Sách giáo khoa đại số và giải tích 12

Tích phânTích phânTích phân

Tích phânTích phânTích phân
Tích phânTích phânTích phân
Tích phânTích phânTích phân
Tích phân

Tích phân –

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 <= x <= 5) (H45).102}}}}]]| 45 }/ình 46 3. Chứng minh rằng S() là một nguyên hàm của f(t) = 2 + 1. T = []:5] và diện tích ቆ = S(5) – S(1). Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a : b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(\), trục hoành và hai đường thẳng \ = a. \ = b được gọi là hình thang cong (H. 47a). O lớp dưới, ta đã biết cách tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác. Bây giờ, ta xét bài toán tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi một đường cong kín bất kì (H. 47b).b)H 47 Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục toạ độ, ta chia D thành những hình nhỏ là những hình thang cong (H.47a). Bài toán trên được đưa về tính diện tích của hình thang cong.Ví dụ 1. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = vo, trục hoành và các đường thẳng x = 0. \ = 1. Giải. Với mỗi x = [0: 1] gọi S(\) là diện tích của phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục OA tại điểm có hoaro J và Y (H. 48), Ο v v+h |H 48 H 49 Ta chứng minh S'(x) = x, ye 0:1). Thật vậy, với h > 0, \ + h < 1, kí hiệu SMNPọ và SMNEP lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.49), ta có SMNPQ s S(A + h) - S(X) is SNEPha - S(A + h) - S(A:) < h(x +Os S(x + 1) - S(Α) h Với h < 0. \ + h > 0, tính toán tương tự, ta được s S(x + 1) – δ(λ) 2 hAos 2xh+ ho.2Al + H.” A 30.Tóm lại với mọi h z 0, ta có S(x + h) – δ(v) hx*|< 2x|h|+ h°. Suy raS(A + h) - S(x) A. A e (0 : 1).S'(x) = lim --0 Ta cũng chứng minh được S''(0) = 0, S''(1) = 1. Do đó, S(\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = A” trên doan [0; 1]. 103 3.3. cũng là một nguyên hàm của f(\} = \" nênMặt khác trên đoạn đó, F(\) =3. S(A) = + C, C e R.Từ giả thiết S(0) = 0. Suy ra C = 0. VậyS(x) = - (x) 3.ܬ ܬܐ ܦ . ܦ . Thay \ = 1 vào đắng thức trên, ta có diện tích của hình cần tìm là S{1} = s Bây giờ, ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a \ = b (a < b), trục hoành và dường cong y = f(\}, trong đó f{A) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn 14: b|- y Với mỗi \ = [a : b], kí hiệu $(A) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với OY lần lượt tại a và Y (H.50). Ta cũng chứng minh được S{\) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a : b].Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của [[A) thì Có một hằng số C sao cho S{\} = F(x) + C.HSC)Vì ś(a)=0 nên F(a) + C = 0 hay C = –F(a). Vay S(Α) = F(Α) F(α). Thay \ = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cẩn tìm làS(b) = F(b) F(a).2. Định nghĩa tích phân2Giả sử f(\) là hàm số liên tục trên đoạn la : 51, F(x) và G{\) là hai nguyên hàm của f(\). Chứng minh rằng F(b) = F{a} = G(b) = G(a), (tức là hiệu số F{b} = F(a) không phụ thuộc Việc chọn nguyên hàm).104 Cho f(\) là hàm số liên tục trên đoạn [a : b]. Giả sử F(\) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a : b]. Hiệu số F(b) = F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a : b]) của hàm số f(x), kí hiệu làh|f(x)dx.Ta còn dùng kí hiệu F(x). để chỉ hiệu số F(b) – F(a).b b |f(a)dy - F(x) = F(b) = F(a).t Ta gọi là dấu tích phản, a là cận dưới, b là cận trên, f(\)d\ là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phản. CHÚ Ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b), ta quy ước [f(x)dx = 0 ; [f(x)dx = -f(x)dx. Ví dụ 2 – 2 12 de-A = 2 – 1 = 4–1 =3; 2) I di = Intl = line in i = 1 0 = 1. NHÂN XÉTb a) Tích phân của hàm sốftừ a đến b có thể kí hiệu bởi |f(x)dxh hay f(t)dt. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vàof và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số Y hay f. 105 b) Ý nghĩa hình học của tích phản. Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a : b], thì tích phân sf(\)d\ là diện tích’S’ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(\), trục OA và hai đường thẳng Y = a. \ = b (H47a). Vậyb S = |f(x)dx.II – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂNTÍNH CHẤT 1h skif(a)dy = k sf(x)dx (k là hằng số).(ITÍNH CHẤT 2h h f(x)土g(x)|dx= |f(x)dx 士 g(x)dy. t3 Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2. 4. ༡ Ví dụ 3. Tính sexo + 3Na)dx. Giải. Ta có4. 4. 4 so:3VA)dx = od = 3 di 3. 34 4 3 —부-22-1)-35 3 || 3 || 3.106 TÍNH CHẤT 3(a < c < b).Chứng minh. Giả sử F(\) là một nguyên hàm của f{\) trên đoạn [a : b]. Khi đó, F(\) cũng là một nguyên hàm của f(\) trên mỗi đoạn [a : c] và [c: b]. Do đó, ta cóf(a)dy + f(a)dy = (F(c) = F(a) + (F(b) - F(e) t= F(b) - F(a) = |f(x)dx.2エ Ví dụ 4. Tính Î VI - cos2\de. () Giải. Ta có 2て 2π. 2冗 vi — cos 2x dx = V2 sino x dv = v/2 jlsin xildi. O O Osin \, nếu 0 < \ < ItVì sin_\|= —sin \, nếu ft * \ < 27tnên2冗 2. s N1 — cos 2 xdx = s Isin xld x + finalar O OO1. jin al- N21- cos x)| (coso = 4-2.107 III - PHƯỞNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN1. Phương pháp đối biến số 4.Cho tích phân 1 = f2. 1y dv.1. Tính I bằng cách khai triển (2.x+1)”.2. Đặt u = 2\ + 1. Biến đổi biểu thức (2.x+1)*de thành g(t)du.3. Tính f g{u}du và So sánh kết quả với 1 trong câu 1.Tương tự phương pháp đổi biến số trong việc tính nguyên hàm, ta có định lí Sau đây.ĐINH LÍ Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ø , b]. Giả sử hàm số Y = (2(f) có đạo hàm liên tục trên đoạn [CZ ; /? ]ʻ" sao cho (2(O) = a, (2(6) = b và a < (2(f) < b với mọi t = [CZ ; /ớ].Khi đó s f(x) di = f(p(r)a'(t)dt. C) Ví dụ 5. Tính f is dy. l + \ Giải. Đặt \ = tan I, - Ε - Ι - Ε. Tacό A'(t) = 2 2 COSKhi \ = 0, thì f = 0, khi \ = 1 thì f = Các giả thiết của định lí trên được thoả mãn. Do đó t 4. 4. I 1 dit TI 丘—、 dx = 丘— * 4.2 1 + x 1 + tan- t cos" t(*). Nếu /) 2 , ta xét đoạn 1/3: {2}, 108CHÚ Ý:Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau :Cho hàm số fix) liên tục trên đoạn ta; b). Để tính Îf(x)dy,đôi khi ta chọn hàm số u = u(\) làm biến số mới, to đó trên đoạn [a : b], [{{\) có đạo hàm liên tục và u(\) = {{Z ; /?]. Giả sử có thể viếtf(x) = g(u0A) u'(x), ea; b), với g(u) liên tục trên đoạn [& :/?].Khi đó, ta có u(b)h |f(x)dx - s g(u)du.(a)Ví dụ 6. Tính ssinox cos xdx.O Giải. Đặt u = sin\. Ta có u’’ = cos \. Khi x = 0 thì u(0)=0, khi x = # th () - 1.Vậy | 1 O 3ssinox cos x dx jirfdu - l O O 3.Ví dụ 7. Tính |— —d\ 版 - ) Giải. Đặt u = 1 + x”, ta có u’’ = 2\, u(0)= 1, u(1)=2 nên- 片屿 -(1 - 22. Phương pháp tính tích phân từng phần 5a). Hãy tính frt 1)e^de bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.b) Từ đó tính Î\ + DeodoTương tự phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây ĐINH LíNếu u = u(\) và \ = \ (\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a : b] thìB5 h u(x)y(x)dx (u(v)v(x))| a u'(x)y(x)dx h h h hay Judy in svdu. t 2. Ví dụ 8. Tính f A sin Adix. O Giải. Đặt u = \ và dv = sin \d\, ta có du = d \ và V = -cos \. Do đó Tt TE TE 2. 2. sv sinxdx = (-x cos x) 0 |cos vdv O O л 2 = ( — A cos x) ot (sin x) 0. O + 1 = 1.Ví dụ 9. Tính 円、 ; x"11()Giải. Đặt u = ln \ và dv = پلdx, ta có du = li de và \o = -부 Do đóIn A e Ye * (-էn.) -- 片* inBAN CÔ B IÊ TNIU-TON (INEWTON)Niu-tơn là nhà toán học, vật lí học, cơ học và thiên văn học Vĩ đại người Anh. Sinh ra thiếu tháng, Niu-tơn là một đứa trẻ yếu ớt. Lớn lên Niu-tơn cũng không phải là một cậu bé khoẻ mạnh. Cậu thường phải tránh những trò chơi hiếu động của đám bạn bè Cùng lứa tuổi. Thay vào đó, cậu tự sáng chế ra những trò chơi cho riêng mình, qua đó cũng thấy được tài năng thực nghiệm của Niu-tơn sớm được bộc lộ. Khi thì cậu làm ra những đồ chơi Cơ học, như chiếc đồng hồ bằng gỗ chạy được, khi thì cậu sáng chế ra chiếc cối xay gió, bên trong để một con chuột đóng vai trò người thợ xay. Có lần vào ban 1. Newton đêm Niu-tơn đã thả chiếc diều mang đèn lồng Chiếu sáng, (1643 - 1727) khiến cho dân làng hoảng sợ. Và ngay từ lúc nhỏ, Niu-tơn đã rất chịu khó đọc sách và ghi chép cẩn thận những điều lí thú mà cậu đọc được trong sách. Năm 1661, 18 tuổi, Niu-tơn vào học tại trường Đại học Cam-brit (Cambridge). Từ đó Niu-tơn thực sự quan tâm đến khoa học. Thầy dạy toán của Niu-tơn thừa nhận Cậu sinh viên Xuất sắc đã vượt mình và năm 1669 ông nhường chức vụ giáo sư cho người học trò lỗi lạc ấy, Niu-tơn giữ chức này cho đến năm 1701.Cống hiến lớn lao của Niu-tơn đối với toán học là đồng thời và độc lập với Lai-bơ-nit (G. Leibniz), ông đã sáng lập ra phép tính vi phân và tích phân. Ngay từ những năm 1665 – 1666, lúc 22, 23 tuổi, Niu-tơn đã xây dựng cơ sở của phép tính này mà Ông gọi là "phương pháp thông lượng", và ông đã áp dụng phương pháp đó để giải những bài toán về Cơ học.Niu-tơn và Lai-bơ-nit đều phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa tích phân và nguyên hàm. Lịch sử Toán học cho thấy khái niệm tích phân đã xuất hiện độc lập111 với đạo hàm và nguyên hàm. Do đó, việc thiết lập mối liên hệ giữa tích phân với nguyên hàm là một phát minh của Niu-tơn và Lai-bơ-nit. Niu-tơn đã có những phát minh cơ bản về dãy vô hạn. Đặc biệt. Ông mở rộng định lí, nay gọi là "định lí nhị thức Niu-tơn" cho trường hợp số mũ là một số thực tuỳ ý. Niu-tơn còn có những cống hiến lớn lao trong các lĩnh vực Đại số, Hình học, Cơ học và Vật lí. Ông đã phát minh ra định luật vĩ đại về vạn vật hấp dẫn.Bời tộp1. Tính các tích phân sau :t 2. -- . In a) s V(1 - odv: b) jsin di 4. l O 2 2 c) Jody; d) fra + Dody: A(x + 1) O 2. t |-3x 2. e) d: g) | sin 3. A cos 5.xdx. if (x + 1)* 2.2Tính các tích phân sau :2 2 a) İı — x dx; b) sinada: O O in 22A-l t c) st de; d) |sin2 cos Adv. O e O112Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính…

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 4 / 5. Số lượt đánh giá: 1138

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

--Chọn Bài--

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Print Friendly, PDF & Email