Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
- Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
- Sách giáo khoa hình học 11
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
- Giải Toán Lớp 11
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 11
- Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
- Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
- Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
Sách giải toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 21 (trang 111 sgk Hình học 11 nâng cao): Các mệnh đề sau đúng hai sai?
a) Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
b) Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
c) Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
d) Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
e) Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng trước thì luôn đi qua một đườngcố định.
f) Hình lăng trụ có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
g) Hình chóp đều có đáy là đa giác đều và ba cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều.
Lời giải:
a) Sai (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) nhưng (P) và (Q) cắt nhau như hình vẽ sau :
Giải bài 21 trang 111 SGK Hình học 11 nâng cao
b) Sai (P) ⊥ (R) (Q) ⊥ (R) nhưng (P) có thể song song với (Q).
c) Sai. Lấy a ⊥ (R) thì có số mp(P) chứa a và vuông góc với (R) .
d) e) g) Đúng.
f) Sai.
n→
Bài 22 (trang 111 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu AC’ = BD = B’D = √(a2 + b2 + c2 ) thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không? Vì sao?
Lời giải:
Giải bài 22 trang 111 SGK Hình học 11 nâng cao
Áp dụng tính chất tổng bình phương hai đường chéo hình bình hành bằng tổng bình phương 4 cạnh của nó (BT 38, 4, chương II)
Ta có :
AC’2+A’C2=2(AA’2+A’C2)
B’D2+BD’2=2(BB’2+BD2)
AC’2+A’C2+BD’2+BD’2
= 2(c2+c2+AC2+BD2)
= 4(a2+b2+c2)
A’C = AC’ = B’D = BD’.
AA’C’C và BB’D’D là các hình chữ nhật.
Từ đó suy ra AA’ ⊥ AC và AA’ ⊥ BD . Do đó AA’ ⊥ (ABCD), tức hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
n→
Bài 23 (trang 111 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mp(A’BD) và (B’CD’).
b) Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’ . Chứng minh thiết diện tạo thành lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Lời giải:
Giải bài 23 trang 111 SGK Hình học 11 nâng cao
b) Gọi M là trung điểmcủa BC thì MA = MC’(vì cùng bằng (a√5)/2) nên M thuộc mặt phẳng trung trực (α) của AC’.
Tương tự , ta chứng minh được N, P, Q, R, S cùng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B).
Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bới mp(a) là MNPQRS . Đây là lục giác đều cạnh bằng (a√2)/2. Từ đó suy ta tính được diện tích của thiết diện là
n→
Bài 24 (trang 111 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x . Xác định x để hai mp(SBC) vÀ (SDC) tạo với nhau góc 60o?
Lời giải:
Giải bài 24 trang 111 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 24 trang 111 SGK Hình học 11 nâng cao
n→
Bài 25 (trang 112 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ . Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C Є (P), D Є (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mp(α) đi qua điểm A và vuông góc với CD tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a
Lời giải:
Giải bài 25 trang 112 SGK Hình học 11 nâng cao
Gọi I là trung điểm của BC thì AI ⊥ BC . Do BD ⊥ mp(ABC) nên AI ⊥ CD (định lí ba đường vuông góc).
Trong mp(CDB) , kẻ IJ vuông góc với CD (J Є CD) thì mp(AIJ) chính là mp(α) và thiết diện phải là tam giác AIJ
ΔAIJ là tam giác vuông tại I.
n→
Bài 26 (trang 112 sgk Hình học 11 nâng cao): Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau?
a) Tứ diện ABC’D’có các cạnh bằng nhau;
b) Tứ diện ABC’D’có các cạnh đối vuông góc
c) Tứ diện ABC’D’là tứ diện đều.
Lời giải:
Giải bài 26 trang 112 SGK Hình học 11 nâng cao
a) Ta có B’D’=BD
Vậy AC=B’D’ ⇒ AC=BD, thì ABCD là hình chữ nhật.
Tương tự ta cũng có ABB’A’ và ADD’A’ là những hình chữ nhật . Vậy khi tứ diện
AB’CD’ có các cạnh đối diện bằng nhau thì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
Ngược lại khi ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật thì dễ thấy tứ diện AB’CD’ có các cạnh đối diện bằng nhau.
b) Ta có BD // B’D’. Vậy AC ⊥ B’D’ ⇒ AC ⊥ BD . Khi đó ABCD là hình thoi. Tương tự như trên ta cũng có ABB’A’ và ADD’A’ là những hình thoi. Vậy hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thoi (tức sáu mặt của hình hộp là hình thoi).
Cũng dễ thấy rằng nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thoi tứ diện AB’CD’ có các cạnh đối diện vuông góc.
c) Khi AB’C’D’ là tứ diện đều thì các cạnh đối diện vừa bằng nhau vừa vuông góc, áp dụng kết quả của các câu a) và b) ta có : Khi AB’CD’ là tứ diện đều thì hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương.
Ngược lại nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương thì AB’CD’ là tứ diện đều.
n→
Bài 27 (trang 112 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Tính AB, IJ theo a và x.
b) Với giá trị nào của x thì hai mp(ABC) và (ABD) vuông góc?
Lời giải:
Giải bài 27 trang 112 SGK Hình học 11 nâng cao
a) Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ ⊥ CD . Do mp(ACD) ⊥ mặt phẳng(BCD) nên AJ ⊥ mp(BCD) . Mặt khác AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra :
n→
Bài 28 (trang 112 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tam giac abc và mp(P) . Biết góc giữa mp(P) và mp(ABC) là φ (φ ≠ 90o); hình chiếu của tam giác ABC trên mp(P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng SA’B’C’= cosφ
Hướng dẫn : Xét hai trường hợp.
a) Tam giác ABC có 1 cạnh song song hoặc nằm trong mp(P).
b) Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).
Lời giải:
Giải bài 28 trang 112 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 28 trang 112 SGK Hình học 11 nâng cao
) Xét trường hợp tam giác ABC có 1 cạnh, chẳng hạn BC nằm trong mp(P) . Gọi A’ là hình chiếu của A trên mp(P) , kẻ đường cao A’H của tam giác A’BC (H Є BC) thì :
Trường hợp cạnh BC của tam giác ABC song song với mp(P). Xét mp(Q) chứa BC và song song với mp(P). Mọi giao điểm của AA’ với mp(Q) là A1. Khi đó ta có ΔA1BC = ΔA’B’C’; góc giữa mp(ABC) và mp(Q) bằng φ do đó SA’B’C’=SA1BC =SABC.cosφ
b) Xét trường hợp tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P) . Ta có thể giả sử (P) đi qua điểm A sao cho các đỉnh B, C ở về cùng 1 phía đối với mp(P) . Gọi D là giao điểm CỦA đường thẳng BC và mp(P) ;B’ , C’ lần lượt là hình chiếu của B, C trên (P) thì B’C’ đi qua D. Khi đó trường hợp a) ta có :
sADC’=SADC.cosφ
SADB’=sADB.cosφ
Trừ từng về hai đẳng thức trên ta có:
SA’B’C’ = sABC.cosφ
Vậy mọi trường hợp ta đều có : SA’B’C’=SABC.cosφ
n→