Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
MỤC TIÊU
– Hệ thống được các kiến thức: Khái niệm đường tròn, đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác, tiếp tuyến của đường tròn; Tính chất đối xứng của đường tròn, liên hệ giữa đường kính và dây cung, dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây; Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn,vị trí tương đối của hai đường tròn.
– Vận dụng được các khái niệm và tính chất đã học để giải một số bài tập cơ bản.
– Tìm được một số ứng dụng của đường tròn trong thực tiễn.
C. Hoạt động luyện tập
A. Hãy nhớ lại và thảo luận với nhóm của em để hệ thống lại những kiến thức đã học ở trong chương bằng sơ đồ, bằng bảng hoặc trả lời những câu hỏi sau:
Câu 1. Thế nào là đường tròn ngoại tiếp tam giác? Nêu cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Câu 2. Thế nào là đường tròn nội tiếp tam giác? Nêu cách xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
Câu 3. Chỉ rõ tâm đối xứng của đường tròn, trục đối xứng của đường tròn.
Câu 4. Phát biểu định lí so sánh giữa độ dài đường kính và dây cung của một đường tròn.
Câu 5. Phát biểu các định lí về quan hệ vuông góc vữa đường kính và dây.
Câu 6. Phát biểu các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Câu 7. Nêu các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa d (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) và R (bán kính của đường tròn).
Câu 8. Tiếp tuyến của đường tròn là gì? Phát biểu tính chất của tiếp tuyến và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến. Phát biểu các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Câu 9. Nêu các vị trí tương đối của hai đường tròn, Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa đoạn nối tâm d với các bán kính R, r.
Câu 10. Nêu tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau, hai đường tròn tiếp xúc nhau và hai đường tròn không giao nhau.
B. Điền vào chỗ chấm (…)
Câu 1. Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm …… một khoảng bằng ……
Câu 2. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có ……. chung với đường tròn đó.
Câu 3.
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là …. của cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính còn đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là …….
Câu 4.
a) Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là …… của đường tròn đó.
b) Đường tròn là hình có ….. Bất kì …… nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.
Câu 5. Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là ……
Câu 6. Trong một đường tròn:
a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua …… của dây ấy.
b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây …… thì vuông góc với dây ấy.
Câu 7. Trong một đường tròn:
a) Hai dây …… thì cách đều tâm, hai dây …… thì bằng nhau.
b) Dây …… thì gần tâm hơn, dây …… thì lớn hơn.
Câu 8.
a) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó …… với bán kính đi qua ……
b) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và …… với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một …… của đường tròn.
Câu 9. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:
a) Điểm đó …… hai tiếp điểm.
b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là …… của góc tại bởi hai tiếp tuyến.
c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là …… của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Câu 10. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường …… của dây chung.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 2cm. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của ΔABC bằng
Hãy chọn phương án đúng.
Lời giải:
Khi đó bán bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là OA
Ta có:
Vậy đán án là A.
Câu 2. Xét tính đúng – sai của mỗi khẳng định sau:
Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O).
a) Nếu AC là đường kính của đường tròn thì AB vuông góc với AC.
b) Nếu AB = AC thì AO vuông góc với BC.
c) Nếu ΔABC không vuông thì điểm O nằm bên trong tam giác đó.
Lời giải:
a) Sai.
Sửa lại: Nếu AC là đường kính của đường tròn thì AB vuông góc với BC. (vì khi đó AC là cạnh huyền, AB, BC là hai cạnh góc vuông)
b) Đúng
Vì AB = AC thì tam giác ABC cân tại A
c) Đúng
Vì O là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác ABC.
Câu 3. Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp (O; R) bằng
Hãy chọn phương án đúng.
Lời giải:
Gọi tam giác đều nội tiếp (O; R) là tam giác ABC, đường cao AH
Độ dài cạnh tam giác ABC là:
Suy ra đáp án C.
Câu 4. Cho đường tròn (O) đường kính 10cm, dây AB = 6cm. Khoảng cách từ O đến AB bằng
A. 16cm B. √11 cm
C. 4cm D. 2√2 cm
Lời giải:
Gọi khoảng cách từ O đến AB là OH
Ta có:
Vậy đáp án là C.
Câu 5. Cho hình 137:
Trong đó OA = 3cm, O’A = 2cm, AM = 5cm. Độ dài AN bằng
A. 10/3 B. 3,5
C. 3 D. 4
Lời giải:
ΔOAM có OA = OM nên ΔOAM cân tại O
ΔO’AN có O’A = O’N nên ΔO’AN cân tại O
Mặt khác ∠(OAM) = ∠(O’AN) ⇒ ∠(AOM) = ∠(AO’N)
ΔOAM và ΔO’AN có: ∠(AOM) = ∠(AO’N),
⇒ ΔOAM đồng dạng với ΔO’AN
Vậy đán án là A.
Câu 6. Cho (O; R) và (O’; r). Điền vào chỗ chấm (…) của bảng sau:
| R | r | OO’ | Hệ thức giữa OO’ và R, r | Vị trí tương đối của (O) và (O’) |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 2 | … | OO’ = R – r | … |
| 4 | 2 | … | … | Tiếp xúc ngoài |
| 4 | 2 | 4,5 | … | … |
| 4 | 2 | 7 | … | … |
| 4 | 2 | 1 | … | … |
Lời giải:
| R | r | OO’ | Hệ thức giữa OO’ và R, r | Vị trí tương đối của (O) và (O’) |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 2 | OO’ = R – r | Tiếp xúc trong |
| 4 | 2 | 6 | OO’ = R + r | Tiếp xúc ngoài |
| 4 | 2 | 4,5 | R – r < OO’ < R + r | Cắt nhau |
| 4 | 2 | 7 | OO’ > R + r | Ở ngoài nhau |
| 4 | 2 | 1 | OO’ < R – r | Đựng nhau |
Câu 7. Tỉ số bán kính của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của một tam giác đều bằng:
A. 1/3 B. 1/2
C. 1/√2 D. 2
Lời giải:
Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đều trùng nhau
Giả sử tam giác đều ABC có đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp như trên hình
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r = 1/3 AH
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = 2/3 AH
Suy ra đáp án B.
Hãy chọn phương án đúng.
D. Hoạt động vận dụng
Câu 1. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Từ điểm H nằm trên AB kẻ dây CD vuông góc với AB. Gọi E, F theo thứ tự là hình chếu của H trên AC, BC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và HB. Vẽ đường tròn (I, IE) và (K, KF).
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
b) Chứng minh rằng EF = HC.
c) Chứng minh rằng CE.CA = CF.CB
d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
f) Cho AH = 4cm, HB = 9cm. Tính diện tích tứ giác IEFK.
Lời giải:
a) (I) và (O) tiếp xúc trong với nhau, (K) và (O) tiếp xúc trong với nhau, (I) và (K) tiếp xúc ngoài với nhau.
b) Tứ giác HECF có ∠(ECF) = ∠(CEF) = ∠(CFE) = 90o nên tứ giác HECF là hình chữ nhật
⇒ EF = CH (hai đường chéo).
c) Ta có: ∠(CEF) = ∠(CHF) (do HECF là hình vuông) = ∠(CBH) (cùng phụ với ∠FHB)
Tam giác vuông CEF và tam giác vuông CBA có: ∠(CEF) = ∠(CBH) nên tam giác vuông CEF đồng dạng với tam giác vuông CBA
d) Tam giác vuông AEH có EI = IH ⇒ ∠(IEH) = ∠(IHE)
Mà ∠(IHE) = ∠(ACH) (cùng phụ với ∠(CAH)) = ∠(EFH)(do HECF là hình vuông)
Mặt khác ∠(EFH) + ∠(HEF) = 90o ⇒ ∠(IEH) + ∠(HEF) = 90o ⇒ ∠(IEF) = 90o hay EI ⊥ EF (1)
Tương tự ta chứng minh được FK ⊥ EF (2)
Từ (1) và (2) ta được EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K).
e) Ta có: EF = CH ≤ CO
Suy ra EF lớn nhất khi CH lớn nhất, khi đó CH = CO hay H ≡ O
Vậy H ≡ O thì EF lớn nhất.
f)
Diện tích tứ giác IEFK là:
Câu 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AM, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng:
a) AM = EF.
b) ME.MO = MF.MO’
c) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.
d) BO cắt (O) tại G, CO’ cắt (O’) tại H. Khi đó SΔAGH = SΔABC
e) Gọi I là trung điểm của GH. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IOO’ tiếp xúc với đường thẳng BC.
Lời giải:
a) Ta có: MB = MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ ΔBAC vuông tại A.
Ta có: ∠(BMO) = ∠(AMO) (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), mặt khác Δ BMA cân ⇒ OM ⊥ AB
Tương tự ta chứng minh được O’M ⊥ AC
Suy ra ta chứng minh được tứ giác AEMF có ba góc vuông ∠(EAF) = ∠(MEA) = ∠(MFA) = 90o
⇒ tứ giác AEMF là hình chữ nhật ⇒ AM = EF (đpcm).
b) ΔMOA vuông tại A nên MA2 = ME.MO
ΔMO’A vuông tại A nên MA2 = MF.MO’
⇒ ME.MO = MF.MO’ (đpcm).
c) Tứ giác OO’CB có OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC nên tứ giác OO’CB là hình thang vuông
Ta có M là trung điểm của BC
Gọi P là trung điểm của OO’
Hình thang OO’CB có MP là đường trung bình ⇒ MP // OB // O’C ⇒ MP ⊥ BC
Hay BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.
Câu 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B (R > R’). Gọi M là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với MA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O’; R’) theo thứ tự tại C và D (khác A).
a) Chứng minh rằng AC = AD.
b) Lấy K sao cho M là trung điểm của AK. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.
c) Kẻ đường kính AE của đường tròn (O) và đường kính AF của (O’). Chứng minh rằng bốn điểm E, K, B, F thẳng hàng và OO’song song với EF.
d) Chứng minh K là trung điểm EF.
E. Hoạt động tìm tòi, mở rộng
Hình vành khuyên kì lạ
Lấy hình vành khuyên có kích thước bất kì tạo bởi hai hình tròn đồng tâm, phần màu hồng (hình 138). Bạn có chứng minh được rằng diện tích của hình vành khuyên bằng diện tích của hình tròn có đường kính là dây cung của vòng tròn lớn nhưng lại là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ?
Lời giải:
Gọi các điểm như hình vẽ
Diện tích của hình vành khuyên là: S = πR2 – πr2 = π(R2 – r2) = πHB2
Diện tích của hình tròn có đường kính là AB là S’ = πHB2
⇒ S = S’
Vậy diện tích của hình vành khuyên bằng diện tích của hình tròn có đường kính là dây cung của vòng tròn lớn nhưng lại là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ.
(Trích: Vui hơn nữa với Toán học của Theoni Pappas – NXB Dân Trí, tháng 8.2014)