Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Với Chứng tỏ một điểm di động trên 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

A. Phương pháp giải

1. Xác định điểm di chuyển. 

2. Xác định điểm, đường thẳng hoặc tam giác cố định để tìm đoạn có độ dài không đổi.

3. Sử dụng tính chất của các điểm cách đểu một đường thẳng cho trước.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho điểm A ở ngoài đường thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2cm. Trên d lấy một điểm B bất kì. Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B. Hỏi khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường nào?

Giải

Kẻ và  thì AH là khoảng cách từ điểm A cố định đến đường thẳng d cố định nên AH = 2cm không đổi, CK là khoảng cách từ C đến đường thẳng d. Khi B di chuyển trên d thì điểm C cũng di chuyển theo.

Áp dụng tính chất của hai điểm đối xứng qua tâm và hai góc đối đỉnh, ta được:

(trường hợp cạnh huyền – góc nhọn)

nên CK = AH = 2cm. 

Như vậy điểm C cách đường thẳng d cố định một khoảng không đổi 2cm nên C di chuyển trên đường thẳng Cx//d và cách d một khoảng bằng 2cm.

Ví dụ 2. Cho góc vuông xOy. Trên tia Oy lấy điểm A sao cho OA = 2cm, trên tia Ox lấy một điểm B bất kì. Gọi C là trung điểm của AB. Hỏi khi điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C di chuyển trên đường nào?

Giải

Vì điểm  của góc xOy cố định nên OA = 2cm không đổi. Khi điểm B di chuyển trên tia Ox thì trung điểm C của AB cũng di chuyển theo.

Gọi D là trung điểm của AO. Mà AO cố định nên D cố định.

Khi điểm B di chuyển trên tia Ox lên vị trí B trùng với O thì điểm C di chuyển lên vị trí C trùng với điểm D và AD = DO = 1cm. 

Nối O với trung điểm C của AB thì OC là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông AOB.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền và giả thiết vào tam giác vuông AOB, ta được:

 

Điều này chứng tỏ DC là đường trung trực của đoạn AO cố định. 

Vậy điểm C di chuyển trên tia Dm thuộc đường trung trực của OA.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy một điểm M bất kì, kẻ . Gọi O là trung điểm của DE.

a) Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng. 

b) Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào? 

c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất?

Giải

a) Từ giả thiết suy ra

 . Tứ giác AEMD có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình chữ nhật AEMD ta được hai đường chéo AM và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do O là trung điểm của DE theo giả thiết nên AM đi qua O hay A, O, M thẳng hàng. 

b) Kẻ thì  vuông tại H, do tam giác vuông ABC cho trước nên đường cao AH cố định.

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và AC. 

Nối HP, HQ thì HP và HQ lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông AHB và AHC.

Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên, ta được 

⇒P, Q cách đểu hai đầu đoạn thẳng AH nên PQ là đường trung trực của đường cao AH cố định. Do đó khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đoạn PQ là đường trung bình của tam giác vuông ABC.

c) Áp dụng định lí về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên vào đường vuông góc AH, đường xiên AM thì đường vuông góc AH là đường ngắn nhất. 

Vậy điểm M ở vị trí chân đường cao H thì AM = AH có độ dài nhỏ nhất.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy một điểm M bất kì. Qua M kẻ MD//AB, ME//AC. Hỏi khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?

Giải

Tứ giác ADME là hình bình hành nên trung điểm của DE cũng là trung điểm của AM. 

Kẻ . Điểm I cách BC một khoảng bằng

 nên di chuyển trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng  . Đó chính là đường trung bình PQ (trừ P và Q do khi M di chuyển tới hai vị trí đặc biệt B, C thì hình bình hành ADME bị suy biến thành đoạn thẳng).

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di động trên các cạnh AB, AC sao cho AD = CE. Hỏi trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?

Giải

Kẻ EM//AB thì  , suy ra AD = EC = EM.

Tứ giác AEMD có hai cạnh đối AD và ME song song và bằng nhau nên là hình bình hành, suy ra I là trung điểm của AM.

Kẻ . Điểm I cách BC một khoảng bằng  nên di chuyển trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng . Đó chính là đường trung bình PQ (trừ P và Q do khi M di chuyển tới hai vị trí đặc biệt B, C thì hình bình hành ADME bị suy biến thành đoạn thẳng).

Ví dụ 6. Cho đoạn thẳng BC cố định, điểm A di động trên đường thẳng d song song với BC và cách BC một khoảng bằng 3cm. Hỏi trọng tâm G của tam giác ABC di chuyển trên đường nào?

Giải

Gọi I là trung điểm của AG thì AI = IG = GM. 

Qua I, G lần lượt kẻ hai đường thẳng m, n cùng song song với d và BC ta được d, m, n, BC là các đường thẳng song song cách đều nên G di chuyển trên m//BC cách BC một khoảng bằng 1cm.