Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây
Bài 1 trang 84 Toán 7 Tập 2:
A
^
<
90
°
). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng
Δ
B
E
C
=
Δ
C
F
B
.
b) Chứng minh rằng
Δ
A
H
F
=
Δ
A
H
E
.
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.
Lời giải:
a) Tam giác ABC cân tại A nên
A
B
C
^
=
A
C
B
^
và AB = AC.
Xét
Δ
B
E
C
vuông tại E và
Δ
C
F
B
vuông tại F có:
E
C
B
^
=
F
B
C
^
(chứng minh trên).
BC chung.
Do đó
Δ
B
E
C
=
Δ
C
F
B
(cạnh huyền – góc nhọn).
b) Do
Δ
B
E
C
=
Δ
C
F
B
(cạnh huyền – góc nhọn) nên EC = FB (2 cạnh tương ứng).
Mà AB = AC nên AB – FB = AC – EC hay AF = AE.
Xét
Δ
A
H
F
vuông tại F và
Δ
A
H
E
vuông tại E có:
AF = AE (chứng minh trên).
AH chung.
Do đó
Δ
A
H
F
=
Δ
A
H
E
(cạnh huyền – cạnh góc vuông).
c) DABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của
△
ABC.
Suy ra AH
⊥
BC (1).
Xét
△
AIB và
△
AIC có:
AB = AC (chứng minh trên).
IB = IC (do I là trung điểm của BC).
AI chung.
Suy ra
△
AIB =
△
AIC (c.c.c).
Do đó
A
I
B
^
=
A
I
C
^
(2 góc tương ứng).
Mà
A
I
B
^
+
A
I
C
^
=
180
°
nên
A
I
B
^
+
A
I
B
^
=
180
°
hay
2
A
I
B
^
=
180
°
.
Suy ra
A
I
B
^
=
A
I
C
^
=
90
°
.
Do đó AI
⊥
BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra A, H, I thẳng hàng.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:
Bài 2 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.
a) Chứng minh rằng tam giác ABM cân.
b) Chứng minh rằng
Δ
A
B
C
=
Δ
M
B
C
.
Lời giải:
a) Xét
Δ
A
H
B
vuông tại H và
Δ
M
H
B
vuông tại H có:
AH = MH (theo giả thiết).
BH chung.
Do đó
Δ
A
H
B
=
Δ
M
H
B
(2 cạnh góc vuông).
Suy ra AB = MB (2 cạnh tương ứng).
Tam giác ABM có AB = MB nên tam giác ABM cân tại B.
b) Do
Δ
A
H
B
=
Δ
M
H
B
(2 cạnh góc vuông) nên
A
B
H
^
=
M
B
H
^
(2 góc tương ứng).
Xét
Δ
A
B
C
và
Δ
M
B
C
có:
AB = MB (chứng minh trên).
A
B
C
^
=
M
B
C
^
(chứng minh trên).
BC chung.
Do đó
Δ
A
B
C
=
Δ
M
B
C
(c – g – c).
Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:
Bài 3 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC.
a) Chứng minh rằng AC = AD.
b) Chứng minh rằng
A
D
B
^
=
B
A
H
^
.
Lời giải:
a) Trên tia đối của HC lấy D sao cho HC = HD nên H là trung điểm của CD.
AH
⊥
CD tại trung điểm H của CD nên AH là đường trung trực của CD.
Do đó AC = AD.
b) Tam giác ACD có AC = AD nên tam giác ACD cân tại A.
Do đó
A
D
B
^
=
A
C
B
^
.
Trong tam giác ABC vuông tại A:
A
C
B
^
+
A
B
C
^
=
90
°
(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng
90
°
).
Suy ra
A
C
B
^
=
90
°
−
A
B
C
^
.
Trong tam giác ABH vuông tại H:
B
A
H
^
+
A
B
H
^
=
90
°
(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng
90
°
).
Suy ra
B
A
H
^
=
90
°
−
A
B
H
^
.
Do đó
A
C
B
^
=
B
A
H
^
.
Mà
A
C
B
^
=
A
D
B
^
nên
A
D
B
^
=
B
A
H
^
.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:
Bài 4 trang 84 Toán 7 Tập 2:
⊥
AN (E
∈
AN).
a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.
c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.
Lời giải:
a) Xét
△
BEA vuông tại E và
△
BEN vuông tại E có:
BA = BN (theo giả thiết).
BE chung.
Suy ra
△
BEA =
△
BEN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó
E
B
A
^
=
E
B
N
^
(2 góc tương ứng).
Mà BE nằm trong
A
B
N
^
nên BE là tia phân giác của
A
B
N
^
.
b) Tam giác BAN có hai đường cao AH và BE cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác BAN.
Do đó NK
⊥
AB.
Mà AC
⊥
AB nên NK // AC.
c) Do BE là tia phân giác của
A
B
N
^
nên
A
B
E
^
=
N
B
E
^
.
Xét
Δ
A
B
F
và
Δ
N
B
F
có:
AB = NB (theo giả thiết).
A
B
F
^
=
N
B
F
^
(chứng minh trên).
BF chung.
Do đó
Δ
A
B
F
=
Δ
N
B
F
(c.g.c).
Suy ra AF = NF (2 cạnh tương ứng) và
B
A
F
^
=
B
N
F
^
=
90
°
(2 góc tương ứng).
Do đó FN
⊥
BC.
Xét
Δ
A
F
G
vuông tại A và
Δ
N
F
C
vuông tại N có:
AF = NF (chứng minh trên).
A
F
G
^
=
N
F
C
^
(2 góc đối đỉnh).
Do đó
Δ
A
F
G
=
Δ
N
F
C
(góc nhọn – cạnh góc vuông).
Suy ra AG = NC (2 cạnh tương ứng).
Mà BA = BN nên BA + AG = BN + NC hay BG = BC.
Tam giác BGC có BG = BC nên tam giác BGC cân tại B.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:
Bài 5 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.
a) Chứng minh rằng
B
M
N
^
=
H
A
C
^
.
b) Kẻ MI
⊥
AH (I
∈
AH), gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.
Lời giải:
a) Do M nằm trên đường trung trực của BC nên MB = MC.
Xét
Δ
B
M
N
vuông tại N và
Δ
C
M
N
vuông tại N có:
MB = MC (chứng minh trên).
MN chung.
Do đó
Δ
B
M
N
=
Δ
C
M
N
(cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra
B
M
N
^
=
C
M
N
^
(2 góc tương ứng) (1).
Do MN
⊥
BC, AH
⊥
BC nên MN // AH.
Do đó
C
M
N
^
=
H
A
C
^
(2 góc đồng vị) (2).
Từ (1) và (2) suy ra
B
M
N
^
=
H
A
C
^
.
b) Do
Δ
B
M
N
=
Δ
C
M
N
(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên
M
B
N
^
=
M
C
N
^
(2 góc tương ứng).
Do MI
⊥
AH, BC
⊥
AH nên MI // BC.
Do đó
A
M
I
^
=
M
C
N
^
(2 góc đồng vị) và
K
M
I
^
=
M
B
N
^
(2 góc so le trong).
Do đó
A
M
I
^
=
K
M
I
^
.
Xét
Δ
A
M
I
vuông tại I và
Δ
K
M
I
vuông tại I có:
A
M
I
^
=
K
M
I
^
(chứng minh trên).
MI chung.
Do đó
Δ
A
M
I
=
Δ
K
M
I
(góc nhọn – cạnh góc vuông).
Suy ra AI = KI (2 cạnh tương ứng).
Mà I nằm giữa A và K nên I là trung điểm của AK.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:
Bài 6 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FD = FN.
a) Chứng minh rằng
Δ
M
F
N
=
Δ
P
F
D
.
b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của GH. Gọi K là trung điểm của DP. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng.
Lời giải:
<
a) Tam giác MNP có đường trung tuyến NF nên F là trung điểm của MP.
Do đó FM = FP.
Xét
Δ
M
F
N
và
Δ
P
F
D
có:
MF = PF (chứng minh trên).
M
F
N
^
=
P
F
D
^
(2 góc đối đỉnh).
FN = FD (theo giả thiết).
Do đó
Δ
M
F
N
=
Δ
P
F
D
(c.g.c).
b) Tam giác MNP có G là giao điểm hai đường trung tuyến ME và NF nên G là trọng tâm của tam giác MNP.
Do đó NG =
2
3
NF.
Suy ra GF =
1
3
NF.
Do F là trung điểm của GH nên GF = HF.
Suy ra HF =
1
3
NF.
Mà NF = DF nên HF =
1
3
DF.
Suy ra DH =
2
3
DF.
Tam giác MDP có đường trung tuyến DF và DH =
2
3
DF nên H là trọng tâm của tam giác MDP.
Lại có MK là đường trung tuyến của tam giác MDP nên M, H, K thẳng hàng.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:
Bài 7 trang 84 Toán 7 Tập 2:
1
2
AC, AD là tia phân giác
B
A
C
^
(D
∈
BC). Gọi E là trung điểm của AC.
a) Chứng minh rằng DE = DB.
b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.
c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH
⊥
KC.
Lời giải:
a) Do E là trung điểm của AC nên AE =
1
2
AC.
Mà AB =
1
2
AC nên AE = AB.
Do AD là tia phân giác của
B
A
C
^
nên
B
A
D
^
=
E
A
D
^
.
Xét
Δ
B
A
D
và
Δ
E
A
D
có:
AB = AE (chứng minh trên).
B
A
D
^
=
E
A
D
^
(chứng minh trên).
AD chung.
Do đó
Δ
B
A
D
=
Δ
E
A
D
(c.g.c).
Suy ra DB = DE (2 cạnh tương ứng).
b) Do
Δ
B
A
D
=
Δ
E
A
D
(c.g.c) nên
A
D
B
^
=
A
D
E
^
(2 góc tương ứng).
Mà
K
D
B
^
=
C
D
E
^
(2 góc đối đỉnh) nên
A
D
B
^
+
K
D
B
^
=
A
D
E
^
+
C
D
E
^
hay
A
D
K
^
=
A
D
C
^
.
Xét
Δ
A
D
K
và
Δ
A
DC
có:
D
A
K
^
=
D
A
C
^
(chứng minh trên).
AD chung.
A
D
K
^
=
A
D
C
^
(chứng minh trên).
Do đó
Δ
A
D
K
=
Δ
A
DC
(g.c.g).
Suy ra DK = DC (2 cạnh tương ứng) và AK = AC (2 cạnh tương ứng).
Tam giác DCK có DK = DC nên tam giác DCK cân tại D.
Do AK = AC, mà AC = 2AB nên AK = 2AB.
Mà A, B, K thẳng hàng nên B là trung điểm của AK.
c) Do AD là đường phân giác của
B
A
C
^
nên
B
A
D
^
=
C
A
D
^
hay
K
A
H
^
=
C
A
H
^
(2 góc tương ứng).
Xét
△
KAH và
△
CAH có:
AK = AC (chứng minh trên).
K
A
H
^
=
C
A
H
^
(chứng minh trên).
AH chung.
Suy ra
△
KAH =
△
CAH (c.g.c).
Do đó
A
H
K
^
=
A
H
C
^
(2 góc tương ứng).
Mà
A
H
K
^
+
A
H
C
^
=
180
°
nên
A
H
K
^
+
A
H
K
^
=
180
°
hay
2
A
H
K
^
=
180
°
.
Suy ra
A
H
K
^
=
A
H
C
^
=
90
°
.
Do đó AH
⊥
KC.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:
Bài 8 trang 84 Toán 7 Tập 2:
A
B
C
^
=
A
C
B
^
. Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC.
Lời giải:
Tam giác ABC có
A
B
C
^
=
A
C
B
^
nên tam giác ABC cân tại A.
Do đó AB = AC.
Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC (1).
Mà AE = AF nên AB – AE = AC – AF hay BE = CF.
Xét
Δ
E
B
C
và
Δ
F
C
B
có:
BE = CF (chứng minh trên).
E
B
C
^
=
F
C
B
^
(theo giả thiết).
BC chung.
Do đó
Δ
E
B
C
=
Δ
F
C
B
(c.g.c).
Suy ra
E
C
B
^
=
F
B
C
^
(2 góc tương ứng) hay
H
C
B
^
=
H
B
C
^
.
Tam giác HBC có
H
C
B
^
=
H
B
C
^
nên tam giác HBC cân tại H.
Do đó HB = HC.
Suy ra H nằm trên đường trung trực của BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của BC.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:
Bài 9 trang 84 Toán 7 Tập 2:
∈
CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.
a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.
b) Chứng minh rằng
E
B
H
^
=
A
C
M
^
.
c) Chứng minh rằng
E
B
⊥
B
C
.
Lời giải:
a) Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM nên H là trung điểm của ME.
Ta thấy BH vuông góc với ME tại trung điểm H của ME nên BH là đường trung trực của ME.
Do đó BM = BE.
Tam giác MBE có BM = BE nên tam giác MBE cân tại B.
b) Trong
Δ
B
H
M
vuông tại H:
H
B
M
^
+
B
M
H
^
=
90
°
(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng
90
°
).
Suy ra
H
B
M
^
=
90
°
−
B
M
H
^
.
Trong
Δ
C
A
M
vuông tại A:
A
C
M
^
+
C
M
A
^
=
90
°
(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng
90
°
).
Suy ra
A
C
M
^
=
90
°
−
C
M
A
^
.
Mà
B
M
H
^
=
C
M
A
^
(2 góc đối đỉnh) nên
H
B
M
^
=
A
C
M
^
(1).
Xét
Δ
B
H
E
vuông tại H và
Δ
B
H
M
vuông tại H có:
BH chung.
HE = HM (theo giả thiết).
Do đó
Δ
B
H
E
=
Δ
B
H
M
(2 cạnh góc vuông).
Suy ra
E
B
H
^
=
M
B
H
^
(2 góc tương ứng) (2).
Từ (1) và (2) suy ra
E
B
H
^
=
A
C
M
^
.
c) Do CM là tia phân giác của
B
C
A
^
nên
B
C
M
^
=
A
C
M
^
.
Xét
Δ
B
H
C
vuông tại H:
H
B
C
^
+
B
C
H
^
=
90
°
(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng
90
°
).
Suy ra
H
B
C
^
+
A
C
M
^
=
90
°
.
Mà
E
B
H
^
=
A
C
M
^
nên
H
B
C
^
+
E
B
H
^
=
90
°
hay
E
B
C
^
=
90
°
.
Do đó EB
⊥
>BC.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác:
Bài 10 trang 84 Toán 7 Tập 2: Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.
Lời giải:
Xét tam giác MIK có MJ
⊥
IK, IN
⊥
MK.
Mà MJ cắt IN tại N nên N là trực tâm của tam giác MIK.
Do đó NK vuông góc với MI.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác: