Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây

A. Lý thuyết

1. Nghiệm của đa thức một biến

Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ 1: Kiểm tra xem mỗi số 1; 2; -1 có phải là một nghiệm của đa thức f(x) = x² – 3x + 2 hay không?

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Cho đa thức f(x) = x³ + 2x² + ax + 1

Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2

Hướng dẫn giải:

2. Chú ý:

   + Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,… hoặc không có nghiệm.

   + Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của nó. Chẳng hạn: đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm, đa thức bậc hai không quá hai nghiệm,…

Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 2y + 6

Từ 2y + 6 = 0 ⇒ 2y = -6 ⇒ y = -6/2 = -3

Vậy nghiệm của đa thức P(x) là -3.

Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các hằng số sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax² + bx + c có một nghiệm là x = 1 . Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x² – 6x – 2.

Hướng dẫn giải:

B. Bài tập

Bài 1: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm

a) P(x) = x² + 1                             b) Q(y) = 2y⁴ + 5

Hướng dẫn giải:

a) Vì x² ≥ 0 nên x² + 1 ≥ 1

Do đó: P(x) = x² + 1 > 0 nên đa thức P(x) vô nghiệm.

b) Vì y⁴ ≥ 0 nên 2y⁴ + 5 > 0

Do đó: Q(y) = 2y⁴ + 5 > 0 nên đa thức Q(x) vô nghiệm.

Bài 2: Tìm nghiệm của đa thức

a) x² – 2003x – 2004 = 0

b) 2005x² – 2004x – 1 = 0

Hướng dẫn giải:

a) Đa thức x² – 2003x – 2004 = 0 có hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004

Khi đó ta có: a – b + c = 1 – (-2003) + (-2004) = 0

Nên đa thức x² – 2003x – 2004 = 0 có nghiệm x = -1

b) Đa thức 2005x² – 2004x – 1 = 0 có hệ số a = 2005, b = -2004, c = -1

Khi đó ta có: a + b + c = 2005 – 2004 – 1 = 0

Nên đa thức 2005x² – 2004x – 1 = 0 có nghiệm x = 1.