Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Với Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – Hai mặt phẳng vuông góc môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Hình lăng trụ đứng – Hình chóp đều để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng bài: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

A. Phương pháp giải

a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

+) Khi đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau b và c của (P) thì ta nói .

+) Lưu ý: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng đó.

b) Hai mặt phẳng vuông góc

Khi một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Quan sát hình hộp chữ nhật ở hình 84:

a) A’A có vuông góc với AD hay không? Vì sao?

b) A’A  có vuông góc với AB hay không? Vì sao?

c) Các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

d)  Các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’D’).

Lời giải:

Ta lần lượt có:

a) A’A có vuông góc với AD, bởi ADD’A’ là hình chữ nhật.

b) A’A có vuông góc với AB, bởi ABB’A’ là hình chữ nhật.

c) Các đường thẳng A’A, B’B, C’C, D’D vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

d) Các mặt phẳng (A’ABB’), (B’BCC’), (C’CDD’), (D’DAA’) vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’D’).

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A₁B₁C₁D₁.

a) Hãy chỉ ra các đường thẳng trong hình hộp vuông góc với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁).

b) Hãy chỉ ra các mặt phẳng trong hình hộp vuông góc với mặt phẳng (BB₁C₁C).

 c) Tứ giác B₁C₁DA là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

a) Ta có:

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

Vậy tồn tại 4 đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ vuông góc với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁)

b) Ta có :

Vậy, tồn tại 6 mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁), (A₁B₁BA), (A₁B₁CD), (ABCD), (ABC₁D₁), (CDD₁C₁) vuông góc với mặt phẳng (BB₁C₁C).

c) Vì ADD₁A₁ là hình chữ nhật nên:

Mặt khác, ta có:

Vậy, hình bình hành B₁C₁DA có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁.

a) Khi nối A₁ với C và A với C₁ thì hai đường thẳng A₁C và AC₁ có cắt nhau hay không? Và nếu chúng cắt nhau thì có thể vuông góc với nhau được không? Vì sao?

b) Đường thẳng AC song song với những mặt phẳng nào?

c) Đường thẳng AC vuông góc với những mặt phẳng nào?

Lời giải:

a) Ta có:

        .

b) Ta có:

Vậy, tồn tại 3 mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁), (A₁C₁B), (A₁C₁D) song song với AC.

c) Ta có: 

Vậy, có đúng mặt phẳng (BDD₁B₁) vuông góc với AC.

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’. Đường thẳng BB’ vuông góc với các mặt phẳng nào?

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:

Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (DBB’D’) vuông góc với nhau.

Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi E, F, G, M, N lần lượt là trung điểm của CD’; CB’; CC’; B’C’; C’D’. Chứng minh rằng:

Câu 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

a) Tìm giao tuyến m của hai mặt phẳng (ACC’A’) và (DBB’D’).

b) Chứng minh giao tuyến .

c) Chứng minh .

Câu 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD và B’D’

a) Nêu vị trí tương đối của các cặp đường thẳng MN và BD, MN và CC’, AC và A’D’

b) Chứng minh