Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây
Hoạt động khám phá 1 trang 94 Toán lớp 10 Tập 1:
a
→
. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ
a
→
+
a
→
,
−
a
→
+
−
a
→
(Hình 1).
Lời giải:
+) Ta có:
A
B
=
A
B
→
=
a
→
;
B
C
=
B
C
→
=
a
→
AC = AB + BC =
a
→
+
a
→
=
2.
a
→
Có:
a
→
+
a
→
=
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
Do đó:
a
→
+
a
→
=
A
C
→
= A
C
=
2.
a
→
Vậy vectơ
a
→
+
a
→
có độ dài là
2.
a
→
và có cùng hướng với vectơ
a
→
(theo hướng đi từ trái qua phải).
+) Ta có:
D
E
=
D
E
→
=
−
a
→
=
a
→
;
E
F
=
E
F
→
=
−
a
→
=
a
→
DF = DE + EF =
a
→
+
a
→
=
2.
a
→
Có:
−
a
→
+
−
a
→
=
D
E
→
+
E
F
→
=
D
F
→
Do đó:
−
a
→
+
−
a
→
=
D
F
→
=
D
F
=
2.
a
→
Vậy vectơ
−
a
→
+
−
a
→
có độ dài là
2.
a
→
và ngược hướng với vectơ
a
→
.
Thực hành 1 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1:
a
→
,
b
→
và một điểm M như Hình 3.
a) Hãy vẽ các vectơ
M
N
→
=
3
a
→
,
M
P
→
=
−
3
b
→
.
b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính:
3
b
→
,
−
3
b
→
,
2
a
→
+
2
b
→
.
Lời giải:
a) Ta có:
M
N
→
=
3
a
→
nên vectơ
M
N
→
cùng hướng với vectơ
a
→
và có độ dài bằng
3.
a
→
.
Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ
a
→
và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ
a
→
thỏa mãn MN =
3.
a
→
Lại có:
M
P
→
=
−
3
b
→
nên vectơ
M
P
→
ngược hướng với vectơ
b
→
và có độ dài bằng
−
3
.
b
→
=
3.
b
→
.
Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ
b
→
và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ
b
→
thỏa mãn
M
P
=
3.
b
→
.
b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là
2
.
Ta có vectơ
a
→
có độ dài là
a
→
=
2
, vectơ
b
→
có độ dài là
b
→
=
2
.
Ta có:
3
b
→
=
3.
b
→
=
3.
2
=
3
2
;
−
3
b
→
=
−
3
.
b
→
=
3
2
.
Lại có:
2
a
→
+
2
b
→
=
2
a
→
+
b
→
(1).
Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với
b
→
=
B
A
→
,
a
→
=
A
C
→
.
Ta có:
a
→
+
b
→
=
A
C
→
+
B
A
→
=
B
A
→
+
A
C
→
=
B
C
→
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
2
a
→
+
2
b
→
=
2
B
C
→
.
Nên
2
a
→
+
2
b
→
=
2
B
C
→
=
2
B
C
→
=
2
B
C
.
Ta có:
B
A
C
^
=
45
°
+
90
°
=
135
°
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cosA
=
2
2
+ 22 – 2 .
2
. 2 . cos135° = 10
Suy ra BC =
10
.
Vậy
2
a
→
+
2
b
→
=
2
B
C
→
=
2
B
C
→
=
2
B
C
=
2
10
.
Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1:
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
=
3
M
G
→
.
Lời giải:
+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
=
3
M
G
→
.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
0
→
.
Với điểm M bất kì ta có:
M
A
→
=
M
G
→
+
G
A
→
,
M
B
→
=
M
G
→
+
G
B
→
,
M
C
→
=
M
G
→
+
G
C
→
.
Khi đó:
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
=
M
G
→
+
G
A
→
+
M
G
→
+
G
B
→
+
M
G
→
+
G
C
→
=
3
M
G
→
+
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
3
M
G
→
+
0
→
=
3
M
G
→
Vậy
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
=
3
M
G
→
.
+) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
=
3
M
G
→
, ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có:
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
=
3
M
G
→
⇔
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
−
3
M
G
→
=
0
→
⇔
M
A
→
−
M
G
→
+
M
B
→
−
M
G
→
+
M
C
→
−
M
G
→
=
0
→
⇔
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
0
→
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vận dụng trang 95 Toán lớp 10 Tập 1:
b
→
của tàu B theo vectơ vận tốc
a
→
của tàu A.
Lời giải:
Tàu A đi theo hướng từ đông sau tây, tàu B đi theo hướng từ tây sang đông nên hai tàu đi ngược hướng nhau. Do đó vectơ vận tốc của tàu A là
a
→
và vectơ vận tốc của tàu B là
b
→
là hai vectơ ngược hướng.
Ta có:
a
→
=
20
hải lí/giờ,
b
→
=
50
hải lí/giờ.
Suy ra:
b
→
a
→
=
50
20
=
5
2
⇒
b
→
=
5
2
a
→
.
Vì hai vectơ
a
→
và
b
→
ngược hướng và
b
→
=
5
2
a
→
.
Do vậy
b
→
=
−
5
2
a
→
.
Hoạt động khám phá 2 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1:
a
→
và
b
→
cùng phương,
b
→
khác
0
→
và cho
c
→
=
a
→
b
→
.
b
→
. So sánh độ dài và hướng của hai vectơ
a
→
và
c
→
.
Lời giải:
Vì
a
→
≥
0
,
b
→
>
0
(độ dài của vectơ và
b
→
khác
0
→
) nên .
Mà
c
→
=
a
→
b
→
.
b
→
nên vectơ
c
→
cùng hướng với vectơ
b
→
.
Do đó vectơ
c
→
cùng phương với
b
→
, mà vectơ
a
→
và
b
→
cùng phương và
b
→
khác
0
→
.
Nên hai vectơ
a
→
và
c
→
cùng phương.
Nếu hai vectơ
a
→
và
b
→
cùng hướng thì
a
→
và
c
→
cùng hướng.
Nếu hai vectơ
a
→
và
b
→
ngược hướng thì
a
→
và
c
→
ngược hướng.
Ta lại có:
c
→
=
a
→
b
→
.
b
→
=
a
→
b
→
.
b
→
=
a
→
.
Vậy hai vectơ
a
→
và
c
→
cùng độ dài và cùng hướng nếu hai vectơ
a
→
và
b
→
cùng hướng (hoặc ngược hướng nếu hai vectơ
a
→
và
b
→
ngược hướng ).
Thực hành 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1:
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
+
G
D
→
=
0
→
. Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng.
Lời giải:
Vì I là trung điểm của AB nên với điểm G bất kì ta có:
G
A
→
+
G
B
→
=
2
G
I
→
.
Vì J là trung điểm của CD nên với điểm G bất kì ta có:
G
C
→
+
G
D
→
=
2
G
J
→
.
Mà
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
+
G
D
→
=
0
→
Do đó:
2
G
I
→
+
2
G
J
→
=
0
→
⇔
2
G
I
→
+
G
J
→
=
0
→
⇔
G
I
→
+
G
J
→
=
0
→
⇔
G
I
→
=
−
G
J
→
Vậy ba điểm G, I, J thẳng hàng.
Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:
a)
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
+
M
D
→
=
4
M
O
→
;
b)
A
B
→
+
A
C
→
+
A
D
→
=
2
A
C
→
.
Lời giải:
a) O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.
Khi đó:
O
A
→
+
O
C
→
=
0
→
,
O
B
→
+
O
D
→
=
0
→
Theo quy tắc ba điểm, ta có:
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
+
M
D
→
=
M
O
→
+
O
A
→
+
M
O
→
+
O
B
→
+
M
O
→
+
O
C
→
+
M
O
→
+
O
D
→
=
4
M
O
→
+
O
A
→
+
O
C
→
+
O
B
→
+
O
D
→
=
4
M
O
→
+
0
→
+
0
→
=
4
M
O
→
Vậy
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
+
M
D
→
=
4
M
O
→
.
b) ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có:
A
B
→
+
A
D
→
=
A
C
→
.
Khi đó ta có:
A
B
→
+
A
C
→
+
A
D
→
=
A
B
→
+
A
D
→
+
A
C
→
=
A
C
→
+
A
C
→
=
2
A
C
→
.
Vậy
A
B
→
+
A
C
→
+
A
D
→
=
2
A
C
→
.
Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:
a)
A
C
→
+
B
D
→
=
2
M
N
→
;
b)
A
C
→
+
B
D
→
=
B
C
→
+
A
D
→
.
Lời giải:
a) Do M là trung điểm của AB nên
M
A
→
+
M
B
→
=
0
→
.
Do N là trung điểm của CD nên
N
C
→
+
N
D
→
=
0
→
Theo quy tắc ba điểm ta có:
A
C
→
+
B
D
→
=
M
C
→
−
M
A
→
+
M
D
→
−
M
B
→
=
M
C
→
+
M
D
→
−
M
A
→
+
M
B
→
=
M
C
→
+
M
D
→
−
0
→
=
M
C
→
+
M
D
→
=
M
N
→
+
N
C
→
+
M
N
→
+
N
D
→
=
2
M
N
→
+
N
C
→
+
N
D
→
=
2
M
N
→
+
0
→
=
2
M
N
→
Vậy
A
C
→
+
B
D
→
=
2
M
N
→
b) Ta có:
B
C
→
+
A
D
→
=
B
N
→
+
N
C
→
+
A
N
→
+
N
D
→
=
B
N
→
+
A
N
→
+
N
C
→
+
N
D
→
=
B
N
→
+
A
N
→
+
0
→
=
B
N
→
+
A
N
→
=
M
N
→
−
M
B
→
+
M
N
→
−
M
A
→
=
2
M
N
→
−
M
A
→
+
M
B
→
=
2
M
N
→
−
0
→
=
2
M
N
→
Do đó:
B
C
→
+
A
D
→
=
2
M
N
→
Mà theo câu a, ta có:
A
C
→
+
B
D
→
=
2
M
N
→
Vậy
A
C
→
+
B
D
→
=
B
C
→
+
A
D
→
.
Bài 3 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1:
M
A
→
+
4
M
B
→
=
0
→
.
Lời giải:
Ta có:
M
A
→
+
4
M
B
→
=
0
→
⇔
M
A
→
=
−
4
M
B
→
.
Suy ra ba điểm M, A, B thẳng hàng và hai vectơ
M
A
→
và
M
B
→
ngược hướng và thỏa mãn
M
A
→
=
4.
M
B
→
hay MA = 4MB.
Khi đó M, A, B thẳng hàng và M nằm giữa A và B thỏa mãn MA = 4MB.
Vậy điểm M thỏa mãn
M
A
→
+
4
M
B
→
=
0
→
là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho MA = 4MB.
Bài 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1:
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
+
M
D
→
=
4
M
G
→
.
Lời giải:
Vì E là trung điểm của AB nên với điểm G ta có:
G
A
→
+
G
B
→
=
2
G
E
→
.
Vì F là trung điểm của CD nên với điểm G ta có:
G
C
→
+
G
D
→
=
2
G
F
→
.
Mà G là trung điểm của EF nên
G
E
→
+
G
F
→
=
0
→
.
Do đó:
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
+
G
D
→
=
2
G
E
→
+
2
G
F
→
=
2
G
E
→
+
G
F
→
=
0
→
.
Với điểm M tùy ý, ta có:
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
+
M
D
→
=
M
G
→
+
G
A
→
+
M
G
→
+
G
B
→
+
M
G
→
+
G
C
→
+
M
G
→
+
G
D
→
=
4
M
G
→
+
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
+
G
D
→
=
4
M
G
→
+
0
→
=
4
M
G
→
Vậy
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
+
M
D
→
=
4
M
G
→
.
Bài 5 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1:
b
→
của máy bay B theo vectơ vận tốc
a
→
của máy bay A.
Lời giải:
Quan sát bản đồ về hướng sau:
Ta thấy hướng đông bắc ngược hướng với hướng tây nam.
Do đó vectơ vận tốc
b
→
của máy bay B ngược hướng với vectơ vận tốc
a
→
của máy bay A. (1)
Theo bài ra ta có:
a
→
=
600
km/h,
b
→
=
800
km/h.
Suy ra:
b
→
a
→
=
800
600
=
4
3
⇒
b
→
=
4
3
.
a
→
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
b
→
=
−
4
3
a
→
.
Bài 6 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Xác định điểm O sao cho
O
A
→
+
3
O
B
→
=
0
→
.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có
M
A
→
+
3
M
B
→
=
4
M
O
→
.
Lời giải:
a) Ta có:
O
A
→
+
3
O
B
→
=
0
→
⇔
O
A
→
=
−
3
O
B
→
Do đó ba điểm A, O, B thẳng hàng và hai vectơ
O
A
→
và
O
B
→
ngược hướng thỏa mãn
O
A
→
=
3.
O
B
→
.
Khi đó O nằm trên đoạn thẳng AB thỏa mãn OA = 3OB.
b) Với điểm M bất kì ta có:
M
A
→
+
3
M
B
→
=
M
O
→
+
O
A
→
+
3
M
O
→
+
O
B
→
=
M
O
→
+
O
A
→
+
3
M
O
→
+
3
O
B
→
=
4
M
O
→
+
O
A
→
+
3
O
B
→
=
4
M
O
→
+
0
→
=
4
M
O
→
Vậy với mọi điểm M bất kì ta có
M
A
→
+
3
M
B
→
=
4
M
O
→
.
Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.
a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn:
M
B
→
=
1
2
B
C
→
,
A
N
→
=
3
N
B
→
,
C
P
→
=
P
A
→
.
b) Biểu thị mỗi vectơ
M
N
→
,
M
P
→
theo hai vectơ
B
C
→
,
B
A
→
.
c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Lời giải:
a) Ta có:
M
B
→
=
1
2
B
C
→
nên ba điểm M, B, C thẳng hàng và vectơ
M
B
→
cùng hướng với vectơ
B
C
→
sao cho
M
B
→
=
1
2
.
B
C
→
hay MB =
1
2
BC.
Lại có:
A
N
→
=
3
N
B
→
nên ba điểm A, N, B thẳng hàng và vectơ
A
N
→
cùng hướng với vectơ
N
B
→
sao cho
A
N
→
=
3
N
B
→
hay AN = 3NB.
Có:
C
P
→
=
P
A
→
⇔
P
A
→
−
C
P
→
=
0
→
⇔
P
A
→
+
−
C
P
→
=
0
→
⇔
P
A
→
+
P
C
→
=
0
→
⇔ P là trung điểm của đoạn thẳng AC.
b) Vì AN = 3NB nên BN =
1
4
BA, do đó:
B
N
→
=
1
4
B
A
→
.
Ta có:
M
N
→
=
M
B
→
+
B
N
→
=
1
2
B
C
→
+
1
4
B
A
→
.
Vì MB =
1
2
BC nên
M
C
=
3
2
B
C
, do đó:
M
C
→
=
3
2
B
C
→
.
P là trung điểm của AC nên
C
P
→
=
1
2
C
A
→
.
Nên ta có:
M
P
→
=
M
C
→
+
C
P
→
=
3
2
B
C
→
+
1
2
C
A
→
=
3
2
B
C
→
+
1
2
B
A
→
−
B
C
→
=
3
2
−
1
2
B
C
→
+
1
2
B
A
→
=
B
C
→
+
1
2
B
A
→
Vậy
M
N
→
=
1
2
B
C
→
+
1
4
B
A
→
và
M
P
→
=
B
C
→
+
1
2
B
A
→
.
c) Theo câu b ta có:
M
N
→
=
1
2
B
C
→
+
1
4
B
A
→
=
1
2
B
C
→
+
1
2
B
A
→
=
1
2
M
P
→
Do đó:
M
N
→
=
1
2
M
P
→
Từ đó suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng.