Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây
Bài 1 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1:
C
^
=
47
o
20
‘
. Tính hai góc
A
^
;
B
^
và cạnh c.
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin ta có:
c2 = a2 + b2 – 2abcosC = 49,42 + 26,42 – 2.49,4.26,4.cos47°20′ ≈ 1 369,6
⇒ c =
1369
,
6
≈
37
Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có
cosA =
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
=
26
,
4
2
+
37
2
−
49
,
4
2
2.26
,
4.37
≈
−
0
,
192
⇒
A
^
≈
101
o
3
‘
Tam giác ABC có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
B
^
=
180
o
−
(
A
^
+
C
^
)
=
180
o
−
(
101
o
3
‘
+
47
o
20
‘
)
=
31
o
37
‘
Vậy
A
^
≈
101
o
3
‘
;
B
^
≈
31
o
37
‘
; c ≈ 37.
Bài 2 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1:
A
^
,
B
^
,
C
^
.
Lời giải:
Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
cosA =
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
=
13
2
+
15
2
−
24
2
2.13.15
≈
−
0
,
467
⇒
A
^
≈
117
o
49
‘
cosB =
a
2
+
c
2
−
b
2
2
a
c
=
24
2
+
15
2
−
13
2
2.24.15
≈
0
,
878
⇒
B
^
≈
28
o
37
‘
Tam giác ABC có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
C
^
=
180
o
−
(
A
^
+
B
^
)
=
180
o
−
(
117
o
49
‘
+
28
o
37
‘
)
=
33
o
34
‘
Vậy
A
^
≈
117
o
49
‘
;
B
^
≈
28
o
37
‘
;
C
^
=
33
o
34
‘
.
Bài 3 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, c = 13.
a) Tam giác ABC có góc tù không?
b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C. Tính độ dài BD.
Lời giải:
a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
cosC =
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
=
8
2
+
10
2
−
13
2
2.8.10
=
−
0
,
03125
⇒
C
^
≈
91
o
47
‘
26
‘
‘
Suy ra
C
^
>
90
o
Vậy tam giác ABC là tam giác tù.
b) Do AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC, tức là MB = MC = BC : 2 = 4.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ACM ta có:
AM2 = AC2 + CM2 – 2.AC.CM.cosC = 102 + 42 – 2.10.4.cos91°47’26” = 118,5
⇒ AM ≈ 10,9.
Nửa chu vi của tam giác ABC là :
p
=
a
+
b
+
c
2
=
8
+
10
+
13
2
=
15
,
5
Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
=
15
,
5.
(
15
,
5
−
8
)
.
(
15
,
5
−
10
)
.
(
15
,
5
−
13
)
≈
40
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:
S
=
a
b
c
4
R
⇒
R
=
a
b
c
4
S
=
8.10.13
4.40
=
6
,
5
Vậy độ dài đường trung tuyến AM ≈ 10,9; diện tích tam giác ABC là 40; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,5.
c) Vì D đối xứng với A qua C nên C là trung điểm của AD.
Suy ra AD = 2AC = 2.10 = 20.
Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
cosA =
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
=
10
2
+
13
2
−
8
2
2.10.13
=
205
260
=
41
52
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABD ta có:
BD2 = AD2 + AB2 – 2.AD.AB.cosA = 202 + 132 – 2.20.13.
41
52
= 159
⇒ BD =
159
≈ 12,6.
Vậy BD ≈ 12,6.
Bài 4 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1:
A
^
=
120
o
, b = 8, c = 5. Tính:
a) Cạnh a và các góc
B
^
,
C
^
;
b) Diện tích tam giác ABC;
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.
Lời giải:
a) Áp dụng định lí côsin ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA = 82 + 52 – 2.8.5.cos120° = 129
⇒ a =
129
≈
11
,
4
.
Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
cosB =
a
2
+
c
2
−
b
2
2
a
c
=
11
,
4
2
+
5
2
−
8
2
2.11
,
4.5
≈
0
,
798
.
⇒
B
^
≈
37
o
4
‘
.
Tam giác ABC có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
C
^
=
180
o
−
(
A
^
+
B
^
)
=
180
o
−
(
120
o
+
37
o
4
‘
)
=
22
o
56
‘
Vậy a ≈ 11,4;
B
^
≈
37
o
4
‘
;
C
^
=
22
o
56
‘
.
b) Nửa chu vi tam giác ABC là :
p
=
a
+
b
+
c
2
=
11
,
4
+
8
+
5
2
=
12
,
2
Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:
S
=
12
,
2.
(
12
,
2
−
11
,
4
)
.
(
12
,
2
−
8
)
.
(
12
,
2
−
5
)
=
295
,
1
≈
17
,
2
Vậy diện tích tam giác ABC khoảng 17,2 (đơn vị diện tích).
c) Ta có diện tích tam giác ABC:
S
=
a
b
c
4
R
⇒
R
=
a
b
c
4
S
=
11
,
4.8.5
4.17
,
2
≈
6
,
6
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khoảng 6,6 (đơn vị độ dài).
Gọi ha là độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A, tức là ha = AH.
Khi đó
S
=
1
2
a
h
a
⇒
h
a
=
2
S
a
=
2.17
,
2
11
,
4
≈
3
⇒ AH = ha ≈ 3.
Vậy AH ≈ 3.
Bài 5 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD.
a) Chứng minh 2(AB2 + BC2) = AC2 + BD2.
b) Cho AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.
Lời giải:
a) Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD; AB = DC,
Và AB // CD nên
A
^
+
D
^
=
180
o
⇒
D
^
=
180
o
−
A
^
suy ra cosD = cos(180 – A)= – cosA.
Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác ABD và ADC ta có:
BD2 = AD2 + AB2 – 2.AD.AB.cosA = BC2 + AB2 – 2.BC.AB.cosA
AC2 = AD2 + DC2 – 2.AD.DC.cosD = BC2 + AB2 + 2.BC.AB.cosA
Khi đó : BD2 + AC2 = 2AB2 + 2BC2 = 2(AB2 + BC2).
Vậy 2(AB2 + BC2) = AC2 + BD2.
b) Thay AB = 4, BC = 5, BD = 7 vào biểu thức 2(AB2 + BC2) = AC2 + BD2 ta được:
2.(42 + 52) = AC2 + 72 ⇒ AC2 = 2.(42 + 52) – 72 = 33
⇒ AC =
33
≈
5
,
7
Vậy AC ≈ 5,7.
Bài 6 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 15, b = 20, c = 25.
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải:
a) Nửa chu vi tam giác ABC là :
p
=
a
+
b
+
c
2
=
15
+
20
+
25
2
=
30
Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:
S
=
30.
(
30
−
15
)
.
(
30
−
20
)
.
(
30
−
25
)
=
22500
=
150
Vậy diện tích tam giác ABC là 150 (đơn vị diện tích).
b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có diện tích tam giác ABC:
S
=
a
b
c
4
R
⇒
R
=
a
b
c
4
S
=
15.20.25
4.150
=
12
,
5
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 12,5 (đơn vị độ dài).
Bài 7 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
cotA + cotB + cotC =
R
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
a
b
c
Lời giải:
Đặt BC = a, AC = b, AB = c.
Ta có: cotA =
cos
A
sin
A
mà theo hệ quả định lí côsin ta có cosA =
b
2
+
c
2
−
a
2
2.
b
.
c
;
Vì
S
=
1
2
b
c
sin
A
⇒ sinA =
2
S
b
c
Do đó cotA =
cos
A
sin
A
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
2
S
b
c
=
b
2
+
c
2
−
a
2
4
S
Tương tự, ta có : cotB =
a
2
+
c
2
−
b
2
4
S
; cotC =
a
2
+
b
2
−
c
2
4
S
;
Suy ra: cotA + cotB + cotC =
b
2
+
c
2
−
a
2
4
S
+
a
2
+
c
2
−
b
2
4
S
+
a
2
+
b
2
−
c
2
4
S
=
a
2
+
b
2
+
c
2
4
S
Mặt khác S =
a
b
c
4
R
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Suy ra: cotA + cotB + cotC =
a
2
+
b
2
+
c
2
4
S
=
a
2
+
b
2
+
c
2
4.
a
b
c
4
R
=
R
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
a
b
c
Vậy cotA + cotB + cotC =
R
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
a
b
c
Bài 8 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370 km, 350 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là 2,1°.
Lời giải:
Gọi vị trí của vệ tinh là C. Khi đó ta có tam giác ABC có : AC = 370 km, BC = 350 km,
C
^
=
2
,
1
o
.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có :
AB2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cosC = 3702 + 3502 – 2.370.350.cos2,1° ≈ 573,9
⇒ AB =
573
,
9
≈ 24.
Vậy khoảng cách giữa hai nóc nhà A và B khoảng 24 km.
Bài 9 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1:
B
P
A
^
=
35
o
và
B
Q
A
^
=
48
o
. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.
Lời giải:
Ta có tam giác ABP và tam giác ABQ là các tam giác vuông tại B.
Trong tam giác ABP vuông tại B ta có: tan
B
P
A
^
=
A
B
P
B
=
A
B
P
Q
+
Q
B
=
A
B
300
+
Q
B
Suy ra : tan35° =
A
B
300
+
Q
B
⇒ AB = (300 + QB).tan35° (1)
Trong tam giác ABQ vuông tại B ta có: tan
B
Q
A
^
=
A
B
Q
B
Suy ra : tan48° =
A
B
Q
B
⇒ AB = QB.tan48° (2)
Từ (1) và (2) suy ra : (300 + QB).tan35° = QB.tan48°
⇒ QB =
300.
tan
35
o
tan
48
o
−
tan
35
o
≈ 511,8.
⇒ AB = QB.tan48o ≈ 511,8.tan 48° ≈ 568,4.
Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 568,4 m.
Bài 10 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1:
D
A
1
C
1
^
=
49
o
,
D
B
1
C
1
^
=
35
o
. Tính chiều cao CD của tháp.
Lời giải:
Do phương nằm ngang hợp với phương thẳng đứng của tháp góc 90° nên hai tam giác DC1A1 và DC1B1 là hai tam giác vuông tại C1.
Tam giác DC1A1 có : tan49° =
D
C
1
C
1
A
1
⇒ DC1 = C1A1tan49° (1).
Tam giác DC1B1 có : tan35° =
D
C
1
C
1
B
1
=
D
C
1
C
1
A
1
+
A
1
B
1
=
D
C
1
C
1
A
1
+
12
⇒ DC1 = (C1A1 + 12). tan35° = C1A1 tan35° + 12tan35° (2).
Từ (1) và (2) suy ra: C1A1tan49° = C1A1 tan35° + 12tan35°
⇒ C1A1 =
12
tan
35
o
tan
49
o
−
tan
35
o
≈ 18,7.
⇒ DC1 = C1A1tan49° ≈ 18,7.tan49° ≈ 21,5.
Mà DC = DC1 + C1C = 21,5 + 1,2 = 22,7.
Vậy chiều cao của tháp CD khoảng 22,7 m.