Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách giáo khoa hình học 11
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
• Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
• Giải Toán Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao

Sách giải toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 29: Giải các phương trình trong ví dụ 1.

a) 2sinx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) √3 tanx + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đố với tanx.

Lời giải:

a)2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = 3/2 , vô nghiệm vì |sin⁡x| ≤ 1

b)√3tan⁡x + 1 = 0 ⇔ tan⁡x = (-√3)/3 ⇔ x = (-π)/6 + kπ, k ∈ Z

a) 3cos²x – 5cosx + 2 = 0;

b) 3tan²x – 2√3 tanx + 3 = 0.

Lời giải:

a)3cos²x – 5 cos⁡ x + 2 = 0

Đặt cos⁡ x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*),

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t² – 5t + 2 = 0(1)

Δ = (-5)² – 4.3.2 = 1

Phương trình (1)có hai nghiệm là:

Ta có:

cos⁡x = 1 ⇔ cos⁡x = cos⁡0

⇔ x = k2π, k ∈ Z

cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡ 2/3 + k2π, k ∈ Z

b) 3tan² x – 2√3 tan⁡x + 3 = 0

Đặt tan⁡x = t

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t² – 2√3 t + 3 = 0(1)

Δ = (-2√3)² – 4.3.3 = -24 < 0

Vậy Phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;

b) Công thức cộng;

c) Công thức nhân đôi;

d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.

Lời giải:

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin²α + cos²α = 1

1 + tan²α = 1/(cos²α); α ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z

1 + cot²α = 1/(sin²α); α ≠ kπ, k ∈ Z

tan⁡α.cot⁡α = 1; α ≠ kπ/2, k ∈ Z

b) Công thức cộng:

cos⁡(a – b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b

cos⁡(a + b) = cos⁡a cos⁡b – sin⁡a sin⁡b

sin⁡(a – b) = sin⁡a cos⁡b – cos⁡a sin⁡b

c) Công thức nhân đôi:

sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α

cos⁡2α = cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α

d) Công thức biến đổi tích thành tổng:

cos⁡ a cos⁡b = 1/2 [cos⁡(a – b) + cos⁡(a + b) ]

sin⁡a sin⁡b = 1/2 [cos⁡(a – b) – cos⁡(a + b) ]

sin⁡a cos⁡b = 1/2 [sin⁡(a – b) + sin⁡(a + b) ]

Công thức biến đổi tổng thành tích:

Lời giải:

3cos² 6x + 8sin⁡3x cos⁡3x – 4 = 0

⇔3(1-sin²6x)+ 4sin⁡6x – 4 = 0

⇔-3sin²6x + 4sin⁡6x – 1 = 0

Đặt sin⁡6x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*),

ta được phương trình bậc hai theo t:

-3t² + 4t – 1 = 0(1)

Δ = 4² – 4.(-1).(-3) = 4

Phương trình (1)có hai nghiệm là:

Ta có:

sin⁡6x = (-1)/3 ⇔ 6x = arcsin (-1)/3 + k2π và 6x = π – arcsin (-1)/3 + k2π

⇔ x = 1/6 arcsin (-1)/3 + k π/3,và x = π/6 – 1/6 arcsin (-1)/3 + kπ/3, k ∈ Z

sin⁡6x = -1 ⇔ sin⁡6x = sin⁡(-π)/2

⇔ 6x = (-π)/2 + k2π, k ∈ Z

⇔ x = (-π)/12 + kπ/3, k ∈ Z

sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa;

sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa;

cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb;

cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb;

và kết quả cos π/4 = sinπ/4 = √2/2, hãy chứng minh rằng:

a) sinx + cosx = √2 cos(x – π/4);

b) sin x – cosx = √2 sin(x – π/4).

Lời giải:

a)sin⁡x + cos⁡x = √2.(√2/2 sin⁡x + √2/2 cos⁡x )

= √2.(sin⁡ π/4 sin⁡x + cos⁡ π/4 cos⁡x )

= √2.cos⁡(x – π/4)

b)sin⁡x – cos⁡x = √2.(√2/2 sin⁡x – √2/2 cos⁡x )

= √2.(cos⁡ π/4 sin⁡x + sin⁡ π/4 cos⁡x )

= √2.sin⁡(x – π/4)

Lời giải:

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số 11): Giải phương trình: sin²x – sin x = 0

Lời giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z).

Bài 2 (trang 36 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cos x + 1 = 0

b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0.

Lời giải:

a. 2cos²x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) trở thành 2t² – 3t + 1 = 0

(thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z).

Vậy phương trình có tập nghiệm

(k ∈ Z)

Bài 3 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Lời giải:

(Phương trình bậc hai với ẩn ).

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k.π (k ∈ Z)

b. 8cos²x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin²x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin²x – 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Vậy phương trình có tập nghiệm { + k2π; + k2π; arcsin + k2π; π – arcsin + k2π (k ∈ Z).

c. Điều kiện:

      2tan²x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm { + kπ; arctan + kπ} (k ∈ Z)

d. Điều kiện

      tanx – 2.cotx + 1 = 0

(Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm { + kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)

Bài 4 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a. 2sin² x + sinx.cosx – 3cos² x = 0

b. 3sin² x – 4 sinx.cosx + 5 cos² x =2

c. sin² x + sin2x – 2 cos² x = 1/2

d. 2cos²x – 3√3sin2x – 4sin²x = -4

Lời giải:

a) 2sin²x + sinx.cosx – 3cos²x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin²x = 1 – cos²x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos²x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

b) 3sin²x – 4sinx.cosx + 5cos²x = 2

⇔ 3sin²x – 4sinx.cosx + 5cos²x = 2(sin²x + cos²x)

⇔ sin²x – 4sinx.cosx + 3 cos²x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin²x = 0.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos²x ta được

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin²x = 1 – cos²x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos²x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

 

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

Bài 5 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

Ta có: nên tồn tại α thỏa mãn

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm (k ∈ Z)

với α thỏa mãn

 

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

Vì nên tồn tại α thỏa mãn

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm (k ∈ Z)

với α thỏa mãn

Bài 6 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a. tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan (x+π/4) = 1

Lời giải:

a. Điều kiện:

Vậy phương trình có họ nghiệm (k ∈ Z).

b. Điều kiện:

⇔ tan x.(1 – tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x – tan²x + 2.tan x = 0

⇔ tan²x – 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx – 3) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm {kπ; arctan3 + kπ} (k ∈ Z)