Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây
Khám phá 1 trang 50 Chuyên đề Toán 10:
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
và điểm M(x0; y0) nằm trên (H). Các điểm M1(–x0; y0), M2(x0; –y0), M3(–x0; –y0) có thuộc (H) không?
Lời giải:
Nếu điểm M(x0; y0) thuộc (H) thì ta có:
x
0
2
a
2
–
y
0
2
b
2
=
1
.
Ta có:
x
0
2
a
2
–
(
–
y
0
)
2
b
2
=
(
–
x
0
)
2
a
2
–
y
0
2
b
2
=
(
–
x
0
)
2
a
2
–
(
–
y
0
)
2
b
2
=
x
0
2
a
2
–
y
0
2
b
2
=
1
nên các điểm có toạ độ M1(–x0; y0), M2(x0; –y0), M3(–x0; –y0) cũng thuộc (H).
Thực hành 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10:
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
Hypebol kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6, suy ra 2a = 8, 2b = 6, suy ra a = 4 và b = 3.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
16
–
y
2
9
=
1
.
Có c2 = a2 + b2 = 42 + 32 = 25, suy ra c = 5.
Toạ độ các đỉnh của hypebol là A1(–4; 0) và A2(4; 0).
Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F1(–5; 0) và F2(5; 0).
Tiêu cự của hypebol là 2c = 10.
Độ dài trục thực là 2a = 8, độ dài trục ảo là 2b = 6.
Vận dụng 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10:
x
2
400
–
y
2
100
=
1
.
Lời giải:
Khi x = 40 thì
40
2
400
–
y
2
100
=
1
⇒
y
2
100
=
3
⇒
y
2
=
300
⇒
[
y
=
10
3
y
=
–
10
3
⇒
Bề rộng của thảm nhiễu là
20
3
(mile)
⇒
Cao độ của máy bay là
20
3
5
=
4
3
≈ 6,93 (mlie)
Vậy cao độ của máy bay là khoảng 6,93 dặm.
Khám phá 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10:
(
H
)
:
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
a) Chứng minh rằng F1M2 – F2M2 = 4cx.
b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A1(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF2 – MF1 = 2a đã biết để chứng minh
F
2
+
M
F
1
=
–
2
c
x
a
. Từ đó, chứng minh các công thức:
F
1
=
–
a
–
c
a
x
;
F
2
=
a
–
c
a
x
.
c) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A2(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF1 – MF2 = 2a đã biết để chứng minh
F
2
+
M
F
1
=
2
c
x
a
. Từ đó, chứng minh các công thức:
F
1
=
a
+
c
a
x
;
F
2
=
–
a
+
c
a
x
.
Lời giải:
a) F1M2 = [x – (– c)]2 + (y – 0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2;
F2M2 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2.
F1M2 – F2M2 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx.
b) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx
⇒
(MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx
⇒
(MF1 + MF2)(–2a) = 4cx
⇒
MF1 + MF2 =
4
c
x
2
a
= –
2
c
a
x. Khi đó:
(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = –
2
c
a
x
+ (–2a)
⇒
2MF1 = –
2
c
a
x
– 2a
⇒
MF1 =
–
(
c
a
x
+
a
)
=
–
a
–
c
a
x
.
(MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = –
2
c
a
x
– (–2a)
⇒
2MF2 = –
2
c
a
x
+ 2a
⇒
MF2 = a –
c
a
x.
c) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx
⇒
(MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx
⇒
(MF1 + MF2)2a = 4cx
⇒
MF1 + MF2 =
4
c
x
2
a
=
2
c
a
x
. Khi đó:
(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) =
2
c
a
x
+ 2a
⇒
2MF1 =
2
c
a
x
+ 2a
⇒
MF1 = a +
c
a
x.
(MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) =
2
c
a
x
– 2a
⇒
2MF2 =
2
c
a
x
– 2a
⇒
MF2 = – a +
c
a
x.
Thực hành 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10:
(
H
)
:
x
2
64
–
y
2
36
=
1
Lời giải:
Có a2 = 64, b2 = 36, suy ra a = 8, b = 6, c =
a
2
+
b
2
=
64
+
36
=
100
=
10
.
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là:
MF1 =
|
a
+
c
a
x
|
=
|
8
+
10
8
x
|
=
|
8
+
5
4
x
|
;
MF2 =
|
a
–
c
a
x
|
=
|
8
–
10
8
x
|
=
|
8
–
5
4
x
|
.
Vận dụng 2 trang 53 Chuyên đề Toán 10:
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
Lời giải:
Độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A2(a; 0) là:
A2F1 =
|
a
+
c
a
x
|
=
|
a
+
c
a
a
|
=
|
a
+
c
|
=
a
+
c
(vì a + c > 0 );
A2F2 =
|
a
–
c
a
x
|
=
|
a
–
c
a
a
|
=
|
a
–
c
|
=
c
–
a
(vì a – c < 0).
Khám phá 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:
(
H
)
:
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
. Chứng tỏ rằng
c
a
>
1
Lời giải:
Có
c
a
=
a
2
+
b
2
a
=
a
2
+
b
2
a
2
=
1
+
b
2
a
2
>
1
=
1
.
Thực hành 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:
a)
(
H
1
)
:
x
2
4
–
y
2
1
=
1
;
b)
(
H
2
)
:
x
2
9
–
y
2
25
=
1
;
c)
(
H
3
)
:
x
2
3
–
y
2
3
=
1
.
Lời giải:
a) Có a2 = 4, b2 = 1, suy ra a = 2, b = 1, c =
a
2
+
b
2
=
4
+
1
=
5
⇒
tâm sai của hypebol là e =
c
a
=
5
2
.
b) Có a2 = 9, b2 = 25, suy ra a = 3, b = 5, c =
a
2
+
b
2
=
9
+
25
=
31
⇒
tâm sai của hypebol là e =
c
a
=
31
3
.
c) Có a2 = 3, b2 = 3, suy ra a =
3
b =
3
c =
a
2
+
b
2
=
3
+
3
=
6
⇒
tâm sai của hypebol là e =
c
a
=
6
3
=
2
.
Vận dụng 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:
2
. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau
Lời giải:
Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
Hypebol (H) có tâm sai bằng
2
⇒
c
a
=
2
⇒
a
2
+
b
2
a
=
2
⇒
a
2
+
b
2
a
2
=
2
⇒
a
2
+
b
2
=
2
a
2
⇒
a
2
=
b
2
⇒
a
=
b
⇒
2
a
=
2
b
.
Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.
Vận dụng 4 trang 53 Chuyên đề Toán 10:
a) Lập phương trình chính tắc của (H).
b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.
Lời giải:
a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tiêu điểm F2 của (H) trùng với tâm Mặt Trời, trục Ox đi qua đỉnh và tiêu điểm này của (H), đơn vị trên các trục là km.
Gọi phương trình chính tắc của (H) là
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
Gọi toạ độ của vật thể là M(x; y).
Áp dụng công thức bán kính qua tiêu, ta có: khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là MF2 =
|
a
–
c
a
x
|
=
|
a
–
e
x
|
= ex – a ≥ ea – a (vì vật thể nằm ở nhánh bên phải trục Ox nên x ≥ a).
Như vậy khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là ea – a
⇒
ea – a = 2 . 108
⇒
1,2a – a = 2 . 108
⇒
a = 109
⇒
c = ea = 1,2 . 109
⇒
b
2
=
c
2
–
a
2
=
(
1
,
2.10
9
)
2
–
(
10
9
)
2
=
0
,
44.10
18
.
Vậy phương trình chính tắc của (H) là
x
2
10
18
–
y
2
0
,
44.10
18
=
1
.
b) Bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ là:
MF2 =
|
a
–
c
a
x
|
=
|
a
–
e
x
|
= |109 – 1,2x| (km).
Khám phá 4 trang 54 Chuyên đề Toán 10:
(
H
)
:
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
và hai đường thẳng
∆
1
:
x
+
a
e
=
0
;
∆
2
:
x
–
a
e
=
0
(Hình 7)
Gọi d(M; Δ1), d(M; Δ2) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng Δ1, Δ2.
Ta có:
M
F
1
d
(
M
;
∆
1
)
=
|
a
+
e
x
|
|
x
+
a
e
|
=
|
a
+
e
x
|
|
a
+
e
x
|
e
=
e
.
Dựa theo cách tính trên, tính
M
F
2
d
(
M
;
Δ
2
)
.
Lời giải:
Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng:
x
+
0
y
–
a
e
=
0
.
Với mỗi điểm M(x; y) thuộc hypebol, ta có:
d
(
M
,
∆
2
)
=
x
+
0
y
–
a
e
1
2
+
0
2
=
x
–
a
e
suy ra
M
F
2
d
(
M
,
Δ
2
)
=
|
a
–
e
x
|
|
x
–
a
e
|
=
|
a
–
e
x
|
|
x
e
–
a
e
|
=
e
.
Thực hành 4 trang 55 Chuyên đề Toán 10:
a)
(
H
1
)
:
x
2
4
–
y
2
1
=
1
b)
(
H
2
)
:
x
2
36
–
y
2
64
=
1
c)
(
H
3
)
:
x
2
9
–
y
2
9
=
1
.
Lời giải:
a) Có a2 = 4, b2 = 1, suy ra c =
a
2
+
b
2
=
4
+
1
=
5
⇒
Hai tiêu điểm của hypebol là
F
1
(
–
5
;
0
)
và
F
2
(
5
;
0
)
.
Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là
∆
1
:
x
+
a
e
=
0
⇔
x
+
a
2
c
=
0
⇔
x
+
4
5
=
0
.
Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là
∆
1
:
x
+
a
e
=
0
⇔
x
+
a
2
c
=
0
⇔
x
+
4
5
=
0
.
b) Có a2 = 36, b2 = 64, suy ra c =
a
2
+
b
2
=
36
+
64
=
10
⇒
Hai tiêu điểm của hypebol là
F
1
(
–
10
;
0
)
và
F
2
(
10
;
0
)
.
Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là
∆
1
:
x
–
a
e
=
0
⇔
x
–
a
2
c
=
0
⇔
x
–
36
10
=
0
⇔
x
–
18
5
=
0
.
Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là
∆
1
:
x
–
a
e
=
0
⇔
x
–
a
2
c
=
0
⇔
x
–
36
10
=
0
⇔
x
–
18
5
=
0
.
c) Có a2 = 9, b2 = 9, suy ra c =
a
2
+
b
2
=
9
+
9
=
3
2
⇒
Hai tiêu điểm của hypebol là
F
1
(
–
3
2
;
0
)
và
F
2
(
3
2
;
0
)
.
Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là
∆
1
:
x
+
a
e
=
0
⇔
x
+
a
2
c
=
0
⇔
x
+
9
3
2
=
0
⇔
x
+
3
2
=
0
.
Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là
∆
1
:
x
–
a
e
=
0
⇔
x
–
a
2
c
=
0
⇔
x
–
9
3
2
=
0
⇔
x
–
3
2
=
0
.
Vận dụng 5 trang 55 Chuyên đề Toán 10:
288
13
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
+) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 26, suy ra c = 13.
+) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng
288
13
, suy ra
2
a
e
=
288
13
⇒
a
e
=
144
13
⇒
a
2
c
=
144
13
⇒
a
2
13
=
144
13
⇒
a
2
=
144
⇒
b
2
=
c
2
–
a
2
=
13
2
–
144
=
25
.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
144
–
y
2
25
=
1
.
Bài 1 trang 55 Chuyên đề Toán 10:
(
H
)
:
x
2
144
–
y
2
25
=
1
a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm
(
13
;
25
12
)
trên (H).
b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.
c) Tìm điểm N(x; y) ∈ (H) sao cho NF1 = 2NF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (H).
Lời giải:
a) Có a2 = 144, b2 = 25
⇒
a = 12, b = 5,
c
=
a
2
+
b
2
=
13
.
Tâm sau của (H) là e =
c
a
=
13
12
.
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M
(
13
;
25
12
)
là:
MF1 =
|
a
+
c
a
x
|
=
|
12
+
13
12
.13
|
=
313
12
;
MF2 =
|
a
–
c
a
x
|
=
|
12
–
13
12
.13
|
=
25
12
.
b) Hai tiêu điểm của hypebol là F1(–13; 0) và F2(13; 0).
Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là
∆
1
:
x
+
a
e
=
0
⇔
x
+
a
2
c
=
0
⇔
x
+
144
13
=
0
.
Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là
∆
1
:
x
–
a
e
=
0
⇔
x
–
a
2
c
=
0
⇔
x
–
144
13
=
0
.
c) NF1 =
|
a
+
c
a
x
|
;
NF2 =
|
a
–
c
a
x
|
.
NF1 = 2NF2
⇔
|
a
+
c
a
x
|
=
2
|
a
–
c
a
x
|
⇔
[
a
+
c
a
x
=
2
(
a
–
c
a
x
)
a
+
c
a
x
=
2
(
c
a
x
–
a
)
⇔
[
a
=
3
c
a
x
3
a
=
c
a
x
⇔
[
x
=
a
2
3
c
=
144
3.13
=
48
13
x
=
3
a
2
c
=
3.144
13
=
432
13
.
+) x =
48
13
loại vì 0 < x < a.
+) x =
432
13
thì
(
432
13
)
2
144
–
y
2
25
=
1
⇒
y
2
=
32400
169
⇒
[
y
=
180
13
y
=
–
180
13
.
Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là N1
(
432
13
;
180
13
)
và N2
(
432
13
;
–
180
13
)
.
Bài 2 trang 55 Chuyên đề Toán 10:
36
5
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
+) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 20, suy ra c = 10.
+) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng
36
5
, suy ra
2
a
e
=
36
5
⇒
a
e
=
18
5
⇒
a
2
c
=
18
5
⇒
a
2
10
=
18
5
⇒
a
2
=
36
⇒
b
2
=
c
2
–
a
2
=
10
2
–
36
=
64
.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
36
–
y
2
64
=
1
.
Bài 3 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Cho đường tròn (C) tâm F1, bán kính r và một điểm F2 thoả mãn F1F2 = 4r
a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).
b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).
Lời giải:
a) Gọi (C’; r’) là đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C);
I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C).
Vì F2 nằm ngoài (C) nên (C’) tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C’) tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C’).
+) Nếu (C’) tiếp xúc ngoài với (C) thì r’ + r = IF1
⇒
IF2 + r = IF1
⇒
IF1 – IF2 = r
+) Nếu (C’) tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C’) thì r’ – r = IF1
⇒
IF2 – r = IF1
⇒
IF2 – IF1 = r.
Vậy ta luôn có |IF2 – IF1| = r trong cả hai trường hợp
⇒
I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F1, F2 và độ dài trục thực là r.
b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F1F2 và F1, F2 đều nằm trên trục Ox.
Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
Khi đó ta có 2a = r, suy ra a =
r
2
F1F2 = 4r, suy ra c = 2r, suy ra
b
2
=
c
2
–
a
2
=
(
2
r
)
2
–
(
r
2
)
2
=
15
r
2
4
.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là
x
2
r
2
4
–
y
2
15
r
2
4
=
1
.
Bài 4 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km, vận tốc sóng vô tuyến là 300000 km/s và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012 s (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu.
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với tiêu điểm của F1F2, đơn vị trên các trục là km.
Giả sử phương trình chính tắc của (H) là
x
2
a
2
–
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
Gọi t1 là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F1; t2 là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F2, v là vận tốc sóng vô tuyến.
Theo đề bài ta có: |t1 – t2| = 0,0012
⇒
|vt1 – vt2| = 0,0012v = 0,0012 . 300000 = 360 (km)
⇒
|MF1 – MF2| = 360 với mọi vị trí của M
⇒
2a = 360
⇒
a = 180.
Có khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km
⇒
2c = 600
⇒
c = 300
⇒
b
2
=
c
2
–
a
2
=
300
2
–
180
2
=
57600
.
Vậy phương trình chính tắc của (H) là
x
2
32400
–
y
2
57600
=
1
.