Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây

A. Phương pháp giải

Dùng phương pháp phản chứng.

Để chứng minh a là số vô tỉ, ta thực hiện qua các bước sau:

– Bước 1: Giả sử a là số hữu tỉ.

– Bước 2: Lập luận và sử dụng các tính chất đã biết về lũy thừa, chia hết,… để đi tới mẫu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lí.

– Bước 3: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử là số hữu tỉ

Do đó tồn tại hai số nguyên a và b với b ≠ 0 sao cho

Như vậy

có thể được viết dưới dạng phân số tối giản với a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Suy ra a² là số chính phương chẵn ⇒ a là số chẵn (số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn, số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ).

Do đó tồn tại 1 số k thỏa mãn a = 2k ⇒ a² = (2k)² = 4k² (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 2b² = 4k² ⇒ b² = 4k²:2 = 2k²

Suy ra b² là số chính phương chẵn nên b là số chẵn

Mà a cũng là số chẵn

Nên phân số

không phải phân số tối giản, mâu thuẫn

Vậy giả sử sai, do đó là số vô tỉ (đpcm).

Ví dụ 2: Chứng minh là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử

là số hữu tỉ, tức (m, n ∈ Z, n ≠ 0, (m, n) = 1)

Suy ra

Do đó m²⋮3, mà 3 là số nguyên tố nên m⋮3

⇒ m = 3k ⇒ m² = (3k)² = 9k², thay vào (1) ta được: 9k² = 3n²

⇒ n² = 3k², suy ra n² ⋮ 3 ⇒ n ⋮ 7 (vì 7 là số nguyên tố)

Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, mâu thuẫn với giả thiết (m, n) = 1

Nên giả sử sai.

Vậy

là số vô tỉ. (đpcm)

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Chứng minh là số vô tỉ.

Hướng dẫn

Giả sử là số hữu tỉ

là phân số tối giản, m; n ∈ Z, m ≠ 0)

Điều này chứng tỏ m² ⋮ 7 mà 7 là số nguyên tố nên m ⋮ 7

Đặt m = 7k (k ∈ Z), suy ra m² = (7k)² = 49k² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 7n² = 49k² ⇒ n² = 7k²

⇒ n² ⋮ 7 ⇒ n ⋮ 7 (vì 7 là số nguyên tố)

Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, vậy không phải phân số tối giản, mâu thuẫn.

Vậy giả sử sai nên là số vô tỉ (đpcm).

Câu 2. Chứng minh tổng quát rằng: Nếu số tự nhiên a không phải số chính phương thì là số vô tỉ.

Hướng dẫn

Giả sử là số hữu tỉ, nên có thể viết dưới dạng phân số tối giản

D. a không phải số chính phương, nên không phải số tự nhiên, nên n > 1

Giả sử p là một ước nguyên tố của n (vì n > 1, nên tồn tại các ước nguyên tố của n), suy ra n² ⋮ p ⇒ m² ⋮ p ⇒ m ⋮ p

Do đó m và n đều cùng chia hết cho số p

Mà m và n là hai số nguyên tố cùng nhau ((m, n) = 1), dẫn đến mâu thuẫn

Vậy phải là số vô tỉ (đpcm).

Câu 3. Chứng minh rằng là số vô tỉ.

Hướng dẫn

Giả sử = m (với m là số hữu tỉ)

Suy ra

Vì m là số hữu tỉ nên m² là số hữu tỉ, do đó m² – 1 cũng là số hữu tỉ

Suy ra là số hữu tỉ (vô lý vì là số vô tỉ (ví dụ 1)).

Giả sử sai

Câu 4. Chứng minh rằng (m, n là số hữu tỉ, n ≠ 0) là số vô tỉ.

Hướng dẫn

Vì a, m, n là số hữu tỉ nên a – m là số hữu tỉ

Do đó (a – m).n là số hữu tỉ

Suy ra là số hữu tỉ, vô lý (vì là số vô tỉ, đã chứng minh ở ví dụ 2)

Câu 5. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Hướng dẫn

Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c.

Ta có: a + b = c b = c – a

Vì c và a số hữu tỉ nên hiệu c – a cũng là số hữu tỉ, mà c – a = b với b là số vô tỉ, vô lý.

Vậy c phải là số vô tỉ (đpcm).

D. HERE