Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

Nguyên hàmNguyên hàmNguyên hàmNguyên hàmNguyên hàmNguyên hàm

Nguyên hàm –

Khái niệm nguyên hàm Bài toán mở đầu. Vận tốc của một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng tại thời điểm I là v(t) = 160 – 9,8{(m/s) (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên). Tính quãng đường đi được của viên đạn kể từ khi bắn lên cho đến thời điểm t. Gọi s(t) là quãng đường đi được của viên đạn sau khi bắn được t giây. Ta đã biết V(t) = x(t). Do đó ta phải tìm hàm số & = &(t) thoả mãn điều kiện: s'(t) = 160 – 9,8t. Nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật đã dẫn tới bài toán sau đây: Cho hàm số f \ác định trên K, ở đó K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó. Hãy tìm hàm số F sao cho F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.ĐINH NGHIACHÚ ÝCho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.1) Trong trường hợp K = [a; b], các đẳng thức F'(a)= f(a), F'(b) = f(b) được hiểu làlim F(x) – F(a)at a 2) Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F là nguyên hàm của f trên khoảng (a; b) thì có thể chứng minh được rằng F'(a) = f(a) và F'(b) = f(b), do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a : b].F(x) – F(b) Y -= f(a) và lim = f(b). — Ví dụ 1 2a). Hàm số F(x) = là nguyên hàm của hàm số f(x) = x“ trên R vìY’ = với mọi x = R. b). Hàm số F(x) = tanx là nguyên hàm của hàm sốf(x) = TIL TITI 1 TIL TITI —::::| Vì (tanx)’ = Với mọi x = – 2 cos x 2 2c) Hàm số F(x) = Vན་ là nguyên hàm của hàm số f(x) = Vix trên nửa3- trên khoảng cos xkhoảng [0; +ơo) vì F'(x) = NY với mọi x = (0;+ơo) và cả hai hàm số f và F đều liên tục trên [0;+ơo).н1 Các hàm số F(x) = -2cos2.x và F}(x)=-2cos2.x+2 là những nguyên hàm của hàm số nào ?ĐINH LÍ1Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó a). Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K. b). Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.Chứng minha) Giả sử G(x) = F(x) + C. Khi đó G'(x) = F'(x) = f(x). b) Đặt H(x) = G(x)-F(x), ta có H'(x) = G'(x) – F'(x) = f(x) = f(x) = 0 với mọi x = K . Vậy H là hàm số không đổi trên K, tức là H(x) = C với C là một hằng số. Suy ra G(x) = F(x) + C với mọi x = K. D1372.138Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm F của hàm số f(x) = 3x° trên R thoả mãn điều kiện F(1) = −1. Giải Dễ thấy y = \” là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3A” nên nguyên hàm F cần tìm có dạng F(x) = x° + C. Vì F(1)=-1 nên 1° + C = -1, suy ra C = -2. Vậy F(x) = x’’ – 2. • Từ định lí 1 ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C với C = R. Vậy F(x) + C. C = R là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K. Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K được kí hiệu là sf(x)dY. Vậysf(x)dx = F(x) + C, C e R. Người ta cũng dùng kí hiệu fif(x)dx để chỉ một nguyên hàm bất kì củaf. Vậy(f(x)dy) = f(x). (Về kí hiệu |f(x)dx Xem bài Em có biết: “Nguồn gốc của kí hiệu nguyên hàm và tích phân” tr. 157). o Người ta đã chứng minh được rằng : Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. • Từ đây, trong các bài toán về nguyên hàm của một hàm số, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết rằng hàm số đó là liên tục và nguyên hàm của nó được xét trên mỗi khoảng (nửa khoảng, đoạn). Xác định của hàm số đó. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm. Việc tìm nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn. Sau đây là nguyên hàm của một số hàm số đơn giản thường gặp.1) sode = C, jdv = side = x + C;at 1 + C (α ε-1) :2) Jr”dy – 3) = lin Lx| + C :4). Với k là hằng số khác 0…, a coskv – a) sinkx de = – k + C : b) coskv dx = + C :k e” – c) fe dx = k + C :d)Ja’dx = + C (0 < a. a. 1); 1cos x5)a) fdx = tanx + C ;b) 丘、 = — cotx + C. Sin VTa dễ dàng chứng minh các công thức trên bằng cách tính đạo hàm Vế phải.Chẳng hạn, vì 円 kx= cos{\ nên ta có công thức 4). b).Ví dụ 3a) [4x"dx + C.불 b) js/vdx = jv * dx= - C---c- c. 2.중 - 1 sini c) |||cos dix = 2 = 2 sin, + C 2.1393.140н2| Tim a) J, de b) || sin 2x dx.. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàmĐINH LÍ 2Nếu f. g là hai hàm số liên tục trên K thìa) f(x)+g(x)dx = f(x)dx+g(x)dx;b). Với mọi số thực k z 0 ta có skf(x)dx = k [f(x) dx.Chứng minh, a) Ta cần chứng tỏ rằng vế phải là một nguyên hàm của f +g. Thật vậy ta có(JFC)dy + g(x).dx) = (f(x)dy)'+( fg(a)dy)' = f(x) + g(x). b) Chứng minh tương tự. DDựa vào nguyên hàm của các hàm số thường gặp và vận dụng hai định lí trên ta có thể tính được nguyên hàm của nhiều hàm số khác.Ví dụ 4. Tìma) 婷 瑟"b) f(x — 1)(x“ + 3x)dx ;c) ssinox dx. Giaii Nx Vx 2 a) || -- + -7= | dx = |-- dx + |- = dx 等一去*=J苦*丘 l l l = " foo dx + 2 flv * dx = x2 + 4x2 + C= + 4 + CKhẳng định sau đúng hay sai ?

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bình luận