Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây
Hoạt động khám phá 1 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Tính
I
D
C
^
.
b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.
c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng
I
B
→
và
A
B
→
.
Lời giải:
a) Vì ABCD là hình vuông nên đường chéo DB cũng là phân giác của góc ADC.
Suy ra:
B
D
C
^
=
1
2
A
D
C
^
=
1
2
.90
°
=
45
°
.
Do đó:
I
D
C
^
=
B
D
C
^
=
45
°
.
b) Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là I là vectơ
D
I
→
.
Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là C là vectơ
D
C
→
.
c) I là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD nên I là trung điểm của BD và AC.
Vì I là trung điểm của BD nên
D
I
→
=
I
B
→
.
Vì AB // DC và AB = DC nên
D
C
→
=
A
B
→
.
Vậy hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng
I
B
→
và
A
B
→
là các vectơ
D
I
→
và
D
C
→
.
Thực hành 1 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
→
,
A
C
→
,
A
B
→
,
B
C
→
,
A
H
→
,
B
C
→
,
B
H
→
,
B
C
→
,
H
B
→
,
B
C
→
.
Lời giải:
Tam giác ABC đều có H là trung điểm BC nên AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.
+ Ta có:
A
B
→
,
A
C
→
=
B
A
C
^
=
60
°
(tam giác ABC đều).
+ Qua A kẻ đường thẳng song song với BC về phía C, lấy điểm D sao cho AD = BC.
Khi đó ta có
B
C
→
=
A
D
→
.
Suy ra:
A
B
→
,
B
C
→
=
A
B
→
,
A
D
→
=
B
A
D
^
.
Lại có:
C
A
D
^
=
A
C
B
^
=
60
°
(AD // BC, hai góc so le trong)
Nên
B
A
D
^
=
B
A
C
^
+
C
A
D
^
=
60
°
+
60
°
=
120
°
.
Do đó:
A
B
→
,
B
C
→
=
A
B
→
,
A
D
→
=
B
A
D
^
=
120
°
.
+ Do AH vuông góc với BC nên
A
H
→
⊥
B
C
→
, do đó
A
H
→
,
B
C
→
=
90
°
.
+ Do hai vectơ
B
H
→
và
B
C
→
cùng hướng nên
B
H
→
,
B
C
→
=
0
°
.
+ Do hai vectơ
H
B
→
và
B
C
→
ngược hướng nên
H
B
→
,
B
C
→
=
180
°
.
Hoạt động khám phá 2 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1:
F
→
có cường độ 10N kéo môt chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực
F
→
, biết rằng góc giữa vectơ
F
→
và hướng di chuyển là 45°. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực
F
→
, độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ
F
→
và độ dịch chuyển
d
→
).
Lời giải:
Cường độ của lực
F
→
là 10 N.
Độ dài quãng đường là 100 m.
Góc giữa hai vectơ
F
→
và độ dịch chuyển
d
→
là 45°.
Vậy công sinh bởi lực
F
→
là:
A = 10 . 100 . cos45° =
500
2
(J).
Thực hành 2 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1:
2
. Tính các tích vô hướng:
A
B
→
.
A
C
→
,
A
C
→
.
B
C
→
,
B
A
→
.
B
C
→
.
Lời giải:
Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC, BC =
2
và
A
B
C
^
=
A
C
B
^
=
45
°
.
Đặt AB = AC = a > 0.
Theo định lí Pytahgore ta có: BC2 = AB2 + AC2
Suy ra:
2
2
=
a
2
+
a
2
⇔
2
a
2
=
2
⇔
a
2
=
1
⇒
a
=
1
.
Do đó: AB = AC = 1.
+ Ta có:
A
B
→
.
A
C
→
=
A
B
→
.
A
C
→
.
c
o
s
A
B
→
,
A
C
→
=
A
B
.
A
C
.
c
o
s
B
A
C
^
= 1 . 1 . cos90° = 0.
+ Có:
A
C
→
.
B
C
→
=
−
C
A
→
.
−
C
B
→
=
C
A
→
.
C
B
→
=
C
A
→
.
C
B
→
.
c
o
s
C
A
→
,
C
B
→
=
C
A
.
C
B
.
c
o
s
A
C
B
^
= 1 .
2
. cos45° = 1.
+ Và
B
A
→
.
B
C
→
=
B
A
→
.
B
C
→
.
c
o
s
B
A
→
,
B
C
→
=
B
A
.
B
C
.
c
o
s
A
B
C
^
=
1.
2
.
cos
45
°
=
1
.
Thực hành 3 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1:
a
→
và
b
→
có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là
12
2
. Tính góc giữa hai vectơ
a
→
và
b
→
.
Lời giải:
Ta có:
a
→
=
3
,
b
→
=
8
,
a
→
.
b
→
=
12
2
.
Mà
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
.
c
o
s
a
→
,
b
→
Suy ra:
c
o
s
a
→
,
b
→
=
a
→
.
b
→
a
→
.
b
→
=
12
2
3.8
=
2
2
.
Do đó:
a
→
,
b
→
=
45
°
.
Vậy góc giữa hai vectơ
a
→
và
b
→
là 45°.
Vận dụng 1 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1:
F
→
có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với
F
→
. Tính công sinh bởi lực
F
→
.
Lời giải:
Vì lực
F
→
cùng hướng với hướng dịch chuyển của vật nên góc tạo bởi lực
F
→
và hướng dịch chuyển là 0°.
Vậy công sinh bởi lực F là:
A = 20 . 50 . cos0° = 1000 (J).
Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1:
i
→
,
j
→
vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.
a) Tính:
i
→
+
j
→
2
;
i
→
−
j
→
2
;
i
→
+
j
→
.
i
→
−
j
→
.
b) Cho
a
→
=
2
i
→
+
2
j
→
,
b
→
=
3
i
→
−
3
j
→
. Tính tích vô hướng
a
→
.
b
→
và tính góc
a
→
,
b
→
.
Lời giải:
Hai vectơ
i
→
,
j
→
vuông góc nên
i
→
,
j
→
=
90
°
.
Ta có:
i
→
.
j
→
=
i
→
.
j
→
.
c
o
s
i
→
,
j
→
=
1.1.
c
o
s
90
°
=
0
.
a)
i
→
+
j
→
2
=
i
→
2
+
2
i
→
.
j
→
+
j
→
2
=
i
→
2
+
2
i
→
.
j
→
+
j
→
2
= 12 + 2 . 0 + 12 = 2.
i
→
−
j
→
2
=
i
→
2
−
2
i
→
.
j
→
+
j
→
2
=
i
→
2
−
2
i
→
.
j
→
+
j
→
2
= 12 – 2 . 0 + 12 = 2.
i
→
+
j
→
.
i
→
−
j
→
=
i
→
2
−
j
→
2
=
i
→
2
−
j
→
2
=
1
2
−
1
2
=
0
b) Ta có:
a
→
.
b
→
=
2
i
→
+
2
j
→
.
3
i
→
−
3
j
→
=
2
i
→
+
j
→
.3
i
→
−
j
→
=
6.
i
→
+
j
→
.
i
→
−
j
→
=
6.0
=
0
.
Do đó
a
→
.
b
→
=
0
⇔
a
→
⊥
b
→
.
Vậy
a
→
,
b
→
=
90
°
.
Vận dụng 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1:
O
S
O
^
gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ
μ
1
→
và
μ
2
→
có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng
μ
→
=
μ
1
→
+
μ
2
→
được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO2. Tính độ dài của
μ
→
.
Lời giải:
Theo bài ra ta có:
μ
1
→
=
μ
2
→
=
1
,
6
;
μ
1
→
,
μ
2
→
=
O
S
O
^
=
120
°
.
Do đó:
μ
1
→
.
μ
2
→
=
μ
1
→
.
μ
2
→
.
c
o
s
μ
1
→
,
μ
2
→
= 1,6 . 1,6 . cos120° = – 1,28.
Vì
μ
→
=
μ
1
→
+
μ
2
→
nên để tính độ dài của
μ
→
, ta tính độ dài của vectơ tổng
μ
1
→
+
μ
2
→
.
Ta có:
μ
1
→
+
μ
2
→
2
=
μ
1
→
2
+
2
μ
1
→
.
μ
2
→
+
μ
2
→
2
=
μ
1
→
2
+
2
μ
1
→
.
μ
2
→
+
μ
2
→
2
= 1,62 + 2 . (– 1,28) + 1,62 = 2,56
Suy ra
μ
1
→
+
μ
2
→
2
=
μ
1
→
+
μ
2
→
2
=
2
,
56
⇒
μ
1
→
+
μ
2
→
=
1
,
6
.
Vậy
μ
→
=
μ
1
→
+
μ
2
→
=
1
,
6
.
Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
→
.
A
D
→
,
A
B
→
.
A
C
→
,
A
C
→
.
C
B
→
,
A
C
→
.
B
D
→
.
Lời giải:
Vì ABCD là hình vuông nên
B
A
D
^
=
90
°
,
B
A
C
^
=
1
2
B
A
D
^
=
45
°
,
A
C
B
^
=
45
°
, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
AC = BD =
a
2
+
a
2
=
a
2
.
+)
A
B
→
.
A
D
→
=
A
B
→
.
A
D
→
.
c
o
s
A
B
→
,
A
D
→
=
A
B
.
A
D
.
cos
B
A
D
^
= a . a . cos90° = 0.
+)
A
B
→
.
A
C
→
=
A
B
→
.
A
C
→
.
c
o
s
A
B
→
,
A
C
→
=
A
B
.
A
C
.
c
o
s
B
A
C
^
=
a
.
a
2
.
c
o
s
45
°
=
a
2
.
+)
A
C
→
.
C
B
→
=
−
C
A
→
.
C
B
→
=
−
C
A
→
.
C
B
→
=
−
C
A
→
.
C
B
→
.
c
o
s
C
A
→
,
C
B
→
=
−
C
A
.
C
B
.
cos
A
C
B
^
=
−
a
2
.
a
.
c
o
s
45
°
=
−
a
2
+) Do AC và BD vuông góc với nhau nên
A
C
→
⊥
B
D
→
, do đó:
A
C
→
.
B
D
→
=
0
.
Bài 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:
a)
A
B
→
.
A
O
→
;
b)
A
B
→
.
A
D
→
.
Lời giải:
Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = a, CD = AB = 2a, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = (2a)2 + a2 = 5a2
⇒
A
C
=
a
5
.
Do đó:
B
D
=
A
C
=
a
5
.
Suy ra:
A
O
=
1
2
A
C
=
1
2
.
a
5
=
a
5
2
.
Ta có:
co
s
B
A
O
^
= co
s
B
A
C
^
=
A
B
A
C
=
2
a
a
5
=
2
5
a)
A
B
→
.
A
O
→
=
A
B
→
.
A
O
→
.
c
o
s
A
B
→
,
A
O
→
=
A
B
.
A
O
.
cos
B
A
O
^
=
2
a
.
a
5
2
.
2
5
=
2
a
2
b)
A
B
→
.
A
D
→
=
A
B
→
.
A
D
→
.
c
o
s
A
B
→
,
A
D
→
=
A
B
.
A
D
.
c
o
s
B
A
D
^
= 2a . a . cos90° = 0.
Bài 3 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1:
O
A
→
.
O
B
→
trong hai trường hợp:
a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;
b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.
Lời giải:
a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB
Khi đó hai vectơ
O
A
→
và
O
B
→
cùng hướng nên
O
A
→
,
O
B
→
=
0
°
.
Do đó:
O
A
→
.
O
B
→
=
O
A
→
.
O
B
→
.
c
o
s
O
A
→
,
O
B
→
=
a
.
b
.
c
o
s
0
°
=
a
b
.
b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB
Khi đó hai vectơ
O
A
→
và
O
B
→
ngược hướng nên
O
A
→
,
O
B
→
=
180
°
.
Do đó:
O
A
→
.
O
B
→
=
O
A
→
.
O
B
→
.
c
o
s
O
A
→
,
O
B
→
=
a
.
b
.
c
o
s
180
°
=
−
a
b
.
Bài 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1:
M
A
→
.
M
B
→
=
M
O
2
−
O
A
2
.
Lời giải:
Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và
O
A
→
+
O
B
→
=
0
→
.
Do hai vectơ
O
A
→
và
O
B
→
ngược hướng nên
O
A
→
,
O
B
→
=
180
°
.
Do đó:
O
A
→
.
O
B
→
=
O
A
→
.
O
B
→
.
c
o
s
O
A
→
,
O
B
→
=
O
A
.
O
B
.
c
o
s
180
°
=
−
O
A
.
O
A
=
−
O
A
2
Với điểm M tùy ý ta có:
M
A
→
.
M
B
→
=
M
O
→
+
O
A
→
.
M
O
→
+
O
B
→
=
M
O
→
2
+
M
O
→
.
O
B
→
+
O
A
→
.
M
O
→
+
O
A
→
.
O
B
→
=
M
O
→
2
+
O
A
→
+
O
B
→
.
M
O
→
+
O
A
→
.
O
B
→
=
M
O
2
+
0
→
.
M
O
→
+
−
O
A
2
=
M
O
2
−
O
A
2
Vậy
M
A
→
.
M
B
→
=
M
O
2
−
O
A
2
.
Bài 5 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1:
F
→
có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực
F
→
hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực
F
→
.
Lời giải:
Lực
F
→
có độ lớn là 90 N.
Quãng đường dịch chuyển của vật là 100 m.
Góc tạo bởi lực
F
→
với hướng dịch chuyển là 60°.
Vây công sinh bởi lực
F
→
là:
A = 90 . 100 . cos60° = 4500 (J).
Bài 6 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải:
Giả sử hai vectơ đề bài cho là
a
→
và
b
→
.
Theo bài ra ta có:
a
→
=
3
,
b
→
=
4
,
a
→
.
b
→
=
−
6
.
Ta có:
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
.
c
o
s
a
→
,
b
→
Suy ra:
c
o
s
a
→
,
b
→
=
a
→
.
b
→
a
→
.
b
→
=
−
6
3.4
=
−
1
2
.
Vậy
a
→
,
b
→
=
120
°
.