Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Với Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki môn Toán lớp 8 phần Đại số sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng bài: Sử dụng bất đẳng thức Cô – si, bất đẳng thức Bunhiacopxki

A. Phương pháp giải

a) Bất đẳng thức Cô – si

Cho hai số không âm a, b, ta luôn có:

, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Mở rộng:

a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

b. Với n số  không âm, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho a₁, a₂, b₁, b₂ là những số thực, ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi 

Mở rộng: Với các số thực a₁, a₂, b₁, b₂, a₃, b₃, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi 

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho a,b>0. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

 

     

Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:

Dấu bằng xảy ra khi: 

Câu 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Giải.

Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Câu 3: Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

Lời giải:

Ta có:

Lấy căn bậc hai của hai vế, ta đi đến:

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho 3 số dương x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng:

Câu 2: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: xyz=1. Chứng minh rằng:

Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

Câu 4: Cho . Chứng minh rằng:

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

Câu 6: Hai số x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng

Câu 7: Cho các số không âm a, y thỏa mãn . Chứng minh rằng: