Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Giải Toán Lớp 10
• Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 10
• Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10
• Sách giáo khoa đại số 10
• Sách giáo khoa hình học 10
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10
• Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao
• Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
• Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10
• Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10 Nâng Cao

Sách giải toán 10 Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 3 (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 50 (trang 101 sgk Đại Số 10 nâng cao): Phương trình ax + b = 0 có thể có nghiệm trong những trường hợp nào?

Lời giải:

a ≠ 0 hoặc a = b = 0

Bài 51 (trang 101 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giả sử ba phương trình f(x).g(x) = 0, f(x) = 0 và g(x) = 0 (với cùng tập xác định) có các tập nghiệm lần lượt là T, T₁ và T₂. Hãy chọn kết luận đúng trong hai kết luận sau: a) T = T₁ ∩ T₂; b) T = T₁ ∪ T₂.

Lời giải:

Kết luận đúng là T = = T₁ ∪ T₂.

Bài 52 (trang 101 sgk Đại Số 10 nâng cao):

Lời giải:

Vì các phương trình trong hệ đều là những phương trình bậc nhất hai ẩn số nên hệ có nghiệm

⇔ D ≠ 0 hoặc D = Dx = Dy = 0.

• Áp dụng: ta có D = a2 – 1; Dx = a3 – 1; Dy = a(1 – a)

nên áp dụng kết luận trên (vì hệ thỏa mãn các điều kiện trên) ta có 2 trường hợp để có nghiệm.

– D ≠ 0 ⇔ a2 – 1 ≠ 0 ⇔ a ≠ 1 và a ≠ – 1

– D = Dx =Dy=0 ⇔ a = 1

Tóm lại hệ có nghiệm khi và chỉ khi a ≠ -1.

Bài 53 (trang 101 sgk Đại Số 10 nâng cao): Biết rằng phương trình ax² + bx + c = 0 có một nghiệm kép x_o. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

(A) Tam thức bậc hai ax² + bx + c có thể viết dưới dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất;

(B) Parabol y = ax² + bx + c có đỉnh thuộc trục hoành;

(C) Phương trình ax² + bx = c = 0 cũng có một nghiệm kép là 1/x_o

Lời giải:

Mệnh đề đúng là parabol có đỉnh thuộc trục hoành.

Bài 54 (trang 101 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải và biện luận phương trình m(mx – 1) = x + 1

Lời giải:

Viết phương trình dưới dạng tương đương: x(m² – 1) = m + 1

• Nếu m² – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 và m ≠ -1 phương trình có nghiệm duy

nhất x = 1/(m – 1)

Nếu m²-l = 0 ⇔ m=l hoặc m = -1

Với m = 1 thì phương trình vô nghiệm

Với m = -1 thì phương trình có tập nghiệm là R.

– Kết luận:

• m ≠ 1 và m ≠ -1 phương trình có nghiêm duy nhất x = 1/(m – 1)

• m = 1, phương trình vô nghiệm

• m = -1, phương trình có tập nghiệm là R.

Bài 55 (trang 101 sgk Đại Số 10 nâng cao): Cho phương trình p(x + 1) – 2x = p² + p – 4. Tìm các giá trị của p để:

a) Phương trình nhận 1 làm nghiệm;

b) Phương trình có nghiệm;

c) Phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Đưa phương trình về dạng tương đương: x(p – 2) = p² – 4

a) Phương trình nhận 1 làm nghiệm

⇔ p-2 = p²-4 ⇔ p²-p-2 = 0 ⇔ p = -1 hoặc p = 2.

b) Phương trình có nghiệm ⇔ p – 2 ≠ 0 hoặc p – 2 = 0 và p² – 4 = 0

⇔ p ≠ 2 hoặc p = 2 ⇔ p tùy ý thuộc R.

c) Từ câu b) suy ra không tồn tại p để phương trình vô nghiệm.

Bài 56 (trang 101 sgk Đại Số 10 nâng cao): Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là 3 số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài của chúng.

Lời giải:

Đáp số: 3; 4; và 5.

Bài 57 (trang 101 sgk Đại Số 10 nâng cao): Cho phương trình (m – l)x² + 2x – 1 = 0

a) Giải và biện luận phương trình.

b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm khác dấu.

c) Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1.

Lời giải:

a) Trường hợp 1: m = 1, phương trình có nghiệm x = 1/2

Trường hợp 2: m ≠ 1, Δ’ = 1 + m – 1 = m.

• Nếu m < 0 thì phương trình vô nghiệm.

• Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = 1.

• Nếu 0 < m ≠ 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Kết luận : m = 0, phương trình có nghiệm x = 1

m = 1, phương trình có nghiệm x= 1/2

m < 0 , phương trình vô nghiệm

m < 0 ≠ 1, phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ ở trên

b)Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ -1/( m – 1) < 0

⇔ m – 1 > 0 ⇔ m > 1

c)Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là : 0 < m ≠ 1. Gọi hai nghiệm là x₁, x₂. Theo định lí Vi-ét ta có :

x₁ + x₂ = -2/(m – 1) ; x₁.x₂ = -1/(m – 1)

Do vậy : x₁² + x₂² = 1 ⇔ (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ =1

Giải phương trình này ta được m = 2 – √5; m = 2 + √5

Do điều kiện 0 < m ≠ 1 nên chỉ m = 2 + √5 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 58 (trang 102 sgk Đại Số 10 nâng cao): Với giá trị nào của a thì hai phương trình sau có nghiệm chung:

x² + x + a = 0 và x² + ax + 1 = 0

Lời giải:

Nếu hai phương trình có nghiệm chung x_o thì xảy ra:

x_o² + x_o + a = x_o² + ax_o + 1 => (x_o – 1)( 1 – a) = 0

⇔ x_o = 1 hoặc a = 1

• Nếu x_o = 1 thì do x_o² + x_o + a = 0, suy ra a = -2.

Vậy, nếu hai phương trình có nghiệm chung thì a = -1 hoặc a = 1.

Ngược lại, nếu a = -2, kiểm tra được hai phương trình có nghiệm chung là x = 1. Còn nếu a = -1 thì 2 phương trình cùng vô nghiệm nên chúng không có nghiệm chung.

Vậy a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 59 (trang 102 sgk Đại Số 10 nâng cao): Cho các phương trình:

x² + 3x – m + 1 = 0 (1) và 2x² – x + 1 – 2p = 0 (2)

a) Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị.

b) Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.

Lời giải:

a) • (1) x² + 3x + 1 = m. Từ đây ta suy ra, số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của Parabol y = x² + 3x + 1 và đường thẳng y = m (là đường thẳng song song hoặc trùng trục hoành, cắt Oy tại điểm (0; m)).

Đồ thị của hàm số y = x² + 3x + 1 ở hình vẽ dưới đây

Từ đồ thị ta có :

– Nếu m < -11/4 thì (1) vô nghiệm

– Nếu m = -11/4 thì (1) có nghiệm kép x = -3/2

– Nếu m > -11/4 thì (1) có hai nghiệm phân biệt

(2)⇔ 2x² – x + 1 = 2p. Từ đây suy ra số nghiệm của (2) chính là số giao điểm của parabol y = 2x² – x + 1 và đường thẳng y = 2p ( là đường thẳng song song hoặc trùng Ox, cắt Oy tại điểm (0; 2p))

Đồ thị của hàm số y = 2x² – x + 1 được cho ở hình dưới đây

– Nếu 2p < 7/8 ⇔ p < 7/16 thì (2) vô nghiệm

– Nếu 2p = 7/8 ⇔ p = 7/16 thì (2) có nghiệm kép x = ¼

– Nếu 2p > 7/8 ⇔ p > 7/16 thì (2) có hai nghiệm phân biệt

b)

– Xét phương trình (1) có : Δ1 = 9 + 4m – 4 = 4m + 5

– Nếu 4m + 5 < 0 ⇔ m < -5/4 = -11/4 thì (1) vô nghiệm

– Nếu 4m + 5 = 0 ⇔ m = -11/4 thì (1) có nghiệm kép

– Nếu 4m + 5 > 0 ⇔ m > -11/4 thì (1) có hai nghiệm phân biệt

Rõ ràng kết quả biện luận bằng đồ thị số nghiệm của (1) và kết quả biện luận số nghiệm của (1) bằng phép tính là như nhau.

– Xét phương trình :

2x² – x + 1 – 2p = 0, có Δ2 = 1 – 8 + 16p = 16p – 7

– Nếu 16p – 7 < 0 ⇔ p < 7/16 thì (2) vô nghiệm

– Nếu 16p – 7 = 0 ⇔ p = 7/16 thì (2) có nghiệm kép x = 1/4

– Nếu 16p – 7 > 0 ⇔ p > 7/16 thì (2) có hai nghiệm phân biệt

Ta thấy kết quả biện luận số nghiệm bằng đồ thị và kết quả biện luận số nghiệm của (2) bằng phép tính là như nhau.

Bài 60 (trang 102 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải các hệ phương trình :

Lời giải:

hệ này có hai nghiệm (-1; -2); (-2; -1)

Từ đó, hệ đã cho có 4 nghiệm (1; 2); (2; 1); (-1; -2) và (-2; -1)

b)Cũng tương tự như phép giải hệ ở câu a), bằng cách đặt S = x + y, P = x.y rồi tìm S và P, sau đó tìm x, y từ S và P đã có. Ta đi đến hệ có sáu nghiệm sau : (1; -1); (-1; 1); (0; 1/ √2); (0-; -1/ √2); (1/ √2; 0); (-1/ √2; 0)

Bài 61 (trang 102 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải và biện luận các hệ sau:

Lời giải:

Ta tính được: D = m²-m-6 = (m- 3)(m + 2);

Dx = (m – 4)(m + 2); Dy = m + 2

Từ đó ta có: • Nếu m ≠ 3 và m ≠ -2

thì hệ có nghiệm duy nhất

• Nếu m = 3 thì hệ vô nghiệm.

• Nếu m = -2 hệ có vô số nghiệm (x; y)

được tính theo công thức:

b) Ta tính được: D = -(a + 3)(a – 7); Dx = -a(a – 7); Dy = -a(a – 7). Từ kết quả đó, ta có:

• Nếu a ≠ -3 và a ≠ 7 thì hệ có nghiệm duy nhất

• Nếu a = -3 thì hệ vô nghiệm.

• Nếu a = 7 thì hệ có vô số nghiệm (x; y) được tính theo công thức:

Bài 62 (trang 102 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải và biện luận các hệ phương trình :

Lời giải:

a) Theo định lí Vi-ét đảo, x và y là hai nghiệm của phương trình

t² – 4t + m = 0 (*)

Ta có Δ’ = 4 – m. Do đó:

– Nếu m > 4 thì Δ’ < 0, (*) vô nghiệm, nên hệ đã cho vô nghiệm.

– Nếu m = 4 thì ΔA’ = 0, (*) có nghiệm kép t₁ = t₂ = 2, tức là hệ ban đầu có nghiệm (2; 2)

– Nêu m < 4 thì Δ’ > 0, hệ có hai nghiệm phân biệt:

t₁ = 2 – √(m – 4) ; t₂ = 2 + √(m – 4) Vì vậy hệ có hai nghiệm

(2 – √(m – 4); 2 + √(m – 4)); (2 + √(m – 4); 2 – √(m – 4)).

b)Từ phương trình đầu của hệ ta có : 2y = 3x – 1 , thế vào phương trình còn lại ta có : 13x₂ – 6x – 4m + 1 = 0 (**)

Phương trình (**) có Δ’ = 4(13m – 1). Do đó :

– Nếu 4(13m – 1) < 0 ⇔ m < 1/13 thì (**) vô nghiệm

– Nếu m = 1/13 thì (**) có nghiệm kép x₁ = x₂ = 3/13, dẫn đến hệ có một nghiệm (3/13; -2/13)

– Nếu m < 1/13, thì (**) có hai nghiệm phân biệt :

– Nếu hệ có hai nghiệm (x; y) sau :

Bài 63 (trang 102 sgk Đại Số 10 nâng cao): Tìm a, b và c để Parabol y = ax² + bx + c có đỉnh là 1(1; -4) và đi qua điểm M(2; -3). Hãy vẽ Parabol nhận được.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có hệ:

Giải hệ này ta có a = 1; b = -2; c = -3. Suy ra hàm số cần tìm có dạng y = x² = – 2x – 3. Parabol này có hình dạng ở hình dưới

Bài 64 (trang 102 sgk Đại Số 10 nâng cao): Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c.Ta lấy một điểm M trên cạnh BC. Quy M, ta kẻ các đường thẳng ME và MF thứ tự song song với các cạnh AC và AB (E ∈ AB, F ∈ AC). Hỏi phải lấy điểm M cách B bao nhiêu để tổng ME + MF = l(l là độ dài cho trước)? Biện luận theo l, a, b và c

Lời giải:

Đặt x = AM (0 < x < a). Theo định lí Talét ta có:

ME/x=a/b=>ME=bx/a;

MF/c=(a-x)/a=>MF=(c(a-x))/a

Từ giả thiết cho ME + MF = l, ta có phương trình : l = bx/a + c(a – x)/a ⇔ (b – x)x = a(l – c) (*)

Nếu b = c (ΔABC cân tại A) và l ≠ c thì (*) vô nghiệm. Điều này có nghĩa: Khi tam giác ABC cân tại A và l khac AB thì không có điểm M nào trên cạnh BC cũng thỏa mãn điều kiện bài toán.

Nếu b = c và l = c thì (*) nghiệm đúng với mọi x. Điều đó có nghĩa là khi tam giác ABC cân ở A và l = c = AB thì mọi điểm M nào trên cạnh BC đều thỏa mãn điều kiện bài toán.

Nếu ΔABC không cân và diều kiện c < l < b và c > l > b không ssược thỏa măn thì không tồn tại M như bài toán yêu cầu.

Nếu b ≠ c (ΔABC không cân ở A) thì (*) có nghiệm duy nhất:

x = [a(l – c)/(b – c)]

Xét điều kiện 0 < x < a, ta có :

0 < x < a ⇔ 0 < [a(l – c)/(b – c)] < a ⇔ 0 < (l – c)/(b – c) < 1(**)

Vì b ≠ c nên có hải khả năng xảy ra :

Khả năng 1 : b > c, ta có (**) ⇔ c < l < b

Khả năng 2 : b < c, ta có (**) ⇔ b < l < c

Hai kết quả này có nghĩa là giá trị x = [a(l – c)/(b – c)] là nghiệm của bài toán

(Điểm M cách B một khoảng [a(l – c)/( b – c)] khi và chỉ khi độ dài l nằm giữa các độ dài b và c)