Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
1. Định nghĩa
+ Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.
2. Định lý
+ Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
+ Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều.
+ Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.
3. Mở rộng
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.
+ Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh.
+ Cho n_ giác đều cạnh a. Khi đó:
– Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi).
– Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng
– Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng 360°/n.
– Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
– Bán kính đường tròn nội tiếp:
– Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:
– Diện tích đa giác đều:
4. Ví dụ cụ thể
Câu 1: Một đường tròn có bán kính R = 3cm. Tính diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn đó.
Hướng dẫn:
Ta có: Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
Do tứ giác nội tiếp là hình vuông với n = 4, khi đó: a = R√2 = 3√2.
Diện tích hình vuông là: S = a2 = (3√2)2 = 18 cm2.
B. Bài tập tự luận
Câu 1: Chứng minh rằng: Trong hình vuông, bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn lớn hơn bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
Xét hình vuông ABCD có tâm O, kẻ OM ⊥ CD (M ∈ CD)
Lúc đó OD là bán kính đường tròn ngoại tiếp, OM là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
Δ OMD vuông tại M nên OD ≥ OM (1)
Giả sử OD = OM khi đó đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp là hai đường tròn có chung tâm O và độ dài hai bán kính bằng nhau nên chúng trùng nhau.
Lúc đó không tồn tại hình vuông vừa có đỉnh trên đường tròn (O) vừa có cạnh tiếp xúc với đường tròn (O)
Do đó OD ≠ OM kết hợp với (1) ta có OD > OM (đpcm)
Câu 2: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đặt R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lục giác. Viết biểu thức liên hệ giữa R và r.
Lục giác đều ABCDEF nên chia đường tròn ngoại tiếp thành 6 cung bằng nhau, suy ra
