Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
- Sách Giáo Khoa Toán lớp 9 tập 1
- Sách Giáo Khoa Toán lớp 9 tập 2
- Giải Toán Lớp 9
- Sách Giáo Viên Toán Lớp 9 Tập 1
- Sách Giáo Viên Toán Lớp 9 Tập 2
- Sách Bài Tập Toán Lớp 9 Tập 1
- Sách Bài Tập Toán Lớp 9 Tập 2
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 45 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
a. (x+2)2 -3x -5 =(1 –x)(1 +x)
b. (x -1)3 +2x=x3– x2 – 2x +1
c. x(x2 -6 ) – (x – 2)2 = (x +1)3
d. (x +5)2 + (x -2)2 + (x +7)(x -7) = 12x -23
Lời giải:
a) Ta có: (x+2)2 -3x -5 = (1 –x)(1 +x)
⇔ x2 + 4x +4 -3x -5 =1 – x2
⇔ 2x2 +x -2 =0
Δ = 12 -4.2.(-2) =1 +16 =17 > 0
√Δ = √17
b) Ta có: (x -1)3 +2x=x3 – x2 – 2x +1
⇔ x3 – 3x2 +3x -1+2x =x3 – x2 -2x +1
⇔ 2x2 – 7x +2 =0
Δ = (-7)2 -4.2.2 = 49 – 16 = 33 > 0
√Δ = √33
c) Ta có: x(x2 -6 ) – (x – 2)2 = (x +1)3
⇔ x3 – 6x – x2 +4x -4 =x3 + 3x2 +3x +1
⇔ 4x2 +5x +5 =0
Δ = 52 -4.4.5 = 25 – 80 = -55 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm
d) Ta có: (x +5)2 + (x -2)2 + (x +7)(x -7) = 12x -23
⇔ x2 +10x + 25 +x2 -4x +4 +x2 -49 = 12x -23
⇔ x2 +10x+25 +x2 -4x +4 +x2 -49 -12x +23 =0
⇔ 3x2 -6x + 3 =0
⇔ x2 -2x +1 =0
Δ’ = (-1)2 -1.1 = 1-1 =0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép: x1 = x2 =1
Bài 46 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
Lời giải:
a. Điều kiện : x ≠ ± 1
Ta có:
⇔ 12x +12 -8x +8 = x2 -1 ⇔ x2 -4x -21 =0
Δ’ = (-2)2 -1.(-21) = 4 + 21=25 > 0
√Δ’ =√25 =5
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy nghiệm của phương trình là x =7 và x =-3
b. Điều kiện : x ≠3 và x ≠ 1
Ta có: 
⇔ 16 – 16x +30x -90 =3x -3x2 -9 +9x
⇔ 3x2 +2x -65 =0
Δ’ = 12 -3.(-65) = 1 + 195=196 > 0
√Δ’ =√196 =14
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy nghiệm của phương trình là x =133 và x =-3
c.Điều kiện : x≠3 và x ≠ -2
Ta có: 
Phương trình x2 -4x +3 = 0 có a = 1 ,b = -4 , c = 3
Suy ra : a + b + c = 0
Ta có nghiệm x1 =1 , x2 =3 (loại)
Vậy nghiệm của phương trình là x =1
d. Điều kiện : x≠2 và x ≠ -4
Ta có: 
⇔ 2x2 +8x –x2 +2x =8x +8
⇔ x2 +2x -8 =0
Δ’ = 12 -1(-8) = 1 +8=9 > 0
√Δ’ =√9 =3
Cả hai giá trị của x đều không thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
e. Điều kiện : x≠1
Ta có:
⇔ x3+7x2 +6x -30 = (x2 –x +16)(x -1)
⇔ x3+7x2 +6x -30 = x3 – x2 – x2 +x +16x -16
⇔ 9x2 -11x -14 =0
Δ = (-11)2 -4.9.(-14) =121 +504 =625 > 0
√Δ =√625 =25
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy nghiệm của phương trình là x =-79 và x =2
f. Điều kiện : x≠ ± 1
ta có:
⇔ x2 +9x -1 =17x -17 ⇔ x2 -8x +16 =0
Δ’ = (-4)2 – 1.16=16 -16 =0
Phương trình có nghiệm kép 😡1 =x2 =4
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy nghiệm của phương trình là x =4
Bài 47 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích
a.3x3 +6x2 -4x =0 b.(x +1)3 –x +1 = (x -1)(x -2)
c.(x2 +x +1)2 = (4x -1 )2 d.(x2 +3x + 2)2 = 6.(x2 +3x +2)
e.(2x2 +3)2 -10x3 -15x =0 f.x3 – 5x2 –x +5 =0
Lời giải:
a) Ta có: 3x3 +6x2 -4x =0 ⇔ x(3x2 +6x -4) =0
⇔ x = 0 hoặc 3x2 +6x -4 =0
Giải phương trình 3x2 +6x -4 =0
Δ’ = 32 -3(-4) =9 +12 =21 > 0
√Δ’ =√21
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm
b) Ta có: (x +1)3 –x +1 = (x -1)(x -2)
⇔ x3 +3x2+3x +1 –x +1 = x2 -2x –x +2
⇔ x3 +2x2 +5x = 0 ⇔ x(x2 +2x +5) =0
⇔ x =0 hoặc x2 +2x +5 =0
Giải phương trình x2 +2x +5 =0
Δ’ = 12 -1.5 =1 -5 = -4 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=0
c) Ta có: (x2 +x +1)2 = (4x -1 )2
⇔ [(x2 +x +1) + (4x -1 )] [(x2 +x +1) – (4x -1 )]=0
⇔ (x2 +5x)(x2 -3x +2) =0 ⇔ x(x+5) (x2 -3x +2) =0
⇔ x =0 hoặc x+5 =0 hoặc x2 -3x +2 =0
x+5 =0 ⇔ x=-5
x2 -3x +2 =0
Δ = (-3)2 -4.2.1 = 9 -8 =1 > 0
√Δ =√1 =1
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
x1 =0 ; x2 =-5 ; x3 =2 ; x4 =1
d) (x2 +3x + 2)2 = 6.(x2 +3x +2)
⇔ (x2 +3x + 2)2 – 6.(x2 +3x +2)=0
⇔ (x2 +3x + 2)[ (x2 +3x + 2) -6] =0
⇔ (x2 +3x + 2) .(x2 +3x -4 )=0
x2 +3x + 2 =0
Phương trình có dạng a –b +c =0 nên x1 = -1 ,x2 =-2
x2 +3x -4 =0
Phương trình có dạng a +b +c =0 nên x1 = 1 ,x2=-4
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :
x1 = -1 ,x2 =-2 ; x3 = 1 ,x4 =-4
e) Ta có: (2x2 +3)2 -10x3 -15x = 0 ⇔ (2x2 +3)2 – 5x(2x2 +3)=0
⇔ (2x2 +3)( 2x2 +3 – 5x) = 0 ⇔ (2x2 +3)( 2x2 – 5x +3)=0
Vì 2x2 ≥ 0 nên 2x2 +3 > 0
Suy ra : 2x2 – 5x +3=0
Δ = (-5)2 -4.2.3 =25 -24=1 > 0
√Δ =√1 =1
vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = 3/2 ; x2 = 1
f) Ta có: x3 – 5x2 –x +5 =0 ⇔ x2( x -5) – ( x -5) =0
⇔ (x -5)(x2 -1) =0 ⇔ (x -5)(x -1)(x +1) =0
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm 😡1 = 5;x2 =1;x3=-1
Bài 48 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình trùng phương
a. x4 -8x2 – 9 =0 b. y4 – 1,16y2 + 0,16 =0
c. z4 -7z2 – 144 =0 d. 36t4 – 13t2 +1 =0
Lời giải:
a.Đặt m = x2 .Điều kiện m ≥ 0
Ta có: x4 -8x2 – 9 =0 ⇔m2 -8m -9 =0
Phương trìnhm2 – 8m – 9 = 0 có hệ số a = 1,b = -8,c = -9 nên có dạng a – b + c = 0
suy ra: m1 = -1 (loại) , m2 = -9/1 =9
Ta có: x2 =9 ⇒ x=± 3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x1 =3 ;x2 =-3
b. Đặt m = y2 .Điều kiện m ≥ 0
Ta có: y4 – 1,16y2 + 0,16 =0 ⇔m2 -1,16m + 0,16 =0
Phương trìnhm2 -1,16m + 0,16 = 0 có hệ số a = 1, b = -1,16, c = 0,16 nên có dạng a + b + c = 0
suy ra: m1 = 1 , m2 = 0,16
Ta có: y2 =1 ⇒ y = ± 1
y2 =0,16 ⇒ y = ± 0,4
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : y1 =1 ;y2 =-1 ; y3 =0,4 ;y4 =-0,4
c. Đặt m =z2 .Điều kiện m ≥ 0
Ta có: z4 -7z2 – 144 =0 ⇔m2 -7m -144 =0
Ta có: Δ=(-7)2 -4.1.(-144) =49 + 576=625 > 0
√Δ =√625 = 25
Ta có: z2 =16 ⇒ z=± 4
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : z1 =4 ;z2 =-4
d. Đặt m = t2 .Điều kiện m ≥ 0
Ta có: 36t4 – 13t2 +1 =0 ⇔ 36m2 -13m +1 =0
Ta có: Δ=(-13)2 – 4.36.1=169 -144=25 > 0
√Δ =√25 = 5
Ta có: t2 =1/4 ⇒ t=± 1/2
t2 =1/9 ⇒ t=± 1/3
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :
t1 = 1/4 ; t2 =-1/4 ; t3 =1/3 ; t4 =-1/3
e. Đặt m =x2 .Điều kiện m ≥ 0
Ta có: 1/3.(x4) – 1/2.( x2) +16 =0⇔ 2x4 -3x2 +1=0 ⇔ 2m2 -3m + 1 =0
Phương trình 2m2 -3m + 1 =0 có hệ số a=2,b=-3,c=1 nên có dạng a +b+c =0
suy ra: m1 = 1 , m2 = 12
Ta có: x2 = 1 ⇒ x = ± 1
x2 = 1/2 ⇒ x = ± √2/2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :
x1 =1 ; x2 =-1 ; x3 =( √2)/2; x4 = – √2/2
f. Đặt m =x2 .Điều kiện m ≥ 0
Ta có: √3 x4 – (2 -√3 )x2 -2 =0 ⇔ √3m2 – (2 -√3 )m – 2 =0
Phương trình √3m2 – (2 -√3 )m – 2 =0 có hệ số a=√3 ,b= -(2 -√3 ),c=-2 nên có dạng a – b+c =0
Bài 49 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương ax4+bx2+c =0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau
Lời giải:
Đặt m =x2 .Điều kiện m ≥ 0
Ta có: ax4 + bx2 + c = 0 ⇔ am2 + bm + c = 0
Vì a và c trái dấu nên a/c < 0. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là m1 và m2
Theo hệ thức Vi-ét,ta có: m1m2 = c/a
Vì a và c trái dấu nên c/a <0 suy ra m1m2 < 0 hay m1 và m2 trái dấu nhau
Vì m1 và m2 trái dấu nhau nên có 1 nghiệm bị loại ,giả sử loại m1
Khi đó x2 =m2 => x = ± √m2
Vậy phương trình trùng phương ax4+bx2+c =0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau khi a và c trái dấu
Bài 50 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ
a.(4x -5)2 – 6(4x -5) +8 =0
b.(x2 +3x -1)2 +2(x2 +3x -1) -8 =0
c. (2x2 +x -2)2 +10x2 +5x -16 =0
d.(x2 -3x +4)(x2 -3x +2) =3
Lời giải:
a) Đặt m =4x -5
Ta có: (4x -5)2– 6(4x -5) +8 =0 ⇔ m2 -6m +8 =0
Δ’ = (-3)2 -1.8 =9 -8=1 > 0
Δ’ =1 =1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 =9/4 ,x2 =7/4
b) Đặt m = x2 +3x -1
Ta có: (x2 +3x -1)2 +2(x2 +3x -1) -8 =0 ⇔ m2 +2m -8 =0
Δ’ = 12 -1.(-8) =1 +8 =9 > 0
√Δ’ =√9 =3
m1 = -1 +31 =2 ; m2 = -1 -31 =-4
Với m = 2 thì : x2 +3x – 1 = 2 ⇔ x2 + 3x – 3 = 0
Δ’ = 32 -4.1.(-3 )=9 +12=21 > 0
√Δ =√21
Với m = -4 ta có: x2 +3x -1 = -4 ⇔ x2 +3x +3 = 0
Δ = 32 -4.1.3=9 -12 = -3 < 0
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :
c) Đặt m = 2x2 +x -2
Ta có: (2x2 +x -2)2+10x2 +5x -16 =0
⇔ (2x2 +x -2)2+5(2x2 +x -2) -6 =0
⇔ m2 +5m -6 =0
Phương trình m2 +5m -6 = 0 có hệ số a = 1, b = 5, c = -6 nên có dạng
a + b + c = 0
Suy ra : m1 =1 ,m2 =-6
m1 =1 ta có: 2x2 +x -2 =1 ⇔ 2x2 +x -3=0
Phương trình 2x2 +x -3 = 0 có hệ số a = 2, b = 1 , c = -3 nên có dạng
a +b+c=0
Suy ra: x1 =1 ,x2 =-3/2
Với m=-6 ta có: 2x2 +x -2 = -6 ⇔ 2x2 +x +4 =0
Δ = 12 -4.2.4 = 1 -32 = -31 < 0 . Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x1 =1 ,x2 =-32
d) Đặt m= x2 -3x +2
Ta có: (x2 -3x +4)(x2 -3x +2) =3
⇔ [(x2 -3x +2 +2)(x2 -3x +2) -3 =0
⇔ (x2 -3x +2)2 +2(x2 -3x +2) -3 =0
⇔ m2 +2m -3 =0
Phương trình m2 +2m -3 = 0 có hệ số a = 1, b = 2 , c = -3 nên có dạng
a +b+c=0
suy ra : m1 =1 ,m2 =-3
Với m1 =1 ta có: x2 -3x +2 =1 ⇔ x2 -3x +1=0
Δ = (-3)2 -4.1.1 = 9 -4 =5 > 0
√Δ = √5
Với m2 =-3 ta có: x2 -3x +2 =-3 ⇔ x2 -3x +5=0
Δ = (-3)2 -4.1.5 = 9 -20 =-11 < 0.Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :
e. Đặt m= x/(x+1) .Điều kiện : x ≠ -1
⇔ 2m2 -5m +3 =0
Phương trình 2m2 -5m +3 = 0 có hệ số a = 2, b = -5 , c = 3 nên có dạng
a +b + c = 0
suy ra : m1 = 1 ,m2 =3/2
Với m1 =1 ta có: x/(x+1) =1 ⇔ x =x+1 ⇔ 0x =1 (vô nghiệm)
Với m = 3/2 ta có: x/(x+1) = 3/2 ⇔ 2x =3(x +1)
⇔ 2x =3x +3 ⇔ x =-3
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=-3
f. Đặt m = √(x -1) .Điều kiện : x ≥ 0
Ta có : x – √(x -1)-3 =0 ⇔ (x -1) -√(x -1) -2 =0
⇔ m2 -m – 2 =0
Phương trình m2 -m – 2 = 0 có hệ số a = 1, b = -1 , c = -2 nên có dạng
a – b + c = 0
Suy ra : m1 = -1 (loại) , m2 = -(-2)/1 = 2
Với m =2 ta có:√(x -1) =2 ⇒ x -1 =4 ⇔ x =5
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=5
Bài 1 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giaỉ các phương trình :
Lời giải:
Bài 2 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x + 2√(x – 1) – m2 + 6m – 11 = 0
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
Lời giải:
Bài 3 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: (Đề thi học sinh giỏi toán Bulgari – Mùa xuân năm 1997). Tìm giá trị của m để phương trình [x2 – 2mx – 4(m2 + 1)][x2 – 4x – 2m(m2 +1)] = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt.
Lời giải:
