Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây
Với Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình thoi môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.
A. Phương pháp giải
1. Sử dụng định nghĩa hình thoi
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Tứ giác ABCD là hình thoi ⇔ AB = BC = CD = DA.
2. Áp dụng các tính chất của hình thoi.
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. Nhưng cần chú ý các tính chất về đường chéo. Trong hình thoi:
a) Hai đường chéo vuông góc với nhau.
b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
3. Xác định tam giác vuông chứa đoạn cần tính để áp dụng định lí Py-ta-go.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và 10cm. Hỏi cạnh của hình thoi bằng bao nhiêu?
Giải
Xét hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AC = 10cm, BD = 8cm. Vì hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau nên ta chỉ cần tính một cạnh, chẳng hạn cạnh BC. Áp dụng tính chất về đường chéo và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được
⇒ΔBOC vuông tại O và có hai cạnh góc vuông là 4cm và 5cm.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông BOC, ta được
Vậy cạnh của hình thoi là
Ví dụ 2. Cho hình thoi ABCD có góc A tù. Biết đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh CD chia đôi cạnh đó. Tính các góc của hình thoi.
Giải
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến cạnh CD và từ giả thiết, ta có:
⇒AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = AD (1)
Áp dụng định nghĩa vào hình thoi ABCD, ta được AD = CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC = CD = DA nên tam giác ACD là tam giác đều, do đó
Vì góc D và góc BAD là hai góc trong cùng phía của AB//CD nên chúng bù nhau hay
Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ta được
Ví dụ 3. Chứng minh rằng các đường cao của hình thoi bằng nhau.
Giải
Xét hình thoi ABCD, kẻ hai đường cao 
Ta phải chứng minh AH = AK.
Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:
(trường hợp cạnh huyền, góc nhọn).
Suy ra AH = AK.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1. Hình thoi có chu vi bằng 20cm thì độ dài cạnh của nó bằng
A. 4cm.
B. 5cm.
C. 8cm.
D. Cả A, B, C đều sai.
Phần C. bài tập vận dụng cho phần Lời giải vào code Hiển thị đáp án
Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0).
Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi là 4a = 20 ⇔ a = 5 cm.
Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 5cm.
Đáp án: B.
Câu 2. Hình thoi có chu vi bằng 36cm thì độ dài cạnh của nó bằng.
A. 12 cm.
B. 4 cm.
C. 9 cm.
D. Đáp án khác.
Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0). Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi là 4a = 36 ⇔ a = 9 cm.
Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 9cm.
Đáp án: C.
Câu 3. Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 16cm, đường cao AH bằng 2cm. Tính các góc của hình thoi. Hãy chọn câu đúng.
Vì chu vi hình thoi là 16cm nên cạnh hình thoi có độ dài 16 : 4 = 4cm. Suy ra AD = 4cm.
Xét tam giác AHD vuông tại H có
(tính chất)
Suy ra
(vì ABCD là hình thoi)
Hình thoi ABCD có
(vì hai góc đối bằng nhau).
Đáp án: A.
Câu 4. Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 24cm, đường cao AH bằng 3cm. Tính 
Vì chu vi hình thoi là 24cm nên cạnh hình thoi có độ dài 24 : 4 = 6 cm. Suy ra AD = 6cm. Xét tam giác AHD vuông tại H có:
(tính chất)
Suy ra
(vì ABCD là hình thoi)
Nên hình thoi ABCD có:
(vì hai góc đối bằng nhau).
Lại có: CA là tia phân giác 
Đáp án: D.
Câu 5. Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24cm và 10cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.
A. 12cm.
B. 13cm.
C. 14cm.
D. 15cm.
Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC = 10cm, BD = 24cm. Do ABCD là hình thoi nên:
Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:
Suy ra AB = 13cm.
Đáp án: B.
Câu 6. Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 12cm và 16cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.
A. 12 cm.
B. 8 cm.
C. 20 cm.
D. 10 cm.
Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC = 12cm, BD = 16cm. Do ABCD là hình thoi nên:
Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:
Suy ra AB = 10cm.
Đáp án: D.
Câu 7. Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Cho OC = 4; OH = 3 với O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Tính chu vi tứ giác AHCG.
A. 20 cm.
B. 24 cm.
C. 16 cm.
D. 8 cm.
Có O là giao điểm của AC và BD thì 
Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:
Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.
Suy ra: HO = OG (2)
Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.
Vì OC = 4; OH = 3 nên trong tam giác vuông OCH có
(định lý Pytago).
Chu vi hình thoi AHCG bằng 4.CH = 4.5 = 20 cm.
Đáp án: A.
Câu 8. Cho tứ giác ABCD có 
A. 750 .
B. 950 .
C. 1050 .
D. 1200 .
Gọi G, H lần lượt là trung điểm của AC, BD.
Vì E, G lần lượt là trung điểm của AB, AC nên EG là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra
Chứng minh tương tự ta cũng có:
Mà AD = BC (gt), nên EG = GF = FH = HE.
Suy ra: tứ giác EGFH là hình thoi.
Suy ra EF là tia phân giác của góc
Đáp án: C.
Câu 9. Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD. M là điểm bất kì trên trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, ID cắt EF tại K.
Chọn câu sai.
A. M, H, K thẳng hàng.
B. ΔIED đều.
C. Tứ giác EIFD là hình thoi.
D. ID>IF.
Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên:
Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có:
(góc ngoài của tam giác).
Chứng minh tương tự với tam giác vuông ADM ta có:
Do đó:
Tam giác IED cân (vì EI = DI) có: 
Tương tự tam giác IDF đều suy ra: ID = DF = IF.
Do đó EI = ED = DF = IF. Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi.
Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID.
Gọi N là trung điểm của AH.
Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác.
Do đó AN = NH = HD.
Ta có: MH // IN (vì IN là đường trung bình của tam giác AMH) và KH // IN (vì KH là đường trung bình của tam giác DIN).
Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – Clit) nên M, H, K thẳng hàng.
Vậy D sai vì ID = IF
Đáp án: D