Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây
A. Phương pháp giải
+) Định nghĩa: Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực
R = Q ∪ I
+) Quan hệ giữa các tập hợp N, Z, Q, R
+) Biểu diễn số thực trên trục số
– Mọi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số
– Ngược lại, mối điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Điền các dấu ( ∈ , ∉ , ⊂ ) thích hợp vào chỗ trống.
a) 101 …Q 101 … R 101… I
b) -1,501 … Q 0,3(35) … I
c) N …Z Q … R
Lời giải:
a) 101 ∈ Q 101 ∈ R 101 ∉ I
b) Ta có: 
C. 0,3(35) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên 0,3(35) là số hữu tỉ
Nên 0,3(35) ∉ I
c) N ⊂ Z Q ⊂ R
Ví dụ 2: Chứng minh tích của một số vô tỉ và một số hữu tỉ khác 0 là một số vô tỉ.
Lời giải:
Giả sử a là số vô tỉ và b là một số hữu tỉ khác 0
Khi đó tích a.b là một số hữu tỉ
Thật vậy, giả sử tích a.b = x là một số hữu tỉ
Khi đó a = 
Vậy giả sử sai
Kết luận tích của một số vô tỉ và một số hữu tỉ khác 0 là một số vô tỉ.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1. Chọn đáp án sai
A. Nếu a là số nguyên thì a là số thực
B. Nếu a là số hữu tỉ thì a là số thực
C. Nếu a là số vô tỉ thì a được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
D. Nếu a là số tự nhiên thì a không phải là số vô tỉ
Hướng dẫn
– Số thực bao gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ nên B đúng
– Mọi số nguyên là số hữu tỉ nên mọi số nguyên cũng là số thực nên A đúng
– Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên C sai
– Số tự nhiên không viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn nên D đúng
Đáp án C
Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:
A. Tích của hai số vô tỉ là số vô tỉ
B. Tổng của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là số vô tỉ
C. Thương của hai số vô tỉ là số vô tỉ
D. Tổng của hai số vô tỉ là số vô tỉ
Hướng dẫn
– Tích của hai số vô tỉ chưa chắc đã là số vô tỉ
V
D. 
⇒
Đáp án A sai
– Tổng của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là số vô tỉ, đúng
Thật vậy,
Giả sử khẳng định sai, khi đó tổng của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là một số hữu tỉ.
Giả sử a là số vô tỉ (a ∈ I), b là số hữu tỉ (b ∈ Q)
Khi đó ta có: a + b = x (với x ∈ Q)
Suy ra: a = x – b
Vì x, b ∈ Q , mà hiệu của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ nên x – b ∈ Q mâu thuẫn với a ∈ I
Vậy giả sử sai.
Kết luận: tổng của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là số vô tỉ.
⇒
Đáp án B đúng
– Thương của hai số vô tỉ chưa chắc đã là số vô tỉ
V
D. 
⇒
Đáp án C sai
– Tổng của hai số vô tỉ chưa chắc là số vô tỉ
V
D.
⇒
Đáp án D sai
Đáp án B
Câu 3. Chọn dấu thích hợp điền vào chỗ trống sau: 1,2345666 … R
A. ∈
B. ∉
C. ⊂
D. =
Hướng dẫn
1,2345666 ∈ R
Vì 1,2345666 là số thập phân hữu hạn, mà mọi số thực đều được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Đáp án A
Câu 4. Điền kí hiệu thích hợp vào chỗ trống: R ∩ Q = …
A. R
B. Q
C. ∅
D. I
Hướng dẫn
Ta có: R là kí hiệu của tập các số thực, Q là kí hiệu của tập các số hữu tỉ
Theo lý thuyết, R = Q ∪ I
Từ đó suy ra, R ∩ Q = Q
Đáp án B
Câu 5. Biết 
Hướng dẫn
Đáp án B
Câu 6. Điền kí hiệu thích hợp vào chỗ trống: Q ∩ I = …
A. R
B. Q
C. I
D. ∅
Hướng dẫn
Q là tập hợp các số hữu tỉ
I là tập hợp các số vô tỉ
Do đó giao của tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ là rỗng
Q ∩ I = ∅
Đáp án D
Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. I ⊂ R
B. Q ⊂ R
C. R ⊂ N
D. Z ⊂ R
Hướng dẫn
Theo lý thuyết ta có, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R và R = Q ∪ I
Nên đáp án A,
B. D đúng và đáp án C sai.
Đáp án C
Câu 8. Điền kí hiệu thích hợp vào chỗ trống: 15,(3096789) ∈ ….
A. N
B. Z
C. Q
D. I
Hướng dẫn
Vì 15,(3096789) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên nó là số hữu tỉ
Vậy 15,(3096789) ∈ Q.
Đáp án C
Câu 9. Số
A. Số thực
B. Số hữu tỉ
C. Số vô tỉ
D.
C. A và C đều đúng
Hướng dẫn
+ Ta có:
Thật vậy, giả sử
Suy ra: 
Mà 5 là số nguyên tố nên a⋮5hay a = 5k thay vào (1) ta được:
5b2 = (5k)2 ⇒ 5b2 = 25k2 ⇒ b2 = 5k2
Từ đó suy ra b⋮5, mà a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, dẫn đến mâu thuẫn
Vậy
Do đó
Vậy cả A và C đều đúng.
Đáp án D
Câu 10. Thương của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là
A. Số thực
B. Số hữu tỉ
C. Số vô tỉ
D. Cả A và C đều đúng
Hướng dẫn
Giả sử a là số vô tỉ và b là một số hữu tỉ khác 0.
Khi đó thương 
Thật vậy, giả sử
Suy ra a = b.x, vì b và x là các số hữu tỉ nên tích b.x phải là số hữu tỉ (tích của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ), mâu thuẫn với a là số vô tỉ
Giả sử sai, vậy
Vậy thương của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là một số vô tỉ và nó cũng là số thực.
Đáp án D
D. HERE