Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây

A. Lý thuyết

1. Biểu thức đại số

Những biểu thức bao gồm các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa không chỉ trên những số mà còn có thể trên những chữ được gọi là biểu thức đại số.

Ví dụ:

2. Giá trị của một biểu thức đại số

– Để tính giá trị của một biểu thức đại số ta thực hiện các bước sau:

   + Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc).

   + Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân chia, sau đó là phép cộng trừ).

3. Đơn thức

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Chú ý: Số 0 được gọi là đơn thức không

Đơn thức thu gọn

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Số nói trên gọi là hệ số, phần còn lại gọi là biến của đơn thức thu gọn.

Ví dụ: Các đơn thức x, -y, 3x²y , 10xy⁵ là những đơn thức thu gọn, có hệ số lần lượt là 1, -1, 3, 10 và có phần biến lần lượt là x, y, x²y, xy⁵ .

Chú ý:

   + Ta cũng coi một số là đơn thức thu gọn.

   + Trong đơn thức thu gọn, mỗi biến chỉ được viết một lần. Thông thường, khi viết các đơn thức thu gọn ta viết hệ số trước, phần biến sau và các biến được viết theo thứ tự bảng chữ cái.

Bậc của một đơn thức

   + Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.

   + Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.

   + Số 0 được coi là đơn thức không có bậc.

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau

4. Đa thức

– Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

– Đưa đa thức về dạng thu gọn (không còn hai hạng tử nào đồng dạng).

   + Bước 1: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

   + Bước 2: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm.

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó

Chú ý:

   + Số 0 cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc.

   + Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

5. Cộng, trừ đa thức

– Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm như sau:

   + Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc.

   + Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc).

   + Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng.

   + Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

6. Đa thức một biến

– Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

   + Một số được coi là một đơn thức một biến.

   + Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

7. Cộng, trừ đa thức một biến

– Để cộng (hay trừ) các đa thức một biến, ta làm một trong hai cách sau:

   + Cách 1: Cộng, trừ đa thức theo “hàng ngang”

   + Cách 2: Sắp xếp các hạng từ của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột)

8. Nghiệm của đa thức một biến

– Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó.

   + Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, …hoặc không có nghiệm.

   + Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của nó. Chẳng hạn: đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm, đa thức bậc hai không quá hai nghiệm, …

B. Bài tập

Bài 1: Hãy viết biểu thức đại số biểu thị

a) Tổng của hai lần x và ba lần y

b) Hiệu của x và y.

c) Tích của tổng x và y với hiệu x và y

a) Biểu thức đại số biểu thị tổng của hai lần x và ba lần y là: 2x + 3y

b) Biểu thức đại số biểu thị hiệu của x và y là: x – y

c) Biểu thức đại số biểu thị tích của tổng x và y với hiệu x và y là: (x + y)(x – y)

Bài 2: Một doanh nhân gửi tiết kiệm vào ngân hàng là a (đồng). Biết lãi suất của ngân hàng hàng tháng là x%. Viết biểu thức đại số biểu thị số tiền của doanh nhân này sau 1 tháng, 2 tháng, 1 năm (12 tháng).

Sau 1 tháng, với lãi suất là x%, doanh nhân có số tiền lãi là: a.x% (đồng)

Khi đó, số tiền của doanh nhân có sau 1 tháng là: a + ax% = a(1 + x%) (đồng)

Sang tháng thứ 2, doanh nhân nhận được số tiền lãi là: a(1 + x%).x% (đồng)

Khi đó, số tiền doanh nhân nhận được sau hai tháng là:

a(1 + x%) + a(1 + x%)x% = a(1 + x%)² (đồng)

Cứ làm như vậy, ta có số tiền của doanh nhân có sau 1 năm là: a(1 + x%)¹² (đồng)

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức x³ – 2x + 1 tại x = 1; x = -2; x = 1/2

Giá trị của biểu thức x³ – 2x + 1 tại x = 1 là 1³ – 2.1 + 1 = 0

Giá trị của biểu thức x³ – 2x + 1 tại x = -2 là (-2)³ – 2(-2) + 1 = – 3

Giá trị của biểu thức x³ – 2x + 1 tại x = 1/2 là

Bài 4:

a) Tính giá trị của biểu thức tại x = 1; y = 3

b) Tính giá trị của biểu thức x⁵y² + 2y² tại x = 1; y = 2

a) Tính giá trị của biểu thức

tại x = 1; y = 3 là:

b) Tính giá trị của biểu thức x⁵y² + 2y² tại x = 1; y = 2 là: 1⁵.2² + 2.(2)² = 4 + 8 = 12

Bài 5: Trong các biểu thức dưới đây, chỉ ra đâu là đơn thức? Nếu là đơn thức, hãy chỉ ra đâu là hệ số, đâu là phần biến của mỗi đơn thức đó.

Các biểu thức a) và d) là đơn thức vì chúng gồm tích của số và biến

a) Phần số là 1/2, phần biến là x²

d) Phần số là -5 , phần biến là xy²z

Các biểu thức còn lại là b) và c) không phải là đơn thức.

Bài 6: Hãy viết các đơn thức bậc ba với biến x, y và có giá trị bằng 2 tại x = 1; y = -1

Đơn thức với biến x, y có dạng: k.x^ty^s với k khác 0 và t + s = 3; t, s ≥ 1 (vì đa thức này bậc ba)

Từ đây ta suy ra t, s < 3

Tại x = 1; y = -1 thì 2 = k.x^t.y^s = k(1)^t.(-1)^s = k.(-1)^s

+ Với s = 1, khi đó k.(-1)¹ = 2 ⇒ k = -2; t = 3 – 1 = 2

Đơn thức cần tìm là -2x²y.

+ Với s = 2, khi đó k.(-1)² = 2 ⇒ k = 2; t = 3 – 2 = 1

Đơn thức cần tìm là 2xy²

Vậy các đơn thức thỏa mãn yêu cầu bài là: -2x²y, 2xy²

Bài 7:

a) Tính giá trị của biểu thức (-16/3)y²t + 3y²t tại y = -3, t = 1

b) Rút gọn biểu thức sau: (2xy)².(-3x) + ((1/3)x²)(4xy²)

Bài 8: Tính

Bài 9: Tìm bậc của đa thức

Bài 10: Tính giá trị của các đa thức

Bài 11: Tìm đa thức M biết

a) M – (2x³ – 4xy + 6y²) = x² + 3xy – y²

b) (2x² – 4xy + y²) + M = 0

c) (2x² – 7xy + 3y²) – 2M = 4x² – 5xy + 9y²

a) Ta có: M – (2x³ – 4xy + 6y²) = x² + 3xy – y²

⇒ M = (2x³ – 4xy + 6y²) + (x² + 3xy – y²)

M = 2x³ + x² + 5y² – xy

b) Ta có: (2x² – 4xy + y²) + M = 0

⇒ M = -2x² + 4xy – y²

c) Ta có: (2x² – 7xy + 3y²) – 2M = 4x² – 5xy + 9y²

⇒ 2M = (2x² – 7xy + 3y²) – (4x² – 5xy + 9y²)

⇒ 2M = -2x² – 2xy – 6y²

⇒ M = -x² – xy – 3y²

Bài 12: Tính giá trị của các đa thức sau

a) 2x³ + y² + 2xy – 3y³ + 2x³ + 3y³ – 3x³ tại x = 4; y = 5

b) x⁶y⁶ – x⁴y⁴ + x²y – xy + 1 tại x = 1; y = -1

Bài 13: Thu gọn các đa thức sau và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

a) 2x³ – x⁵ + 3x⁴ + x² – (1/2)x³ + 3x⁵ – 2x² – x⁴ + 1

b) x⁷ – 3x⁴ + 2x³ – x² – x⁴ – x + x⁷ – x³ + 5

Bài 14: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x + x² + x³ + x⁴ + ….. + x⁹⁹ + x¹⁰⁰ tại x = -1

b) x² + x⁴ + x⁶ + ….. + x⁹⁸ + x¹⁰⁰ tại x = -1

Bài 15: Cho đa thức P(x) = -9x³ + 5x⁴ + 8x² -15x³ – 4x² – x⁴ + 15 – 7x³

Tính P(1), P(0), P(-1)

Trước hết ta thu gọn đa thức:

Khi đó ta có:

Bài 16: Cho đa thức

A = -3x³ + 4x² – 5x + 6

B = 3x³ – 6x² + 5x – 4

a) Tính C = A + B, D = A – B, E = C – D

b) Tính các giá trị của đa thức A, B, C, D tại x = -1

a) Ta có:

C = A + B

= (-3x³ + 4x² – 5x + 6) + (3x³ – 6x² + 5x – 4)

= (-3x³ + 3x³) + (4x² – 6x²) + (-5x + 5x) + (6 – 4)

= -2x² + 2

D = A – B

= (-3x³ + 4x² – 5x + 6) – (3x³ – 6x² + 5x – 4)

= (-3x³ – 3x³) + (4x² + 6x²) + (-5x – 5x) + (6 + 4)

= -6x³ + 10x² – 10x + 10

E = C – D

= (-2x² + 2) – (-6x³ + 10x² – 10x + 10)

= -2x² + 2 + 6x³ – 10x² + 10x – 10

= 6x³ – 12x² + 10x – 8

b) Tính giá trị biểu thức tại x = -1

A = -3.(-1)³ + 4.(-1)² – 5.(-1) + 6

= 3 + 4 + 5 + 6 = 18

B = 3.(-1)³ – 6.(-1)² + 5.(-1) – 4

= -3 – 6 – 5 – 4 = -18

C = -2.(-1)² + 2 = 0

D = -6.(-1)³ + 10.(-1)² – 10.(-1) + 10

= 6 + 10 + 10 + 10 = 36

Bài 17: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm

a) P(x) = x² + 1

b) Q(y) = 2y⁴ + 5

a) Vì x² ≥ 0 nên x² + 1 ≥ 1

Do đó: P(x) = x² + 1 > 0 nên đa thức P(x) vô nghiệm

b) Vì y⁴ ≥ 0 nên 2y⁴ + 5 > 0

Do đó: Q(y) = 2y⁴ + 5 > 0 nên đa thức Q(x) vô nghiệm

Bài 18: Tìm nghiệm của đa thức

a) x² – 2003x – 2004 = 0

b) 2005x² – 2004x – 1 = 0

a) Đa thức x² – 2003x – 2004 có hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004

Khi đó ta có: a – b + c = 1 – (-2003) + (-2004)

= 1 + 2003 – 2004 = 0

Nên đa thức x² – 2003x – 2004 có nghiệm x = -1

b) Đa thức 2005x² – 2004x – 1 có hệ số a = 2005, b = -2004, c = -1

Khi đó ta có: a + b + c = 2005 + (-2004) + (-1)

= 2005 – 2005 = 0

Nên đa thức 2005x² – 2004x – 1 có nghiệm x = 1