Sách giáo khoa đại số và giải tích 12

Nguyên hàmNguyên hàmNguyên hàm

Nguyên hàmNguyên hàmNguyên hàm
Nguyên hàmNguyên hàmNguyên hàm

Nguyên hàm –

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.2.ĐINH LÍ2Nếu F(\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(\) trên K đều có dạng F(\) + C, với C là một hằng số.Chứng minh. Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(\) trên K, tức là G”(A) = f(\), \ = K. Khi đó (G(A) – F(x) = G(A) – F (A) = f(x) = f(x) = 0, \ e K. Vậy G(x) = F(\) là một hàm số không đổi trên K. Ta có G(x) = F(A) = C → G(A) = F(x) + C. A. e. K. Hai định lí trên cho thấy: Nếu F(\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, Ce R là họ tất cả các nguyên hàm của f(\) trên K. Kí hiệuCHU Y Biểu thức f(\)d\ chính là vi phân của nguyên hàm F(\) của f(\), vì dF(\) = F'(\) d \ = f(\) d\. Ví dụ 2a) Võive (-O: +o), 2\dv = A + C b). Với x = (0: +ơO), fods = ln s + C’ ; c). Với 1 = (–OC: +…), Icos{dI = Sin t + C. Tính chất của nguyên hàm TÍNH CHẤT 1 Jr (tody – f(x) + C.Tính chất này được suy trực tiếp từ định nghĩa nguyên hàm. Ví dụ sau đây minh hoạ cho tính chất đó. Ví dụ 3. (cos x)’ dx = s-sinx)dx = cos x + C.TÍNH CHẤT 2(k là hằng số khác 0).Chứng minh. Gọi F(\) là một nguyên hàm của kf{\), ta có k/(v) = F(v) (*) r, 1. ) Vì k = 0, nên f(x) = F (A) = ( Từ đó, theo tính chất 1 ta có kf(a)dy = Fo) dx = “) — C) = F(x) + KC (CI e IR) = F(x) + C (vì C, tuỳ ý thuộc R và k z0 nên C = {C} tuỳ ý thuộc R) skf(x)dx (do (*)).TÍNH CHẤT 3f(x) g(x))dx |f(x)dx 士 Jg(a)dy.4 عين * chứng minh. TÍnh chất 3. Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3sin \ + * trên khoảng (0; +ơ). Giải. Với \ = (0, #2O), ta cóÍ3sins — id = 3 || sin xdx + 2 side = —3 cos x + 2 ln x + C .3. Sự tồn tại nguyên hàm Ta thừa nhận định lí dưới đây, ĐINH LÍ3Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 95 Ví dụ 52 a). Hàm số f(x) = \o có nguyên hàm trên khoảng (0; +…) và 2. 5 joids – as x’ dix’ – ミ* + C.b). Hàm số g(x) = có nguyên hàm trên từng khoảng {{ft:(K + 1)ft) SITA (K = 7) vàH—* = – cotx + C.sin x 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 5 Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại sốvà Giải tích 11 để điền các hàm số thích hợp vào cột bên phảf'(x) f(x) + Cα” inα (α > 0, α = 1)COSA- sinx Từ bảng các đạo hàm, ta có bảng nguyên hàm sau đây.sode = C. sade = — + C (a > 0, a z 1) lina = x + C. cos Adx = sin x + C ‘div – ” ‘ ” – C (απ – 1) isin di = — cos x + C C – – 1 dy – Ins – C 5 — dx = tan x + C COS A jeda = e + C f -7 dx = – cot x + C L sin vVí dụ 6. Tính :a) se — trên khoảng (0; +ơC):b) 3cosa -3’ ‘)de trên khoảng (-2C :+ơC).Giảia) Vöixe(0:+x)tacó= 2 sx*dx + a2 l 2. + 3×3 + C = + 3 r + C.b). Với \ = (~C :+oo) ta có3cos x – 3*)dx = 3|cos Adix – s’ dx3. – — + C = 3 sin x -l + C. 3. In 3 In 3= 3 sin x – CHÚ Ý:Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.7. Giải tích 12A 97|| – PHƯONG PHÁP TÍNH NGUYÊN HAM1. Phương pháp đổi biến số6a) Cho !)”dx. Đặt u = \ = 1, hãy viết (A-1)”dr theo II và du.b) Cho !”ody. Đặt \ = c”, hãy viết “ode theo I và d. ĐINH LÍ1Nếu |f(u)du = F(u) + C và u = u(\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì|f(u,v)u'(x)dy = F(u(x) + C.Chứng minh. Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có (F(и(x)))” = F”(и).и”(x). Vì F'(t) = f{u} = f{u(\)) nên (F(u(\)))’ = f{u(\))u'(\). Như vậy, công thức |f(u)du = F(u) + C đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi u là một hàm số của biến số độc lập \, HÊ QUẢVới u = a \ + b (a z 0), ta cóF(αA + b) + C. (/Ví dụ 7. Tính [sin(3\ – 1) d \. Giải. Vì ssin u du = -cos II + C nên theo hệ quả ta có ssin(3x — 1)dx = – cos(3x – 1) + C. CHÚ Ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(\)) thì sau khitính nguyên hàm, ta phải trở lại biến Y ban đầu bằng cách thay u bởi u(\).7. Giải tích 12_B Ví dụ 8. Tính |-ods. (x + 1) Giải. Đặt u = x + 1 thì tỉ’= 1 và — ẽ dy được viết thành ldu. Khi đó, (A + 1) nguyên hàm cần tính trở thành du 陆 品川 Judu — l + C. 3. Iլ` 4.Thay u = \ + 1 vào kết quả, ta được |d = + C. (A + 1) (x + 1): 4 x + 1 32. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần7 Ta có (x cos x)’ = cos.A – Asin v hay -A sin x = (\cos x)’ – cos x.Hãy tính f \cos \)’da và Jeosad. Từ đó tính ] \sin \d\,ĐINH LI 2Nếu hai hàm số u = u(\) và V = V(x) có đạo hàm liên tục trên K thìu(x)y(x)dx = u (x) vʻ(x) — u'(x)y(x)dx.Chứng minh. Từ công thức đạo hàm của tích (u (X) vʻ(x))’ = u'(x)vʻ(x) + u(x)v'(x)hay u(x) v'(x) = (u(x) vʻ(x))’ — u'(v) vʻ(x),ta có u(x)y(x)dx fu(x)v(x))’de fu ‘(x)v(x)dx.Vậy fu(x)”(x)d = u(x)v(x)- u'(x)y(x)dx. CHÚ ÝVì v'(x)d\ = dv, u’(\)dx = du, nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng sudv – I – svdu. Đó là công thức tính nguyên hàm từng phần.Ví dụ 9. Tínha) sive’de b) six cos xdx c) sin vdiv.Giaiia). Đặt u = x và dv = e^dx, ta có du = dx và v = e^. Do đó јvede = ve* — fede = Ae’ – e’ + C.b) Đặt II = \ và dV = cos \ d\, ta được du = d \ và V = Sin_\. Vậy six cos x dx = A sin x — sin a dahay six cos x dx = x sin x + cos x + C.c) Đặt u = ln \, dw = dx, ta có du = | dx và \ = \. Do đósin x dx = \ln Y- jdv = x n x – x + C.8 Cho P(A) là đa thức của x. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dự thích hợp vào ô trống theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần.Poe “dx P A) cos x dx, P A) in dx.| и P(A) dh” e”dixBời tộp 1. Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại ? a)e’’ và −e ”’; b) sin2A và sin”Y:2 o e’ và *ノ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : x + VA – 1 2 – 1 a) f(x) = — : b)f(x) = . . ; Nxe’100Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính … Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính …?

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 1022

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

--Chọn Bài--

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Print Friendly, PDF & Email