Số phức –

Ta đã biết rằng các phương trình x^2 + 1 = 0, x^2 + 4 = 0 không có nghiệm thực. Một cách tổng quát các phương trình bậc hai với hệ số thực Ax^2 + Bx + C = 0 mà biệt thức A < 0, chẳng hạn x^2 - 2x +2 = 0 (biệt thức Δ = -4), đều không có nghiệm thực. Sự phát triển của toán học, khoa học đòi hỏi phải mở rộng tập hợp các số thực thành một tập hợp số mới gọi là tập hợp các số phức, trong đó có các phép toán cộng và nhân với các tính chất tương tự phép toán cộng và nhân số thực sao cho các phương trình nói trên đều có nghiệm. Muốn thế, người ta đưa ra số i sao cho bình phương của nó bằng -1. Khi đó i là một nghiệm của phương trình x° + 1 = 0 và 2ỉ là một nghiệm của phương trình x° + 4 = 0; còn 1 + i là một nghiệm của phương trình x”-2.x+2=0, tức là phương trình (Y - 1)° + 1 = 0. Các số a + bi (a,b = R) gọi là các số phức. Với các số phức, người ta còn chứng minh được rằng mọi phương trình bậc 2, 3, 4, ... đều có nghiệm (phức). Số phức cũng liên quan chặt chẽ với hình học phẳng, với lượng giác, ... (xem bài Em có biết "Vài nét lịch sử phát triển số phức", trang 197).ĐINH NGHIA 1 Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số ị thoả mãn i” = -1. Kí hiệu số phức đó là 2 và viết 2 = a + bi, i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức 2 = a + bi,Tập hợp các số phức được kí hiệu là C.2182CHÚ Ý Số phức 2 = a + 0ỉ có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a + Oi = a e IR C C. Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số do (còn gọi là số thuần ảo): z = 0 + bi = bi (b eE R) ; i = 0 + 1i = 1 i . Số 0 = 0 + 0 = 0ỉ vừa là số thực vừa là số ảo. Ví dụ 1 Số phức 2 = 2 + \3ỉ có phần thực bằng 2, phần ảo bằng N3. Số phức 2 = − i (tức là (-1)) có phần thực bằng 0, phần ảo bằng -1 ; đó là một số ảo. ĐINH NGHIA 2 Hai số phức 2 = a + bi (a, b = R), 2' = a'' + 'b'i (a', b = IR) gọi là bằng nhau nếu a = a"、 b = b" Khi đó ta viết 2 = 2". |H1 Khi nào số phức a + bi (a, b = R) bằng 02 Biểu diễn hình học số phức Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên một trục số. Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng toạ độ Oxy. Mỗi số phức 2 = a + bi (a, b = R) được biểu diễn bởi điểm M có toạ độ (a; b). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a; b) biểu diễn một số phức là 2 = a + bi, Ta còn viết M(a + bi) hay M(z). Vì lẽ đó, mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức. Gốc toạ độ Obiểu diễn số 0.Các điểm trên trục hoành OY biểu diễn các số thực, do đó trục OY còn được gọi là trục thực.Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn ------- được gọi là trục ảo. Bl. Trên hình 4.1 có các điểm O. A, B, A. C, D, E, F theo thứ tự biểu diễn các C Ο số phức 0, 1, i, +2, +2i, 1 +2i, 2 –i. "F Phép cộng và phép trừ số phức D a) Tổng của hai số phứcHình 4.]ĐINH NGHIA 3 Tổng của hai số phức 2 = a + bi, Z'= a'' + 'b'i (a, b, a', 'b''e R) là số phức 2 + z' = a + a'+(b + b")i.Như vậy, để cộng hai số phức, ta cộng các phần thực với nhau, cộng các phần ảo với nhau. Ví dụ 2. Ta có (3 + i) + (2 – 3i) = 5 – 2ỉ ;(1-2) + (2 + 2i) = 3;(2-2i) + (-2 + 3i) = i. b) Tính chất của phép cộng số phức Từ định nghĩa 3, dễ thấy phép cộng các số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép cộng các số thực. • Tính chất kết hợp:(2 + z') + 2" = 2 + (2' + 2") với mọi 2, 2", z" = C. • Tính chất giao hoán:2 + z' = 2' + 2. Với mọi 2, 2' e C. • Cộng với 0:2 + 0 = 0 + 2 = 2 với mọi 2 e- C. • Với mỗi số phức 2 = a + bi (a, b = R), nếu kí hiệu số phức –a - bi là -2 thì ta cóz+(-z)=(-z)+z=0.Số –z được gọi là số đối của số phức Z.183 184н2] Trong mặt phẳng phức, cho điểm M biểu diễn sốz. Hãy tìm điểm biểu diễn Số –z. c). Phép trừ hai số phức ĐINH NGHIA 4 Hiệu của hai số phức 2 và 2" là tổng của 2 với –z", tức làzーz"= z+(-z')Nếu 2 = a + bi, Z'= a'' + 'b'i (a, b, a', b = R) thì z — z' = a — a' + (b — b").i. d) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức Trong mặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có toạ độ (a; b) biểu diễn số phức 2 = a + bi, Ta cũng coi mỗi vectơ lỉ có toạ độ (a; b) biểu diễn số phức z = a + bi. Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vectơ OM biểu diễn số phức đó. Dễ thấy rằng, nếu tỉ, tỉ' theo thứ tự biểu diễn các số phức 2, 2" thì ũ + tỉ' biểu diễn số phức 2 + z", tỉ - tỉ'biểu diễn số phức z – z". Ví dụ 3. Quan sát hình 42, ta thấy: Vectơ OM = ữ có toạ độ (1:3) biểu diễn số phức 2 = 1 + 3i ; Vectơ OM'= tỉ" có toạ độ (2; 1) biểu diễn số phức z'= 2 + i :Vectơ OP = t + tỉ" có toạ độ (3; 4) biểu diễn số phức z+z'=3+4i :VectO О0=MM"=й"-й có toạ độ (1 : -2) biểu diễn số phức z'ー z = Iー2i.Hình 4.2 4. Phép nhân số phức a) Tích của hai số phức Cho hai số phức 2 = a + bi, Z'= a + b'i (a, b, a', 'b' = R). Thực hiện phép nhân một cách hình thức biểu thức a + bi với biểu thức a'+ b'i, rồi thay i” = -1, ta được (a + bi)(a'+ b'i) = aa ' + bb'io + (ab' + a' b)i = aa'–bb' + (ab' + ab)i. Điều đó dẫn ta đến định nghĩa sau đây.ĐINH NGHIA 5 Tích của hai số phức 2 = a + bi và z'= a'' + 'b'i (a, b, a', b = R) là số phức zz' = aa ' — 'bb'' + (ab' + a' b)i. Ví dụ 4. Ta có (2 - i) (1 + 2i) = (2 + 2) + (4 - 1)l = 4 + 3i ; (2 + i) (2 - i) = (4 + 1) + (-2+2)i = 5; (2 + i) (1 + 2i) = (2-2) + (4 + 1) i = 5i. Nhận xét. Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, b = R), ta có k (a + bi) = (k + 0i) (a + bi) = ka + kbi, đặc biệt 02 = 0 với mọi số phức 2.|H3. Nếu vectơ li biểu diễn số phức z thì vectơ kỉ (k = R) biểu diễn số phức nào ? Vi Sao ?Ví dụ 5. Trong mặt phẳng phức, nếu điểm M biểu diễn số phức 2, điểm M' biểu diễn số phức z'(M khác M’’) thì trung điểm P của đoạn thẳng 'MM''biểudiễn số phức 岩e + z'). Điều đó suy ra từ hệ thức OP = јом + OM").1855.186Xét số phức z = x + yi (x, y = R). Tính z” và tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho -” là số thực. b) Tính chất của phép nhân số phứcTừ định nghĩa 5, dễ thấy rằng phép nhân các số phức có các tính chất sau đây tương tự phép nhân các số thực. • Tính chất giao hoán:22' = z'2 với mọi 2, 2' = (C. • Tính chất kết hợp:(zz')z" = 2(2'z') với mọi 2, 2", z" e C. → Nhân với 1:1.2 = 2.1 = 2. Với mọi 2 e C. • Tính chất phân phối (của phép nhân đối với phép cộng):2(2' + z") = 22' + 22" với mọi 2, 2', 2" = C. Từ các tính chất nói trên ta có thể thực hiện phép toán cộng và nhân các số phức theo các quy tắc như phép toán cộng và nhân các số thực. Ví dụ 6. (2 + z')(z - 2") = 22 + z'2 – 22' – z''z' = 12 ہے۔ 2ے; (z+ z)(z+ z)=(z+ z")? = z + 2zz" + z* (bi)o = boio = -bo (b e R) ;3 2io = io. i = -i, i* = io.io 1 , iio(1 + i) = 1 + 3 + 3 + i = -2 + 2i. |H5. Hãy phân tích -° +4 thành nhân tử Số phức liên hợp và môđun của số phức a) Số phức liên hợpĐINH NGHIA 6 Số phức liên hợp của 2 = a + bi (a, b = R) là a – bị và được kí hiệu bởi Z.Như vậyVí dụ 7. 2 + 3i = 2 – 3ỉ : -4 - J2 = -4 + J2 :i = -i ;iF.• Rõ ràng Z = z nên người ta còn nóiz và 7 là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là Hình 4,3 hai số phức liên hợp). Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng Với nhau qua trục thực OY (h.4.3). Chứng minh rằng số phức z là số thực khi và chỉ khi 2 = 2. • Từ định nghĩa 6, dễ suy ra: Với mọi số phức 2, 2", ta có 2 + c = 2+2';- - -, 22 F 2 2.Chứng minh rằng với mọi số phức 2 = a + bi (a,b = R), ta có 22 =b) Môđun của số phức Ta đã biết giá trị tuyệt đối của số thực a là khoảng cách từ điểm biểu diễn a đến gốc toạ độ trên trục số. Dễ thấy rằng khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức 2 = a + bi (a, b = R) đến gốc toạ độ O của mặt phẳng phức làOM = Na" + b = Vzz (h.44).ĐINH NGHIA 7Hình 4,4Môđun của số phức 2 = a + bi (a, b = R) là số thực không âmva” + b” và được kí hiệu là lzl.187. Như vậyNếu 2 = a + bi (a, b = R) thì |-|= N27 = Na° + b°. Ví dụ 8, lil = 1;|1+2} = V1+2° = \5.Nhận xét 1) Nếu 2 là số thực thì môđun của 2 là giá trị tuyệt đối của số thực đó.2) z = 0 khi và chỉ khi |-|=0. Ví dụ 9. Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 2 sao cho |-|= 1 là đường tròn bán kính 1 với tâm tại gốc toạ độ, Chứng minh rằng |=|=|-| với mọi số phứcz.Phép chia cho số phức khác 06.Cho số phức 2 = a + bi (a, b = R) khác 0. Chứng minh rằng số(a-b) = z là số thoả mãn zz" = 1. a + b |zĐINH NGHIA 8 Số nghịch đảo của số phức 2 khác 0 là số z = . Thương của phép chia số phức z' cho số phức 2 khác 0 là -1tích của Z'' với số phức nghịch đảo của 2, tức là = z'zNhư vậyNếu z z 0 thì o.CHÚ Ý 菁菁 nên để tính *- ta chỉ việc nhân cả tử số và 2. 2. 2mẫu số với 2.188 1.2.3.4.Ví dụ 10 3ーIー (3ー"(1二s)ー2ー" -1_っ。戸=活エ流一帯===1-2 v2 + 2 (V2 + 2)(x2 + 2i) (v2 + 2)-2 + 4x2i -1 + 2y2i. - -,7- ܒ -Nhận xét 1) V6 : z 0, taco - 1.2 = 2.2) Dễ thấy rằng thương là số phức u) sao cho 210 = z''. Từ đó có thể nói phép chia (cho số phức khác 0) là phép toán ngược của phép nhân. Tìm số phức z thoả mãn (1+2i)2 =32 –i.Câu hủi và bài tậpCho các số phức2 + 3 : 1 + 2 ; 2 - i. a). Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức. b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức. c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức. Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số sau: a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i) ; b) (2 + 3i) ; c) (2+3)(2-3) d) i(2 - i) (3 + i). Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc toạ độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i, Thực hiện phép tính18991 V3. 5. Cho z = 2. Hãy tính : 塁:=:*:G) 1+z+z* 6. Chứng minh rằng: a). Phần thực của số phức z bằng 岩e + 2), phần ảo của số phức z bằng 1 - ( ーz): b) Số phức 2 là số ảo khi và chỉ khi 2 = – 2 ; c). Với mọi số phức 2, 2", ta có 2 + z" = 2 + z", zz'= z.z", và nếu z z 0 thì z" (z" 吉丁いエリ。 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4m = 1 : 4n+1 = i ; 4n+2 = -1; 4n+3 = – i. 8. Chứng minh rằng: a). Nếu vectơ ữ của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ tỉ là lü|=|-l, và từ đó nếu các điểm A, A, theo thứ tự biểu diễn các số phức 2. 2. thi AA:= |: -al: b) Với mọi số phức 2, 2″, ta có lzz”|=|-||z” và khi z z 0 thì – 岩 c). Với mọi số phức 2, 2″, ta có |z+z|

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Số phức

--Chọn Bài--

↡

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!