai số thuộc K. Thật vậy, theo định lí 2 $2, ta cófoods (f(x)y(x)dx) – (u(x)v(x) sv(v)u ‘(x)dx)ь ” = (u(x)v(x))I” — (f(x)’Cody) = (u(x)v(x))’ – sv(v)u'(x)dx. D (I. Công thức (2) gọi là công thức tích phân từng phần và còn được viết り b, P, dưới dạng Judy (uv) svdu. 1. Ví dụ 3. Tính Îve”dx. O Giải. Chọn u(x) = \, \'(x) = e^. Khi đó u'(x) = 1, V(x) = e”. Do đó,)dx = (re ܐܘ]fe de = e -(e-1) = 1. O 2 Ví dụ 4. Tính Jalnady. dx Giải. Chọn u = ln_\, dV = \d\. Khi đó du = マ “=す Do dó2 2 3. sind -1.t 2.H3] Tỉnh fx sin x dx. OCâu hủi và bài tập17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:t 4. l a) r + ide; b) İ*-de; c) f ”(1+ ”dı: O 5 cos x O V3 rt 1. 3. 6 5.w 4x d) – , P–, dx ; e) dix ; f) | (1 — cos 3.x) sin3.x dx. s18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:2 a) six in x dy. ; b) f(x + 1)e” dx ; 1 O t 2 c) |e* cos x dx; d) six cos xdx. O O LUyệm tập 프 1 2 19. Tính a) Vé + 2t(2 + 5t“) dit ; b) six sin x cos x dx. O O l 3 3 Ardy 20. Tinh a) s5(5-4 cost)*sint dr: b) s + 1 sin x21. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = — trên khoảng (0; +ơo).3 . Khi đó sinia, là1 (A) F(3) – F(1); (B) F(6) – F(2); (C) F(4) – F(2); (D) F(6) – F(4).1 11-GT12-NC-A 16Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau…

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bình luận