Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

C. Hoạt động luyện tập

1 (Trang 32 Toán 8 VNEN Tập 2)

Điền dấu thích hợp (<, >, ≤, ≥) vào ô vuông:

Lời giải:

Ta có:

2 (Trang 32 Toán 8 VNEN Tập 2)

a) So sánh (- 2) . 3 và – 4,5.

b) Từ kết quả câu

a) hãy suy ra các bất đẳng thức sau:

(- 2) . 30 < – 45 ;            (- 2) . 3 + 4,5 < 0

Lời giải:

a) So sánh: (- 2) . 3 < – 4,5.

b) * Ta có: (- 2) . 3 < – 4,5

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với 10 ta được:

(- 2) . 3 . 10 < – 4,5 . 10 ⇔ (- 2) . 30 < – 45

* Ta có: (- 2) . 3 < – 4,5

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức trên với 4,5 ta được:

(- 2) . 3 + 4,5 < – 4,5 + 4,5 ⇔ (- 2) . 3 + 4,5 < 0

3 (Trang 32 Toán 8 VNEN Tập 2)

Cho a ≤ b, hãy so sánh:

a) – 9a và – 9b ;

b)

c) a + 1 và b + 2 ;

d) 2a – 1 và 2b + 1.

Lời giải:

a) Ta có: a ≤ b

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với (- 9) ta được:

– 9a ≥ – 9b

b) Ta có: a ≤ b

Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên với 5 ta được:

c) Ta có: a ≤ b

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức trên với 1 ta được:

a + 1 ≤ b + 1 < b + 2

Vậy a + 1 < b + 2

d) Ta có: a ≤ b (1)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 2 ta được:

2a ≤ 2b (2)

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức (2) với (- 1) ta được:

2a – 1 ≤ 2b – 1 < 2b + 1

Vậy 2a – 1 < 2b + 1.

4 (Trang 33 Toán 8 VNEN Tập 2)

Cho a < b, chứng tỏ rằng:

a) 3 – 6a > 1 – 6b ;

b) 7(a – 2) < 7(b – 2) ;

c)

Lời giải:

a) Ta có: a < b

Nhân cả hai vế của bất phương trình trên với (- 6) ta được:

– 6a > – 6b

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với 1 ta được:

1 – 6a > 1 – 6b

Mặt khác 3 – 6a > 1 – 6a suy ra 3 – 6a > 1 – 6b.

Giải câu b) Ta có: a < b

Nhân cả hai vế của bất phương trình trên với 7 ta được:

7a < 7b

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với (- 14) ta được:

7a – 14 < 7b – 14 ⇔ 7(a – 2) < 7(b – 2).

Giải câu c) Ta có: a < b

Nhân cả hai vế của bất phương trình trên với (- 2) ta được:

– 2a > – 2b

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với 1 ta được:

1 – 2a > 1 – 2b

Chia cả hai vế của bất phương trình trên với 3 ta được:

5 (Trang 33 Toán 8 VNEN Tập 2)

So sánh a và b nếu:

a) a + 23 < b + 23 ;

b) – 12a > – 12b

c) 5a – 6 ≥ 5b – 6 ;

d)

Lời giải:

a) Ta có: a + 23 < b + 23

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với (- 23) ta được:

a + 23 + (- 23) < b + 23 + (- 23) ⇔ a < b.

b) Ta có: – 12a > – 12b

Chia cả hai vế của bất phương trình trên với (- 12) ta được:

⇔ a < b

c) 5a – 6 ≥ 5b – 6

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với 6 ta được:

5a – 6 + 6 ≥ 5b – 6 + 6 ⇔ 5a ≥ 5b

Chia cả hai vế của bất phương trình trên với 5 ta được:

a ≥ b

d) Ta có:

Nhân cả hai vế của bất phương trình trên với 5 ta được:

– 2a + 3 ≤ -2b + 3

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với ( – 3) ta được:

– 2a ≤ – 2b

Chia cả hai vế của bất phương trình trên với ( -2) ta được:

a ≥ b

D. Hoạt động vận dụng

1 (Trang 33 Toán 8 VNEN Tập 2)

Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải:

a) Ta có:

Nhân hai vế của bất phương trình trên với b (b > 0) ta được:

Vậy< bc.

b)

Ta có tính chất: nếu a > b > 0 thì

2 (Trang 33 Toán 8 VNEN Tập 2)

Chứng minh rằng với mọi số a ta luôn có:

a) a² + a + 1 ≥ 0 ;

b) – a² – 6a ≤ 9

Lời giải:

a) Ta có: a² + a + 1 = a² + 2.a.

với mọi a

Vậy a² + a + 1 > 0

b) Xét hiệu: (- a² – 6

a) – 9 = – (a² + 6a + 9) = – (a+3)² ≤ 0 với mọi a

Vậy – a² – 6a – 9 ≤ 0 hay – a² – 6a ≤ 9

3 (Trang 33 Toán 8 VNEN Tập 2)

Chứng minh rằng với mọi số a, b, c ta luôn có:

a) a² + b² ≥ 2ab ;

b) a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Lời giải:

a) Xét hiệu: (a² + b²) – 2ab = (a−b)² ≥ 0 với mọi a, b

Vậy a² + b² ≥ 2ab với mọi a, b.

b) Ta có:

a² + b² ≥ 2ab

b² + c² ≥ 2bc

c² + a² ≥ 2ca

Cộng 3 bất phương trình theo vế ta được:

2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Vậy a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca. với mọi a, b, c

E. Hoạt động tìm tòi mở rộng

1 (Trang 33 Toán 8 VNEN Tập 2)

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a và b:

( Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng).

Đẳng thức xảy ra khi a = b.

Bất đẳng thức này mang tên nhà toán học người Pháp Cô-si (Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, chứng minh các bất đẳng thức sau với a,b là hai số dương:

Lời giải:

a) Theo bất đẳng thức Cô-si:

(a, b là số dương), ta có:

b) Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

Mặt khác ta có theo bất đẳng thức Cô-si:

Suy ra:

2 (Trang 34 Toán 8 VNEN Tập 2)

2. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai cặp số (a; b) và (x; y):

(ax+by)² ≤ (a² + b²)(x² + y²);

Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi ay = bx, hay (khi ab ≠ 0).

Bất đẳng thức này mang tên nhà toán học người Nga Bu-nhi-a-cốp-xki (Viktor Bunyakovsky, 1804 – 1889).

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 2(a² + b²) ≥ (a + b)² ;

b) a⁴ + b⁴ ≥ 2, biết rằng a + b = 2.

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1 ; 1) và (a; b)ta có:

(12 + 12)(a² + b²) ≥ (1.a+1.

b)² = (a + b)²

Dấu bằng xảy ra khi a = b.

Vậy 2(a² + b²) ≥ (a + b)²

b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1; 1) và (a²; b²) ta có:

(12 + 12)(a⁴ + b⁴) ≥ (1.a²+1.b²)² = (a²+b²)²

Theo câu a: