Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây

A. Lý thuyết

1. Đại lượng tỉ lệ thuận

+ Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỷ lệ k

+ Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỷ lệ k ( khác 0 ) thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 1/k và ta nói hai đại lượng đó tỷ lệ thuận với nhau

Tính chất:

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

+ Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi

+ Tỉ số hai giá trị bất kì của hai đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau theo tỉ số k thì: y = kx

2. Đại lượng tỉ lệ nghịch

+ Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = a/x hay x.y = a ( với a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a

+ Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau

Ví dụ : Nếu y = 3/x thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỷ lệ là 3

Tính chất

Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

+ Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi

+ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỷ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a thì :

3. Hàm số

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số

Nhận xét: Nếu đại lượng y là hàm số của đại lượng x thì mỗi giá trị của đại lượng x đều có một giá trị tương ứng duy nhất của đại lượng y ( hay mỗi giá trị của x không thể có hơn một giá trị tương ứng của đại lượng y)

Chú ý:

+ Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng

+ Hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng công thức,…

+ Khi y là hàm số của x ta có thể viết : y = f(x), y = g(x), ….

4. Mặt phẳng tọa độ

+ Mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy ) được xác định bởi hai trục số vuông góc với nhau: trục hoành Ox và trục tung Oy; giao điểm O của hai trục tọa độ là gốc tọa độ

+ Hai trục tọa độ chia mặt phẳng tọa độ thành bốn góc phần tư I, II, III, IV theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ

Tọa độ một điểm

Trên mặt phẳng tọa độ:

+ Mỗi điểm M xác định một cặp số (x₀, y₀). Ngược lại mỗi cặp số (x₀, y₀) xác định một điểm M

+ Cặp số (x₀, y₀) gọi là tọa độ của điểm M, x₀ là hoành độ , y₀ là tung độ của điểm M

+ Điểm M có tọa độ (x₀, y₀) kí hiệu là M(x₀, y₀)

5. Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x)

+ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x, y) trên mặt phẳng tọa độ

+ Một điểm H thuộc đồ thị (H) của hàm số y = f(x) thì có tọa độ thỏa mãn đẳng thức y = f(x) và ngược lại

M(x₀, y₀) ∈ (H) ⇒ y₀ = f(x₀)

Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0)

+ Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

+ Cách vẽ : Vẽ đường thẳng đi qua điểm O(0, 0) và A(1, a)

B. Bài tập

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Dưới đây là bảng tiêu thụ xăng của một ô tô loại nhỏ:

Quãng đường đi (km)	0	10	20	30	40	50	80	100
Xăng tiêu thụ (lít)	0	0,8	1,6	2,4	3,2	4	6,4	8

Hai đại lượng quãng đường (km) và xăng tiêu thụ (lít) có tỉ lệ thuận không? Nếu có hãy cho biết hệ số tỉ lệ của đại lượng trên, tìm số lít xăng tiêu thụ khi oto chạy 150 km.

Ta có tỷ lệ giữa xăng tiêu thụ với quãng đường đi được là:

Suy ra hai đại lượng quãng đường và lít xăng tiêu thụ tỉ lệ thuận với nhau.

Hệ số tỷ lệ giữa lít xăng tiêu tụ với quãng đường đi được là 0,08

Số lít xăng tiêu thụ khi oto đi quãng đường 150 km là: 150.0,08 = 12 (lít)

Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây. Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ với các số 3; 5; 8 và hai lần số cây lớp 7A cộng với bốn lần số cây lớp 7B thì hơn số cây lớp 7C là 108 cây. Tính số cây mỗi lớp.

Gọi x, y, z lần lượt là số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng

Theo bài ra ta có:

Khi đó ta có:

Do đó:

Vậy lớp 7A trồng được 18 cây, lớp 7B trồng được 30 cây, lớp 7C trồng được 48 cây

Bài 3: Cho hàm số f(x) = x² + 3x + 2. Tính f(-1), f(0), f(1/2)

Ta có: f(x) = x² + 3x + 2

Do đó:

Bài 4: Cho hàm số y = ax. Chứng minh rằng:

a) Với các số x₁, x₂ là hai giá trị của x ta có y₁, y₂ là hai giá trị tương ứng của y thì f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂)

b) Với k ∈ Q thì f(kx) = k.f(x) với mọi x ∈ Q

a) Ta có: f(x₁ + x₂) = a(x₁ + x₂) = ax₁ + ax₂

Mà f(x₁) = ax₁ và f(x₂) = ax₂

Khi đó: f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂)

b) Ta có: f(kx) = a.(kx) = (ak).x = k.(ax) = k.f(x)

Bài 5: Vẽ một hệ trục tọa độ

a) Biểu diễn các điểm A(2, 3); B(2, -3); C(-2, -3); D(-2, 3)

b) Có nhận xét gì về hình dạng của tứ giác ABCD, về sự liên hệ giữa tọa độc các điểm A, B, C, D

c) Từ đó suy ra, nếu một hình chữ nhất ABCD có A(a, b), C(-a, -b) thì tọa độ các đỉnh B, D có tọa độ như thế nào?

b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật

A và B là hai điểm của cùng hoành độ và tung độ đối nhau.

A và C là hai điểm có hoành độ đối nhau, tung độ đối nhau.

A và D là hai điểm có cùng tung độ, hoành độ đối nhau.

B và C có hoành độ đối nhau, tung độ bằng nhau.

B và D có tọa độ đối nhau.

C và D có cùng hoành độ, tung độ đối nhau

c) Nếu ABCD là hình chữ nhật mà A(a, b) ; C(-a, -b) thì tọa độ B(a, -b) ; D(-a, b)

Bài 6: Cho hệ trục tọa độ xOy. Tìm diện tích của hình chữ nhật giới hạn bởi hai trục tọa độ và hai đường thẳng chứa tất cả các điểm của hoành độ bằng 3 và tất cả các điểm có tung độ bằng 2.

Các điểm có hoành độ bằng 3 nằm trên đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

Các điểm có tung độ bằng 2 nằm trên đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

Ta được hình chữ nhât OACB: S_OACB = OA.OC = 3.2 = 6 (đvdt)

Bài 7:

a) Vẽ đồ thị hàm số y = (1/3)x

b) Gọi A là một điểm trên đồ thị. Tìm tọa độ điểm A biết y_A = 2

c) Gọi B là một điểm trên đồ thị. Tìm tọa độ điểm B biết y_B + 2x_B = 5

a) Đồ thị hàm số y = (1/3)x đi qua hai điểm O(0, 0) và C(3, 1)

b) Ta có A là một điểm trên đồ thị nên y_A = (1/3)x_A

Mà y_A = 2 nên (1/3)x_A = 2 ⇒ x_A = 6

Vậy tọa độ điểm A là A(6, 2)

c) Ta có B là một điểm trên đồ thị nên y_B = (1/3)x_B

Bài 8: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn:

a) f(0) = 0

Chứng minh rằng f(x) = ax với a là hằng số.

Đặt f(1) = a , a là hằng số

Ta chứng minh rằng f(x) = ax với mọi số thực x

Thật vậy:

+ Nếu x = 0 thì theo giả thiết ta có: f(0) = 0 = a.0

+ Nếu x ≠ 0 thì theo giả thiết ta có:

Suy ra f(x) = ax

Vậy f(x) = ax với a là hằng số.

Bài 9: Chia số 210 thành bốn phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 2 và 3, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 4 và 5, phần thứ ba và phần thứ tư tỉ lệ với 6 và 7. Tìm các phần đã chia đó?

Gọi bốn phần phải tìm là x, y, z, t