Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây
A. Phương pháp giải
+ Để chứng minh một phép chia là phép chia hết, ta cần chứng minh phần dư của phép chia bằng 0.
+ Chú ý: xn : xm = xn-m
+ Muốn chia một đa thức cho một đơn thức ta lấy từng hạng tử của đa thức chia cho đơn thức.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B với:
A = 7xn-1y5 – 5x3y4; B = 5x2yn
Giải:
Theo đề bài đa thức A chia hết cho đơn thức B
Vậy giá trị n cần tìm là
Chọn A.
Ví dụ 2. Cho phép chia: (x3 + 9x2 + 27x + 27) : (x + 3). Tìm khẳng định sai?
A. Đây là phép chia hết
B. Thương của phép chia là: (x+ 3)2
C. Thương của phép chia là : x2 + 6x + 9
D. Số dư của phép chia là x – 3 .
Lời giải
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ta được:
(x3 + 9x2 + 27x + 27) : (x + 3) = (x + 3)3 : (x + 3) = (x+ 3)2 = x2 + 6x +9
Vậy phéo chia đã cho là phép chia hết có thương là: (x+ 3)2 = x2 + 6x + 9.
Chọn D.
Ví dụ 3. Thực hiện phép chia: ( x2y + 4xy + 3y ) : (x + 1) ta được thuơng là:
A. xy + 3 B. x +3y C. x + y + 3 D. y. (x + 3)
Lời giải
Ta có: x2y + 4xy + 3y = y.(x2 + 4x +3)
= y . [ (x2 + x )+ (3x+ 3)]
= y .[ x. (x+ 1) + 3(x+ 1)]
= y. (x + 3). (x+1 )
Vậy : ( x2y + 4xy + 3y ) : (x + 1) = y. ( x+ 3). (x+ 1) : (x+1) = y. (x+ 3).
Chọn D.
Ví dụ 4. Tìm a để phép chia (x3 – 4x + a): (x – 2) là phép chia hết:
A. a = 0 B. a = 4 C. a = -8 D. a = 8
Lời giải
Ta có:
Để phép chia đã cho là phép chia hết khi và chỉ khi phần dư bằng 0 . Do đó, a =0
Chọn A.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Ta có: (2x3 – 26x – 24):(x2 + 4x + 3) = ax + b. Tính a + b?
A. 6 B. -3 C. -6 D. 10
Ta có phép chia
Vậy (2x3 – 26x – 24) = (x2 + 4x + 3)(2x – 8)
Suy ra: a= 2; b = -8 nên a + b = – 6
Chọn C
Câu 2. Tìm a để phép chia sau là phép chia hết: (x3 – 9x2 + 28x -a):(x – 3)
A.a = 30 B. a = -30 C. a = 60 D. a = – 60
Ta có phép chia
Để phép chia đã cho là phép chia hết khi -a + 30 = 0 nên a= 30.
Chọn A.
Câu 3. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để phép chia sau là phép chia hết: (7xn-2y5 + 8x8yn+1):x3y5
A.n = 3 B. n = 4 C. n = 6 D .n = 5
(7xn-2y5 + 8x8yn+1):x3y5
= 7xn-2y5 : x3y5 + 8x8yn+1 : x3y5
= 7xn-5 + 8x5yn-4
Để phép chia đã cho là phép chi hết khi và chỉ khi:
Do đó, số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn là n = 5
Chọn D.
Câu 6. Tìm số nguyên n lớn nhất để phép chia sau là phép chia hết :
(-4x3-ny8 + 12x10y8-2n):x5y6
A. n =-1 B. n = -2 C. n = -3 D. n = -4
(-4x3-ny8 + 12x10y8-2n):x5y6
= -4x3-ny8 : x5y6 + 12x10y8-2n : x5y6
= -4x-2-ny2 + 12x5y2-2n
Để phép chia đã cho là phép chia hết khi và chỉ khi:
Do đó, số nguyên n lớn nhất để phép chia đã cho là phép chia hết là n = -2
Chọn B.
Câu 7. Chứng minh đa thức 2x2y – 2axy – x2 + ax – xy + ay luôn chia hết cho đa thức ( x – a) với mọi giá trị của a.
2x2y – 2axy – x2 + ax – xy + ay
= (2x2y – 2axy) – (x2 – ax) – (xy – ay)
= 2xy.(x – a) – x(x – a) – y(x – a)
= (x – a).(2xy – x – y)
Suy ra, đa thức 2x2y – 2axy – x2 + ax – xy + ay luôn chia hết cho ( x – a)
Câu 8. Chứng minh đa thức 2x2 – 2y2 – 2ax + 2ay luôn chia hết cho đa thức ( x + y – a) với mọi giá trị của a.
Ta có:
2x2 – 2y2 – 2ax + 2ay = (2x2 – 2y2) – (2ax – 2ay)
= 2(x2 – y2) – 2a(x – y)
= 2(x + y).(x – y) – 2a(x – y)
= 2(x – y).(x + y – a)
Do đó, đa thức 2x2 – 2y2 – 2ax + 2ay luôn chia hết cho đa thức ( x + y – a) với mọi giá trị của a.