Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao

Tích của một vectơ với một sốTích của một vectơ với một sốTích của một vectơ với một số

Tích của một vectơ với một sốTích của một vectơ với một sốTích của một vectơ với một số
Tích của một vectơ với một số

Tích của một vectơ với một số –

Ta đã biết thế nào là tổng của hai vectơ. Bây giờ nếu ta lấy vectơ a cộng với chính nó thì ta có thể nói kết quả là hai lần vectơ a, viết là 2a, và gọi là tích của số 2 với vectơ a, hay là tích của a với 2. Trong mục này ta sẽ nói đến tích của một vectơ với một số thực bất kì.1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số Xét các vectơ trên hình 20. Ta hãy chú ý đến hai vectơ đi và 5. Hai vectơ đó có cùng hướng, và độ dài vectơ 5 bằng hai lần độ dài vectơ đi, tức là l5 = 2ld. Trong trường hợp đó ta viết 5 = 2ã và nói rằng: Vectơ 5 bằng 2 nhân với vectơ ā (hoặc bằng vectơ ā nhân với 2), hoặc vectơ 5 là tích của vectơ ä với số 2.Hình 20Lại chú ý đến hai vectơ ở và d. Hai vectơ này ngược hướng, và lẽ|= 2d. Khi đó ta viết C = (-2)d và nói rằng : Vectơ ẽ bằng -2 nhân với vectơ d (hoặc bằng vectơ d nhân với -2), hoặc vectơ ẽ là tích của vectơ d với -2.1 汽、 hình bình hành ABCD.a). Xác định điểm E sao cho AE = 2BC. b)Xác định điểm F sao cho AF = CA182-hhonic-e ĐINH NGHIATích của vectơ ā với số thực k là một vectơ, kí hiệu là kā,được xác định như sau1) Nếu k > 0 thì vectơ kả cùng hướng với vectơ ä ;Nếu k < 0 thì vectơ kả ngược hướng với vectơ ä ;2) Độ dài vectơ kä bằng |k|.|ã|-Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơvới số (hoặc phép nhân số với vectơ). Nhận xét. Từ định nghĩa ta thấy ngay lä = ä, (-1)ã là vectơ đối của ä, tức là (-1)ả = -ả.Ví dụ. Trên hình 21, ta có tam giác ABC với M và N lần lượt là trung điểm hai cạnh AB và AC. Khi đó ta cóA. a) BC = 2 MN; MN = 号函、 - - 1)士 M N b) BC - (-2) NM; MN = (-CB; e) AB = 2MB : AN=(-1) CA. B C 2 Hình 2/2. Các tính chất của phép nhẩn vectơ với sốDựa vào định nghĩa phép nhân vectơ với số ta có thể chứng minh các tính chất sau đâyVới hai vectơ bất kì ả, b và mọi số thực k, l, ta có I) k(lä) = (kl)ā ;2) (k+ 1)ā = kā +lā : 3) k(ā+b) = kā + kb. ; k(ā — b) = kā - kb. ;4) kā = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc ä = 0.2 (Để kiểm chứng tính chất 3 với k = 3)a) Vẽ tam giác ABC với giả thiết AB = d và BC = 5. b)Xác định điểm A'sao cho A'B'=3ã và điểm C sao cho BC'=35. c) Có nhận xét gì về hai vectơ AC và A'C'? d). Hãy kết thúc việc chứng minh tính chất 3 bằng cách dùng quy tắc ba điểm.CS- CHÚ Ý:1) Do tính chất 1, ta có (-k)ã = (-1, k)ā = (-1)(kā) = −(kā). Bởi vậy cả hai vectơ (-k)ã và –(kā) đều có thể viết đơn giản là -kā.2) Vectơ “ d có thể viết là “. Chẳng hạn ã có thể viết là “ 1ገ Bài toán 1. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm M bất kì, ta có MA + MB = 2Mĩ. Giải (h. 22). Với điểm M bất kì, ta cóA. MA = MI - IA, SSSS I MB = MI + IB. M Nhur Vå no - - B MA + MB = 2MI + IA + IB . Hình 22Ta biết rằng 1 là trung điểm của AB khi và chỉ khi IA + IB = 0. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.Bài toán 2. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta cóMA + MB + MC = 3MG. M (Để giải Bài toán 2) (h. 23) A a) Tương tự Bài toán 1, hãy biểu thị các vectơ MA, MB và MC qua Vectơ MG và từng vectơ GA, GB, GC. b) Tính tổng MA + MB + MC. Với chú ý rằng G là trọng B Ctâm tam giác ABC, hãy suy ra điều phải chứng minh. Hình 23203. Điều kiện để hai vectơ cùng phươngTa đã biết rằng nếu 5 = kả thì hai vectơ đi và 5 cùng phương. Điều ngược lại có đúng hay không ?Hình 24[?1]Xem hình 24. Hãy tìm các số k, m, n, p, q sao cho b = kā ; c = mā ;b = n.c. : x = pit ... y = gil.Một cách tổng quát ta cóVecto b cùng phương với vectơ ä (ả z 0) khi và chỉ khicó số k sao cho 5 = kả.Trong phát biểu ở trên, tại sao phải có điều kiện ả z 02 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Điều kiện cẩn và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho AB = kAC. Chứng minh. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương. Bởi vậy theo trên ta phải có AB = kAC.Bài toán 3. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp 0.a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2OI. b) Chúng minh OH = OA + OB + OC. c) Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng. 4.Giaii (h. 25) a). Dễ thấy AH = 2OI nếu tam giác ABC vuông.Nếu tam giác ABC không vuông, gọi D là điểm đối xứng của A qua O.Khi đó A. BH // DC (vì cùng vuông góc với AC), BD // CH (vì cùng vuông góc với AB).Suy ra BDCH là hình bình hành, do đóI là trung điểm của HD. Từ đó AH = 2oi. Bb) Ta có C OB + OC = 2Oi = AHmêm F/ình 25OA + OB + OC= OA + AH = OH. c) Ta đã biết OA + OB + OC = 30G. Vậy OH = 3OG. Suy ra ba điểm O, G, H thẳng hàng. Đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng O-le của tam giác ABC. Biอื่น thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương Cho hai vectơ ä và b. Nếu vectơ c. có thể viết dưới dạng ẽ = mã + n b, Với m và n là hai số thực nào đó, thì ta nói rằng : Vectơ ở biểu thị được qua hai vectơ ä và 5. Một câu hỏi đặt ra là: Nếu đã cho hai vectơ không cùng phương ä và 5 thì phải chăng mọi vectơ đều có thể biểu thị được qua hai vectơ đó ? Ta có định lí sau đây :ĐINH LíCho hai vectơ không cùng phương ä và 5. Khi đó mọi vectơ Ý đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ ä và 5, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n saocho x” = m d + m b.Chứng minh Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ OA = a., OB = b, OX = X" (h. 26). Nếu điểm X nằm trên đường thẳng OA thì ta có số m sao cho OX = mOA. Vậy ta cóY = mã + 0b (lúc này n = 0). Tương tự, nếu điểm X nằm trên đường thắng OB thì ta có* = 0a+nb (lúc này m=0). Hình 26 Nếu điểm X không nằm trên OA và OB thì ta có thể lấy điểm A' trên OA và điểm B' trên OB sao cho OA"XB’ là hình bình hành. Khi đó ta có OX = OA' + OB', và do đó có các số m, n sao cho OX = тOA + noB, hayv = mā + nb. Bây giờ nếu còn có hai số m” và n” sao cho Ý = mã + nb = m'ā + n"5, thì (m-m")d = (n' - n)5.Khi đó, nếu m = m" thì a = 5, tức là hai vectơ ä và 5 cùng phương,n' - 1 Iገl – ከክ trái với giả thiết, vậy m = m". Chứng minh tương tự ta cũng có n = n”.Côu hỏi và bài tộp- Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a. Hãy dựng các vectơ sauđây và tính độ dài của chúngOA + OB; OA — OB ; 3 OA + 4 OB; 2 OA + 2,5 OB ; 11 OA – 3 OB. 4. 4 722. Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh OA và OB.Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đâyOM = mOA + n OB: MN = m OA + n OB; AN = m OA + noB; MB = m OA +п ов.23 Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng 2MN = AC + BD = AD + BC

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 1113

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

--Chọn Bài--

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Print Friendly, PDF & Email