Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

A+B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. (Trang 15 Toán 8 VNEN Tập 1)

a) Với a, b là hai số tùy ý, hãy tính: (a + b)(a² – ab + b²). So sánh kết quả vừa tính được với a³ + b³.

Lời giải:

Có: (a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³.

Như vậy, (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³.

b) Thực hiện theo các yêu cầu:

– Viết 8x³ + 27 dưới dạng tích.

– Viết (x + 3)(x² – 3x + 9) dưới dạng tổng.

Lời giải:

– Có: 8x³ + 27 = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)[(2x)² – 2x.3 + 3²] = (2x + 3)(4x² – 6x + 9).

– Có: (x + 3)(x² – 3x + 9) = (x + 3)(x² – 3x + 32) = x³ + 3³ = x³ + 27.

2. (Trang 16 Toán 8 VNEN Tập 1)

a) Với a, b là hai số tùy ý, hãy tính: (a – b)(a² + ab + b²). So sánh kết quả vừa tính được với a³ – b³.

Trả lời:

Có: (a – b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³.

Như vậy, (a – b)(a² + ab + b²). = a³ – b³.

b) Thực hiện các yêu cầu sau:

– Viết 8x³ – 27y³ dưới dạng tích.

– Hãy đánh dấu x vào ô trống có đáp số đúng của tích: (2 – x)(4 + 2x + x²).

Lời giải:

– Có: 8x³ – 27y³ = (2x)³ – (3y)³ = (2x – 3y)[(2x)² + 2x.3y + (3y)²] = (2x – 3y)(4x² + 6xy + 9y²).

C. Hoạt động luyện tập

1 (Trang 16 Toán 8 VNEN Tập 1)

a) Viết lại bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

b) Hãy phát biểu bằng lời các hằng đẳng thức: Tổng hai lập phương, hiệu hai lập phương.

Lời giải:

a) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

(1) Bình phương của một tổng: (A + B)² = A² + 2AB + B².

(2) Bình phương của một hiệu: (A – B)² = A² – 2AB + B².

(3) Hiệu hai bình phương: A² – B² = (A + B)(A – B).

(4) Lập phương của một tổng: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

(5) Lập phương của một hiệu: (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³.

(6) Tổng hai lập phương: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²).

(7) Hiệu hai lập phương: A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²).

b) – Tổng các lập phương bằng tích của tổng hai số và bình phương thiếu của một hiệu.

– Hiệu các lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương thiếu của một tổng.

2 (Trang 16 Toán 8 VNEN Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x – 3)(x² + 3x + 9) – (54 + x³);

b) (3x + y)(9x² – 3xy + y²) – (3x – y)(9x² + 3xy + y²).

Lời giải:

a) (x – 3)(x² + 3x + 9) – (54 + x³) = x³ – 33 – (54 + x³) = x³ – 27 – 54 – x³ = -81;

b) (3x + y)(9x² – 3xy + y²) – (3x – y)(9x² + 3xy + y²) = 9x³ + y³ – (9x³ – y³) = 2y³.

3 (Trang 16 Toán 8 VNEN Tập 1)

Chứng minh rằng:

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b);

b) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b).

Áp dụng: Tính a³ + b³ biết ab = 12 và a + b = -7.

Lời giải:

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b);

Ta có:

VP = (a + b)³ – 3ab(a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – 3a²b – 3ab² = a³ + b³ = VT (đpcm).

b) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b).

Ta có:

VP = (a – b)³ + 3ab(a – b) = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ + 3a²b – 3ab² = a³ – b³ = VT (đpcm).

Áp dụng: Tính a³ – b³ biết ab = 12 và a + b = -7.

Có: a³ – b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b) = (-7)³ – 3.12(-7) = -91.

4 (Trang 17 Toán 8 VNEN Tập 1)

Điền các đơn thức thích hợp vào chỗ trống:

a) (x + 3y)(…… – …… + ……) = x³ + 27y³;

b) (2x – ……)(…… + 6xy +……) = 8x³ – 27y³.

Lời giải:

a) (x + 3y)(…x²… – …3xy… + …9y²…) = x³ + 27y³;

b) (2x – …3y…)(…4x²… + 6xy +…9y²…) = 8x³ – 27y³.

5 (Trang 17 Toán 8 VNEN Tập 1)

Tính nhanh kết quả của các biểu thức sau:

a) A = 53² + 106.46 + 47²;

b) B = 5⁴.3⁴ – (15² – 1)(15² + 1);

c) C = 50² – 49² + 48² – 47² + … + 2² – 1².

Lời giải:

a) A = 53² + 106.46 + 47² = 53² + 2.53.47 + 47² = (53 + 47)² = 100² = 10000;

b) B = 5⁴.3⁴ – (15² – 1)(15² + 1) = (15)⁴ – (15⁴ – 1) = 15⁴ – 15⁴ + 1 = 1;

c) C = 50² – 49² + 48² – 47² + … + 2² – 1²

= (50 – 49)(50 + 49) + (48 – 47)(48 + 47) + … + (2 – 1)(2 + 1)

= 50 + 49 + 48 + 47 + … + 2 + 1 = (50 + 1).50 : 2 = 1275.

D+E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi mở rộng

1. (Trang 17 Toán 8 VNEN Tập 1)

Trong hai số sau, số nào lớn hơn?

a) A = 2015.2017 và B = 2016².

b) C = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) và D = 23².

Lời giải:

a) Ta có:

A = 2015.2017 = (2016 – 1)(2016 + 1) = 2016² – 1 < 2016² = B.

Vì vậy A < B.

b) Ta có:

C = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

= (2 – 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

= (2² – 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

= (2⁴ – 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

= (2⁸ – 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

= (2¹⁶ – 1)(2¹⁶ + 1) = 23² – 1 < 23² = D.

Vì vậy C < D.

2. (Trang 17 Toán 8 VNEN Tập 1)

Cho x – y = 11. Tính giá trị biểu thức:

M = x³ – 3xy(x – y) – y³ – x² + 2xy – y².

Lời giải:

M = x³ – 3xy(x – y) – y³ – x² + 2xy – y²

= x³ – 3x²y + 3xy² – y³ – (x² – 2xy + y²)

= (x – y)³ – (x – y)².

Thay x – y = 11, ta được: M = 11² – 11² = 1210.

3. (Trang 17 Toán 8 VNEN Tập 1)

Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến:

a) -9x² + 12x – 17;

b) -11 – (x – 1)(x + 2).

Lời giải:

a) -9x² + 12x – 17 = -(9x² – 12x + 4) – 13= -[(3x)² – 2.3x.2 + 2²] – 13= -(3x – 2)² – 13 < 0 với mọi giá trị của biến.