Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Cánh Diều: tại đây
Câu hỏi khởi động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1:
v
1
→
,
v
2
→
.
Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc
v
1
→
,
v
2
→
là như thế nào?
Lời giải:
Qua bài học này, chúng ta sẽ biết được hai vectơ vận tốc
v
1
→
,
v
2
→
cùng phương với nhau và liên hệ với nhau theo công thức:
v
1
→
=
k
v
2
→
với
v
1
→
,
v
2
→
là các vectơ khác
0
→
và số thực k ≠ 0.
Hoạt động 1 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1:
Chứng tỏ rằng
A
C
→
=
A
B
→
+
A
B
→
.
Lời giải:
Do B là trung điểm của AC nên
A
B
→
=
B
C
→
Khi đó ta có:
A
C
→
=
A
B
→
+
B
C
→
=
A
B
→
+
A
B
→
Hoạt động 2 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
→
và
A
C
→
, nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ
2
A
B
→
với
A
B
→
.
Lời giải:
Từ hoạt động 1, ta có:
A
C
→
=
A
B
→
+
A
B
→
=
2
A
B
→
Do đó độ dài vectơ
2
A
B
→
bằng độ dài vectơ
A
C
→
và vectơ
2
A
B
→
cùng hướng với vectơ .
Theo quan sát trên Hình 59 ta thấy, đoạn thẳng AC dài 6 ô, còn đoạn thẳng AB dài 3 ô. Suy ra độ dài đoạn thẳng AC bằng 2 lần độ dài đoạn thẳng AB. Do đó ta có AC = 2AB hay
A
C
→
=
2
A
B
→
và vectơ
A
B
→
cùng hướng với vectơ
A
C
→
.
Vậy vectơ
2
A
B
→
cùng hướng với
A
B
→
và
2
A
B
→
=
2
A
B
→
.
Luyện tập 1 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1:
A
G
→
=
a
A
M
→
;
G
N
→
=
b
G
B
→
.
Lời giải:
G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó: AG =
2
3
AM; GN =
1
2
GB.
+ Ta có:
A
G
→
và
A
M
→
là hai vectơ cùng hướng và
A
G
→
=
2
3
A
M
→
.
Suy ra
A
G
→
=
2
3
A
M
→
. Vậy a =
2
3
.
+ Lại có:
G
N
→
và
G
B
→
là hai vectơ ngược hướng và
G
N
→
=
1
2
G
B
→
Suy ra
G
N
→
=
−
1
2
G
B
→
. Vậy
b
=
−
1
2
Luyện tập 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1:
3
A
B
→
+
2
B
C
→
−
2
A
B
→
+
3
B
C
→
=
A
B
→
.
Lời giải:
Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có:
Ta có:
3
A
B
→
+
2
B
C
→
−
2
A
B
→
+
3
B
C
→
=
3
A
B
→
+
6
B
C
→
−
2
A
B
→
−
6
B
C
→
=
3
A
B
→
−
2
A
B
→
+
6
B
C
→
−
6
B
C
→
=
A
B
→
.
Vậy
3
A
B
→
+
2
B
C
→
−
2
A
B
→
+
3
B
C
→
=
A
B
→
.
Hoạt động 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1:
M
A
→
+
M
B
→
=
2
M
I
→
.
Lời giải:
Do I là trung điểm của AB nên
I
A
→
+
I
B
→
=
0
→
.
Khi đó:
M
A
→
+
M
B
→
=
M
I
→
+
I
A
→
+
M
I
→
+
I
B
→
=
2
M
I
→
+
I
A
→
+
I
B
→
=
2
M
I
→
+
0
→
=
2
M
I
→
Vậy
M
A
→
+
M
B
→
=
2
M
I
→
.
Hoạt động 4 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1:
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
=
3
M
G
→
.
Lời giải:
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
0
→
.
Ta có:
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
=
M
G
→
+
G
A
→
+
M
G
→
+
G
B
→
+
M
G
→
+
G
C
¯
=
3
M
G
→
+
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
3
M
G
→
+
0
→
=
3
M
G
→
Vậy
M
A
→
+
M
B
→
+
M
C
→
=
3
M
G
→
.
Luyện tập 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
→
+
A
C
→
=
3
A
G
→
.
Lời giải:
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
0
→
.
Ta có:
A
B
→
+
A
C
→
=
A
G
→
+
G
B
→
+
A
G
→
+
G
C
→
=
2
A
G
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
2
A
G
→
+
G
B
→
+
G
C
→
+
A
G
→
−
A
G
→
=
3
A
G
→
+
G
B
→
+
G
C
→
+
−
A
G
→
=
3
A
G
→
+
G
B
→
+
G
C
→
+
G
A
→
=
3
A
G
→
+
0
→
=
3
A
G
→
.
Vậy
A
B
→
+
A
C
→
=
3
A
G
→
.
Hoạt động 5 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1:
a
→
và
b
→
khác
0
→
sao cho
a
→
=
k
b
→
với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ
a
→
và
b
→
.
Lời giải:
Ta có:
a
→
=
k
b
→
với k là số thực khác 0, hai vectơ
a
→
và
b
→
khác
0
→
.
Khi đó hai vectơ
a
→
và
b
→
cùng phương.
Hoạt động 6 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ
A
B
→
,
A
C
→
có cùng phương hay không?
b) Ngược lại, nếu hai vectơ
A
B
→
,
A
C
→
cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?
Lời giải:
a) Giá của vectơ
A
B
→
là đường thẳng AB, giá của vectơ
A
C
→
là đường thẳng AC, mà A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng AB và AC trùng nhau. Do đó hai vectơ
A
B
→
,
A
C
→
cùng phương.
b) Hai vectơ
A
B
→
,
A
C
→
cùng phương khi giá AB và AC của chúng song song hoặc trùng nhau. Trường hợp song song không thể xảy ra do hai đường thẳng AB và AC có chung giao điểm A. Vậy AB trùng với AC hay A, B, C thẳng hàng.
Luyện tập 4 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1:
a)
A
C
→
=
k
A
D
→
,
b)
B
D
→
=
k
D
C
→
.
Lời giải:
a) Vì hai vectơ
A
C
→
,
A
D
→
cùng hướng và AC =
3
4
AD nên
A
C
→
=
3
4
A
D
→
.
b) Vì hai vectơ
B
D
→
và
D
C
→
ngược hướng và BD = 3DC nên
B
D
→
=
−
3
D
C
→
.
Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.
M
N
→
=
2
P
Q
→
;
B.
M
Q
→
=
2
N
P
→
;
C.
M
N
→
=
−
2
P
Q
→
;
D.
M
Q
→
=
−
2
N
P
→
.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C.
MNPQ là hình thang với MN // PQ nên hai vectơ
M
N
→
và
P
Q
→
ngược hướng.
Mà MN = 2 PQ nên
M
N
→
=
−
2
P
Q
→
.
Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.
a) Xác định điểm C thỏa mãn
A
C
→
=
1
2
A
B
→
.
b) Xác định điểm D thỏa mãn
A
D
→
=
−
1
2
A
B
→
.
Lời giải:
a) Ta có
A
C
→
=
1
2
A
B
→
, do đó
A
B
→
và
A
C
→
cùng hướng và AC =
1
2
A
B
.
Suy ra A, B, C thẳng hàng, hơn nữa C là trung điểm của AB và AC = 3 cm.
b) Ta có
A
D
→
=
−
1
2
A
B
→
, do đó
A
D
→
và
A
B
→
ngược hướng và AD =
1
2
AB = 3 cm.
Suy ra A, B, D thẳng hàng; D và B nằm khác phía nhau so với A.
Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
a)
A
P
→
+
1
2
B
C
→
=
A
N
→
;
b)
B
C
→
+
2
M
P
→
=
B
A
→
.
Lời giải:
a) Vì P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó: PN // =
1
2
BC.
Khi đó hai vectơ
P
N
→
và
B
C
→
cùng hướng và PN =
1
2
BC.
Suy ra:
P
N
→
=
1
2
B
C
→
.
Do đó:
A
P
→
+
1
2
B
C
→
=
A
P
→
+
P
N
→
=
A
N
→
.
Vậy
A
P
→
+
1
2
B
C
→
=
A
N
→
.
b) M và P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên MP là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó: MP // AC VÀ MP =
1
2
AC.
Lại có hai vectơ
M
P
→
và
C
A
→
cùng hướng và MP =
1
2
CA nên
M
P
→
=
1
2
C
A
→
hay
C
A
→
=
2
M
P
→
.
Khi đó ta có:
B
C
→
+
2
M
P
→
=
B
C
→
+
C
A
→
=
B
A
→
.
Vậy
B
C
→
+
2
M
P
→
=
B
A
→
.
Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
→
=
a
→
,
A
C
→
=
b
→
. Biểu diễn các vectơ
B
C
→
,
B
D
→
,
B
E
→
,
A
D
→
,
A
E
→
theo
a
→
,
b
→
.
Lời giải:
+ Ta có:
B
C
→
=
B
A
→
+
A
C
→
=
−
A
B
→
+
A
C
→
=
−
a
→
+
b
→
+ BD = DE = EC và D, E thuộc cạnh BC nên BD =
1
3
BC.
Mà
B
D
→
và
B
C
→
cùng hướng nên
B
D
→
=
1
3
B
C
→
.
Suy ra:
B
D
→
=
1
3
−
a
→
+
b
→
=
−
1
3
a
→
+
1
3
b
→
.
Vậy
B
D
→
=
−
1
3
a
→
+
1
3
b
→
.
+ Hai vectơ
B
E
→
,
B
C
→
cùng hướng và BE =
2
3
BC nên
B
E
→
=
2
3
B
C
→
.
Suy ra:
B
E
→
=
2
3
−
a
→
+
b
→
=
−
2
3
a
→
+
2
3
b
→
.
Vậy
B
E
→
=
−
2
3
a
→
+
2
3
b
→
.
+ Ta có:
A
D
→
=
A
B
→
+
B
D
→
=
a
→
+
−
1
3
a
→
+
1
3
b
→
=
1
−
1
3
a
→
+
1
3
b
→
=
2
3
a
→
+
1
3
b
→
Vậy
A
D
→
=
2
3
a
→
+
1
3
b
→
.
+ Ta có:
A
E
→
=
A
B
→
+
B
E
→
=
a
→
+
−
2
3
a
→
+
2
3
b
→
=
1
−
2
3
a
→
+
2
3
b
→
=
1
3
a
→
+
2
3
b
→
Vậy
A
E
→
=
1
3
a
→
+
2
3
b
→
.
Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:
a)
E
A
→
+
E
B
→
+
E
C
→
+
E
D
→
=
4
E
G
→
;
b)
E
A
→
=
4
E
G
→
;
c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và
A
G
→
=
3
4
A
E
→
.
Lời giải:
a) Ta có M là trung điểm của AB nên
G
A
→
+
G
B
→
=
2
G
M
→
.
Tương tự N là trung điểm CD nên
G
C
→
+
G
D
→
=
2
G
N
→
.
Lại có G là trung điểm của MN nên
G
M
→
+
G
N
→
=
0
→
.
Khi đó:
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
+
G
D
→
=
2
G
M
→
+
2
G
N
→
=
2
G
M
→
+
G
N
→
=
0
→
Ta có:
E
A
→
+
E
B
→
+
E
C
→
+
E
D
→
=
E
G
→
+
G
A
→
+
E
G
→
+
G
B
→
+
E
G
→
+
G
C
→
+
E
G
→
+
G
D
→
=
4
E
G
→
+
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
+
G
D
→
=
4
E
G
→
+
0
→
=
4
E
G
→
.
Vậy
E
A
→
+
E
B
→
+
E
C
→
+
E
D
→
=
4
E
G
→
.
b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên
E
B
→
+
E
C
→
+
E
D
→
=
0
→
.
Thay vào câu a) ta có:
E
A
→
+
0
→
=
4
E
G
→
Vậy
E
A
→
=
4
E
G
→
.
c) Theo câu b ta có:
E
A
→
=
4
E
G
→
nên hai vectơ
E
A
→
,
E
G
→
cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.
Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.
Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.
Vì EA = 4 EG nên AG =
3
4
AE.
Hai vectơ
A
G
→
và
A
E
→
cùng hướng.
Do đó:
A
G
→
=
3
4
A
E
→
.
Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
→
=
a
→
,
A
D
→
=
b
→
. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ
A
G
→
,
C
G
→
theo hai vectơ
a
→
,
b
→
.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.
Khi đó O là trung điểm của AC và BD.
Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.
Theo tính chất trọng tâm ta có:
B
G
=
2
3
B
O
.
Mà BO =
1
2
BD nên
B
G
=
2
3
.
1
2
B
D
=
1
3
B
D
.
Hai vectơ
B
G
→
,
B
D
→
cùng hướng và BG =
1
3
BD.
Nên
B
G
→
=
1
3
B
D
→
.
Ta có:
A
G
→
=
A
B
→
+
B
G
→
=
A
B
→
+
1
3
B
D
→
=
A
B
→
+
1
3
B
A
→
+
A
D
→
=
A
B
→
+
1
3
−
A
B
→
+
A
D
→
=
1
−
1
3
A
B
→
+
1
3
A
D
→
=
2
3
A
B
→
+
1
3
A
D
→
=
2
3
a
→
+
1
3
b
→
Do đó:
A
G
→
=
2
3
a
→
+
1
3
b
→
.
Do ABCD là hình bình hành nên
A
C
→
=
A
B
→
+
A
D
→
.
Ta có:
C
G
→
=
C
A
→
+
A
G
→
=
−
A
C
→
+
A
G
→
=
−
A
B
→
+
A
D
→
+
A
G
→
=
−
a
→
+
b
→
+
2
3
a
→
+
1
3
b
→
=
−
1
+
2
3
a
→
+
−
1
+
1
3
b
→
=
−
1
3
a
→
−
2
3
b
→
.
Vậy
C
G
→
=
−
1
3
a
→
−
2
3
b
→
.
Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn
D
B
→
=
1
3
B
C
→
,
A
E
→
=
1
3
A
C
→
,
A
H
→
=
2
3
A
B
→
.
a) Biểu thị mỗi vectơ
A
D
→
,
D
H
→
,
H
E
→
theo hai vectơ
A
B
→
,
A
C
→
.
b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.
Lời giải:
Vì
D
B
→
=
1
3
B
C
→
nên
D
B
→
và
B
C
→
cùng hướng và
D
B
=
1
3
B
C
.
A
E
→
=
1
3
A
C
→
nên
A
E
→
,
A
C
→
cùng hướng và AE =
1
3
A
C
.
A
H
→
=
2
3
A
B
→
nên
A
H
→
,
A
B
→
cùng hướng và
A
H
=
2
3
A
B
.
a) + Ta có
A
D
→
=
A
B
→
+
B
D
→
=
A
B
→
+
−
D
B
→
Mà
D
B
→
=
1
3
B
C
→
.
Do đó:
A
D
→
=
A
B
→
−
1
3
B
C
→
=
A
B
→
−
1
3
B
A
→
+
A
C
→
=
A
B
→
−
1
3
B
A
→
−
1
3
A
C
→
=
A
B
→
−
1
3
−
A
B
→
−
1
3
A
C
→
=
A
B
→
+
1
3
A
B
→
−
1
3
A
C
→
=
4
3
A
B
→
−
1
3
A
C
→
.
Suy ra:
A
D
→
=
4
3
A
B
→
−
1
3
A
C
→
.
+ Ta có:
D
H
→
=
D
A
→
+
A
H
→
=
−
A
D
→
+
A
H
→
Mà
A
H
→
=
2
3
A
B
→
,
A
D
→
=
4
3
A
B
→
−
1
3
A
C
→
.
Do đó:
D
H
→
=
−
4
3
A
B
→
−
1
3
A
C
→
+
2
3
A
B
→
=
−
4
3
A
B
→
+
1
3
A
C
→
+
2
3
A
B
→
=
2
3
−
4
3
A
B
→
+
1
3
A
C
→
=
−
2
3
A
B
→
+
1
3
A
C
→
Vậy
D
H
→
=
−
2
3
A
B
→
+
1
3
A
C
→
.
+ Ta có:
H
E
→
=
H
A
→
+
A
E
→
=
−
A
H
→
+
A
E
→
Mà
A
E
→
=
1
3
A
C
→
,
A
H
→
=
2
3
A
B
→
.
Do đó:
H
E
→
=
−
2
3
A
B
→
+
1
3
A
C
→
=
−
2
3
A
B
→
+
1
3
A
C
→
Vậy
H
E
→
=
−
2
3
A
B
→
+
1
3
A
C
→
.
b) Theo câu a, ta có:
D
H
→
=
−
2
3
A
B
→
+
1
3
A
C
→
và
H
E
→
=
−
2
3
A
B
→
+
1
3
A
C
→
.
Do đó:
D
H
→
=
H
E
→
.
Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.