Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

Phương trình mũ và lôgaritPhương trình mũ và lôgaritPhương trình mũ và lôgaritPhương trình mũ và lôgaritPhương trình mũ và lôgaritPhương trình mũ và lôgaritPhương trình mũ và lôgaritPhương trình mũ và lôgarit

Phương trình mũ và lôgarit –

Trên thực tế, nhiều bài toán dẫn đến việc giải phương trình dạng a^x = m hoặc (loga)x = m, trong đó m và a là những số cho trước với 0< a ≠ 1. Đó là những dạng đơn giản của phương trình mũ và phương trình lôgarit. Trong bài này, ta vẫn giả thiết a là một số cho trước, dương và khác 1.Phương trình cơ bản• Phương trình mũ cơ bản có dạng a’’ = m, trong đó m là số đã cho. Phương trình này xác định với mọi x.Dễ thấy rằng khi m<0, đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm sốy= a”; còn khi m> 0, đường thẳng y = m luôn cắt đồ thị hàm sốy= a” tại đúng một điểm (h.2.11). Do đóy s y = m. Aa, – – – ーイ Ο 1 logam * Hình 2.//Nếu m < 0 thì phương trình a’’ = m vô nghiệm:x= logam. Nói cách khác,v m e (0; + CO), a* = m <=> x = logam.Nếu m > 0, thì phương trình a’’ = m có một nghiệm duy nhấtVí dụ 1. a)3’=9 <> x= loga9 <> x = 2; b) 10 = 1 -> x = log 1 -> x = 0. |н1 Giải các phương trình sau:a) 2′ = 8. b) e’ = 5.• Phương trình lôgarit cơ bản có dạng log \ = m, trong đó m là số đã cho. Điều kiện xác định củaDễ thấy đường thẳng y = m luônphương trình này là x > 0. Ο mcắt đồ thị hàm số y = log \ tại đúng một điểm (h.2.12). Do đó Hình 2,12một nghiệm duy nhất x = a”. Nói cách khác,vim e (-CO; + CO), logx = m <=> x = a”.Với mỗi giá trị tuỳ ý của m, phương trình log \ = m luôn cóVí dụ 2. log, = c = 2 = 2;.1 = x. چ> “x = e. چ> 0 = ln.xΗ2 Giải các phương trình sau : a) logy = logs5; b) logxo = —4. Từ đó hãy cho biết nghiệm của phương trình log, x= logap, (p > 0).1192. Một số phương pháp giải phương trình mũ và lôgarita) Phương pháp đưa về cùng cơ số Trong bài trước, ta đã biết các tính chất:(i) a = a ” چپہ α = β.:(ii). Nếu a > 0,/? > 0 thì logna = log/? <> & = /?. Các tính chất đó cho phép ta giải một số dạng phương trình mũ (hoặc phương trình lôgarit) bằng cách đưa các luỹ thừa (hoặc các lôgarit) trong phương trình Về luỹ thừa (hoặc lôgarit) với cùng một cơ số. Sau đây là một số ví dụ. Ví dụ 3. Giải phương trình9′ + 1 2.72 + (1)Giaii Nhận xét rằng ta có thể đưa hai vế của phương trình về luỹ thừa của cùng cơ số 3.)1+n + 1( 72 + 1 3(2x)32 – 1+ ازvà 2 Do đó (1 + v + 1)=3(2v)2 جي (ا”****3=(‘”۲)*3 جي (1) <=>一4xー1=0 <=> x = -l. 4. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \ = – Ví dụ 4. Giải phương trình logol = log (x – A – 1). (2) 2. Gidi Điều kiện xác định của phương trình (2) là Y>0 và x – c – 1 > 0. Với điều kiện đó, do logol = log 1 x nên phương trình đã cho tương đương 2. với phương trìnhlog X = log(x – x – 1) hay x = x -x – 1. 2. 2.120Bởi vậy, ta có thể viếtx > 0 2 A > 0 A > 0 (2) <> { t” – 1 – 1 > 0 -> 2 -C 2 2 x = x – x – 1 x – 2 x -1 = () x = x – x – 1 x > 0 <-> -> x = 1 + 2. x = 1 + N2 hoặc x = 1 – N2Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 + v2. |H3] Một bạn giải phương trình logy = log25 như sau ; V log = log2\ nênlogo= log25 – log v = log25 – x = 5. Lời giải đó đúng hay sai ? Ví dụ 5. Giải phương trìnhlog(x + 12). log2 = 1. (3)Giaii Để vế trái của (3) có nghĩa, ta phải có x + 12>0 và 0 < \ z 1. Vậy điều kiện Xác định của phương trình (3) là 0 < \ z 1.Khi đó, log2\ z 0 và log2 = , thành thử với điều kiện 0 < x z 1, ta cólog2 YI log2 Y(3)<→ i log(x + 12). = 1 - log(x + 12) = logy - x + 12 = x.Do đó, ta có thể viếtx + 12 = x x - x - 12 = 0 x = -3 hoặc x = 4 (3)<→ <二> ○二> <→ x=4. 0 < \t z 1 0 < x 7. 1 0 < \ z I Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 4. DĐưa về cùng cơ số là phương pháp rất hay dùng khi giải các phương trình mũ và phương trình lôgarit. Nó thường được dùng kết hợp với các phương pháp khác mà ta sẽ nêu dưới đây.b) Phương pháp đặt ẩn phụVí dụ 6. Giải phương trình 3***=3'"* + 2.121GidiTa có thể viết 3** ** = 3.3***= 3.3°***} = 3(3')Vì vậy, nếu đặty = 3+2 (với y > 0) thì phương trình đã cho có dạng 3y =y+2, hay 3y* – y – 2 = 0. Phương trình này có hai nghiệm y = 1 và y = – , nhưng chỉ có y = 1 là thích hợp. Do đóx + 232x +5 = a۲ + 2 + 2 ද-> 3= 1 <= x + 2 = 0 <= x = -2.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - 2.Giải phương trình 2' +2° +2'’ = 448 bằng cách đặt ẩn phụ y = 2°.4.6 Ví du 7.. Xét phương trình – + → - pinurong log22x log ?= 3. (4)Dễ thấy điều kiện xác định của phương trình là x > 0, |x z và Y z 1. Với điều kiện đó, ta có4.6 (4)རས་ཚེ་ 11 log ༈ 213(5)|H5] Giải phương trình (5) bằng cách đặt y = log2 x rồi kết luận về tập nghiệm cüa (4). c) Phương pháp lôgarit hoá Tính chất (ii) đã nêu còn cho phép giải phương trình có hai vế luôn dương bằng cách lấy lôgarit hai vế (theo cùng một cơ số thích hợp nào đó). Việc làm đó gọi là lôgarit hoá hai vế của phương trình. Ví dụ 8. Giải phương trình 3′-‘,2′ = 8.4°. Giải Dễ thấy hai vế của phương trình xác định với mọi x và luôn nhận giá trị dương. Do đó có thể lôgarit hoá hai vế theo cơ số 2. Ta có 3”2′ = 8.4″ – (x – 1)log:3+x = log.8 + (x -2)log,4 -> x-(2-log23)x + 1 -log23 = 0.Phương trình bậc hai cuối cùng có hai nghiệm là x = 1 và x = 1 – log23. Đó cũng là hai nghiệm của phương trình đã cho. D Lôgarit hoá là phương pháp khá thông dụng trong việc giải phương trình mũ. Khi lôgarit hoá, ta cần khéo chọn cơ số để lời giải được gọn. Bằng phương pháp lôgarit hoá, giải phương trình 2°5’ = 0,2.(10’ ‘)”. d) Phương pháp sử dụng tính đồng biến hay nghịch biến của hàm sốVí dụ 9. Giải phương trình 2’=2 – logax.Gidi Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình đã cho. Ta sẽ chứng minh rằng phương trình không còn nghiệm nào khác. Thật vậy, điều kiện xác định của phương trình là x > 0, tức là x = (0; +ơo). Trên khoảng đó, hàm số y = 2’ đồng biến trong khi hàm số y = 2 – log.x nghịch biến.Ta xét hai trường hợp: – Nếu x > 1 thì logax > 0 và 2″>2. Do đó 2 – logax < 2 < 2". Điều đó chứng tỏ trên khoảng (1 ; + CO), không có giá trị nào của x là nghiệm của phương trình đã cho. - Nếu 0 < x < 1 thì logax < 0 và 2° < 2. Do đó 2 – logạx > 2 > 2″. Điều đó chứng tỏ trên khoảng (0; 1), không có giá trị nào của x là nghiệm của phương trình đã cho.Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.Câu hủi và bài tập 63. Giải các phương trình sau: a) (2 + 3) = 2 – V3; b) 2′-3’2 = 4; .d) logs (3 +8) = 2 + x : 9 = 3 – ا-۹ 6.3 – ا””2.3 (c12364. Giải các phương trình sau :a) log(x(x – 1) = 1 ; b) logs + log(x – 1) = 1.65. Trên mặt mỗi chiếc rađiô đều có các vạch chia để người sử dụng dễ dàng chọnđúng sóng rađiô cần tìm. Biết rằng vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng d (cm) thì ứng với tần số F = ka’ (kHz), trong đó k và a là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng bên trái ứng với tần số 53 kHz, vạch tận cùng bên phải ứng với tần số 160 kHz và hai vạch này cách nhau 12 cm.53. 60 80 OO 120 140 160 |14KH-Ha). Hãy tính k và a (tính a chính xác đến hàng phần nghìn). b) Giả sử đã cho F. hãy giải phương trình ka”= F với ẩn d.c) Áp dụng kết quả của b), hãy điền vào ô trống trong bảng sau (kết quả tính chính xác đến hàng phần trăm)F 53 60 80 100 120 140 160d66. Giải các phương trình sau:6a) 2 , 5 – 200 : b) 0,125.4 = (4,2)’.7. Giải các phương trình sau :a) log2x + loga = log V3 ; b) log, y log3A. logo x = 8.68. Giải các phương trình sau:612.4a)3′ + 18.3 = 29:b) 27′ + 12’=2.8′. (Hướng dẫn : Chia cả hai vế cho 2” rồi đặt t = () ).9. Giải các phương trình sau :log. A logs 4 x . log2x logo, 8 x *a) log”’ – 20log NA + i = 0 ; b)c) logo, 27 — logs 3 + log9243 = 0.Giải các phương trình sau…

 

Print Friendly, PDF & Email

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình / 5. Số lượt đánh giá:

Bình luận