Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Giải Toán Lớp 7
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 7 tập 1
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 7 tập 2
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 7 Tập 1
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 7 Tập 2
• Vở Bài Tập Toán Lớp 7 Tập 1
• Vở Bài Tập Toán Lớp 7 Tập 2

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (g.c.g) giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 49 trang 144 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Vẽ tam giác ABC biết ∠B =90^o,∠C =60^o, BC = 2cm. Sau đó đo AC để kiểm tra rằng AC = 4cm.

Lời giải:

Bài 50 trang 144 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Tìm các tam giác bằng nhau ở hình dưới (không xet tam giác mà các cạnh chưa được kẻ)

Lời giải:

Ta có: ΔABD= ΔCBD (g.c.g)

ΔGIF= ΔHIE (g.c.g)

Bài 51 trang 144 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ADE có ∠AD=∠AE . Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M. tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm N. So sánh các độ dịa DN và EM

Lời giải:

Tam giác ADE có: ∠D =∠E (gt)

∠(D₁ ) =∠(D₂ ) = (1/2)∠D (vì DM là tai phân giác)

∠(E₁ ) = ∠(E₂ ) = (1/2)∠E (vì EN là tia phân giác)

Suy ra: ∠(D₁ ) =∠(D₂ ) =∠(E₁ ) =∠(E₂ )

xét ΔDNE và ΔEMD, ta có:

∠(NDE) =∠(MED) (gt)

DE cạnh chung

∠(D₂ ) =∠(E₂ ) (chứng minh trên)

Suy ra: ΔDNE= ΔEMD (g.c.g)

Vậy DE = EM (hai góc tương ứng)

Bài 52 trang 144 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho hình bên, trong dod AB // HK, AH // BK.Chứng minh rằng AB = HK; AH = BK

Lời giải:

Nối AK, ta có:

AB // HK (gt)

⇒ ∠(A₁ ) =∠(K₁ ) (hai góc so le trong)

AH // BK (gt)

⇒ ∠ (A₂ ) =-∠(K₂ ) (hai góc so le trong)

Xét ΔABK và ΔKHA, ta có:

∠(A₁ ) =∠(K₁ )

AK canh chung

∠(A₂ ) =∠(K₂ )

Suy ra: ΔABK =ΔKHA (g.c.g)

Vậy: AB = KH; BK = AH ( 2 cạnh tương ứng)

Bài 53 trang 144 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các tua phân giác của các góc B và C cắt nhau ở O. Kẻ OD⊥AC, kẻ OE⊥AB. Chứng minh rằng OD = OE

Lời giải:

Kẻ OH⊥BC

Xét hai tam giác vuông OEB và OHB, ta có:

∠(OEB) =∠OHB=90^o

Cạnh huyền OB chung

∠(EBO) =∠(HBO)

Suy ra Δ OEB = Δ OHB (cạnh huyền góc nhọn)

⇒OE = OH (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông OHC và ODC, ta có:

∠(OHC) =∠ODC=90^o

Cạnh huyền OB chung

∠(HCO) =∠(DCO)

Suy ra Δ OHC = Δ ODC (cạnh huyền góc nhọn)

⇒OD = OH (hai cạnh tương ứng)

Từ (1) và (2) suy ra: OE = OD

Bài 54 trang 144 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy điểm D trân cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE

a, Chứng minh rằng BE = CD

b, Gọi O là giao điểm của BE và CD

Chứng minh rằng ΔBOD=COE

Lời giải:

a. Xét ΔBEA và CDA, ta có:

BA = CA (gt)

∠A chung

AE=AD

Suy ra: ΔBEA= CDA (c.g.c)

Vậy: BE = CD (hai cạnh tương ứng)

b. ΔBEA= ΔCDA (chứng minh trên)

⇒∠(B₁ ) =∠(C₁ ) ;∠(E₁ ) =∠(D₁ ) (hai góc tương ứng)

∠(E₁ ) +∠(E₂ ) =180^o (hai góc kề bù)

∠(D₁ ) +∠(D₂ ) =180^o (hai góc kề bù)

Suy ra: ∠(E₂ ) =∠(D₂ )

AB = AC (gt)

⇒AE + EC = AD = BD MÀ AE = AD (GT)⇒EC = BD

Xét ΔODB và ΔOCE, ta có:

∠(E₂ ) =∠(D₂ ) (chứng minh trên)

DB=EC (chứng minh trên)

∠(B₁ ) =∠(C₁ )

Suy ra: ΔODB= ΔOCE

Bài 55 trang 145 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC có ∠B =∠C Tia phân giác của góc A cắt BC tại D

chứng minh rằng: BD = DC; AB = AC

Lời giải:

Trong ΔADB, ta có:

∠B +∠(A₁ ) +∠(D₁) =180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: ∠(D₁ ) =180^o-(∠C +(A₁)) (1)

Trong ΔADC, ta có:

∠C +∠(A₂) +∠(D₂) =180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: ∠(D₂) =180^o-(∠C +∠(A₂) ) (2)

∠B =∠C (gt)

∠(A₁ ) =∠(A₂) (gt)

Từ (1) và (2) và gt suy ra: ∠(D₁) =∠(D₂)

Xét ΔABD và ΔADC, ta có:

∠(A₁ ) =∠(A₂)(gt)

AD cạnh chung

∠(D₁ ) =∠(D₂)

Vậy: ΔABD= ΔADC (g.c.g)

Vậy: AB = AC (hai cạnh tương ứng)

DB = DC (hai cạnh tương ứng)

Bài 56 trang 145 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho hình dưới, chứng minh rằng O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AD, BC

Lời giải:

Hai đường thẳng AB và CD tạo với BD có hai góc trong cùng phía bù nhau: 120^o+60^o=180^o

Suy ra: AB // CD

Ta có: ∠A =∠(D₁) (hai góc so le trong)

∠C =∠(B₁) (hai góc so le trong)

AB = CD (gt)

Suy ra: Δ AOB= Δ DOC (g.c.g)

Suy ra: OA = OD; OB = OC (hai cạnh tương ứng)

Vậy O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AD và BC

Bài 57 trang 145 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho hình dưới trong đó DE // AB, DF // AC, EF // BC. Tính chu vi tam giác DFE

Lời giải:

Xét ΔABC và ΔABF, ta có:

∠(ABC) =∠(BAF) (so le trong)

AB cạnh chung

∠(BAC) =∠(ABF) (so le trong)

Suy ra: ΔABC= ΔABF(g.c.g)

Suy ra: AF = BC = 4 (hai cạnh tương ứng)

BF = AC = 3(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔABC và ΔACE, ta có:

∠(ACB) =∠(CAE) (so le trong)

AC cạnh chung

∠(BAC) =∠(ECA) (so le trong)

Suy ra: ΔABC= ΔCEA(g.c.g)

Suy ra: AE = BC = 4(hai cạnh tương ứng)

CE = AB (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔABC và ΔDCB, ta có:

∠(ACB) =∠(DBC) (so le trong)

BC cạnh chung

∠(ABC) =∠(DCB) (so le trong)

Suy ra: ΔABC= ΔDCB(g.c.g)

Suy ra: DC = AB = 2(hai cạnh tương ứng)

DB = AC (hai cạnh tương ứng)

Ta có: EF =AE=AF =4 + 4=8

DF = DB + BF = 3+ 3 =6

DE = DC + CE = 2 + 2 = 4

Vậy chu vi ΔDEF là:

DE + DF + EF = 4+ 6 + 8 =18 (đơn vị độ dài)

Bài 58 trang 145 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB. Qua A vẽ đường thẳng m vuông góc với AB. Qua B vẽ đường thẳng n vuông góc với AB. Qua trung điểm O của AB vẽ một đường thẳng cắt m ở C và cắt n ở D. so sánh các độ dài OC và OD.

Lời giải:

Bài 59 trang 145 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2,5cm, AC = 3 cm; BC = 3,5 cm. Qua A vẽ đươnhg thẳng song song với BC, qua C vẽ đường thẳng song song với AB, chúng cắt nhau tại D. tính chu vi tam giác ACD.

Lời giải:

Ta có: AB // CD (gt)

Suy ra ∠(ACD) =∠(CAB) ̂(hai góc so le trong)

BC // AD (gt)

Suy ra: ∠(CAD) =∠(ACB) (hai góc so le trong)

Xét ΔABC và ΔCDA, ta có:

∠(CAD) =∠(ACB) (chứng minh trên)

AC cạnh chung

∠(ACD) =∠(CAB) (chứng minh trên)

Suy ra: ΔABC= ΔCDA (g.c.g)

Suy ra: CD = AB = 2,5cm và AD = BC = 3,5 cm

Chu vi ΔACD là : AC + AD + CD = 3 + 3,5 + 2,5 = 9 cm

Bài 60 trang 145 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. kẻ DE vuông góc vớ BC. Chứng minh rằng AB = BE

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông ABD và EBD, ta có:

∠(BAD) =∠(BED) =90^o

Cạnh huyền BD

∠(ABD) =∠(EBD) (gt)

Suy ra: Δ ABD= Δ EBD(cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy BA = BE ( hai cạnh tương ứng)

Bài 61 trang 145 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng:

a, ΔBAD= ΔACE

b, DE=BD+CE

Lời giải:

a, Ta có: ∠(BAD) +∠(BAC) +∠(CAE) =180^o(kề bù)

Mà ∠(BAC) =90^o (gt) ⇒∠(BAD) +∠(CAE) =90^o (1)

Trong ΔAEC, ta có: ∠(ACE) =90^o ⇒∠(CAE) +∠(ACE) =90^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠(BAD) =∠(ACE)

Xét hai tam giác vuông AEC và BDA, ta có:

∠(AEC) +∠(DBA) =90^o

AC = AB (gt)

∠(ACE) +∠(BAD) (chứng minh trên)

Suy ra: ΔAEC= ΔBDA(cạnh huyền. Góc nhọn)

b, Ta có: ΔAEC= ΔBDA

⇒AE = BD và EC = DA

Mà DE = DA + AE

Vậy: DE = CE + BD

Bài 62 trang 145 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A và ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuoong góc với AH.

Chứng minh rằng:

a. DM = AH

b. MN đi qua trung điểm của DE

Lời giải:

a, Ta có: ∠(BAH) +∠(BAD) +∠(DAM) =180^o(kề bù)

Mà ∠(BAD) =90^o⇒∠(BAH) +∠(DAM) =90^o(1)

Trong tam giác vuông AMD, ta có:

∠(AMD) =90^o⇒∠(DAM) +∠(ADM) =90^o(2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠(BAH) =∠(ADM)

Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:

∠(BAH) =∠(ADM)

AB = AD (gt)

Suy ra: ΔAMD= ΔBHA(cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy: AH = DM (hai cạnh tương ứng) (3)

b, Ta có: ∠(HAC) +∠(CAE) +∠(EAN) =180^o(kề bù)

Mà ∠(CAE) =90^o⇒∠(HAC) +∠(EAN) =90^o(kề bù) (4)

Trong tam giác vuông AHC, ta có:

∠(AHC) =90^o⇒∠(HAC) +∠(HCA) =90^o (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ∠(HCA) =∠(EAN) ̂

Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:

∠(AHC) =∠(EAN) =90^o

AC = AE (gt)

∠(HCA) =∠(EAN)

Suy ra : ΔAHC= ΔENA(cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy AH = EN (hai cạnh tương ứng)

Từ (3) và (6) suy ra: DM = EN

Vì DM ⇒AH và EN ⇒AH nên DM // EN (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba)

Gọi O là giao điểm của MN và DE

Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:

∠(DMO) =∠(ENO) =90^o

DM= EN (gt)

∠(MDO) =∠(NEO)(so le trong)

Suy ra : ΔDMO= ΔENO(g.c.g)

⇒D = OE

Vậy MN đi qua trung điểm của DE

Bài 63 trang 146 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh rằng:

a. AD = EF

b. ΔADE=Δ EFC

c. AE=EC

Lời giải:

a, Xét Δ DBFvà Δ FDE, ta có:

∠(BDF) =∠(DFE) (so le trong vì EF // AB)

DF cạnh chung

∠(DFB) =∠(FDE) (so le trong vì DE // BC)

Suy ra: Δ DBF=Δ FDE(g.c.g) ⇒ DB = EF (hai cạnh tương ứng)

Mà AD = DB (gt)

Vậy: AD = EF

b, Ta có: DE // BC (gt)

⇒∠(D₁ ) =∠B (đồng vị)

EF // AB (gt)

⇒∠(F₁ ) =∠B (đồng vị)

⇒∠(E₁ ) =∠A (đồng vị)

Xét Δ ADEvà Δ EFC, ta có:

∠(E₁ ) =∠A (chứng minh trên)

AD = EF

∠(F₁ ) =∠(D₁ ) (vì cùng bằng B)

Suy ra : Δ ADE= Δ EFC(g.c.g)

c,Vì : Δ ADE= Δ EFC nên AE = EC (hai cạnh tương ứng)

Bài 64 trang 146 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:

a, DB = CF

b, Δ BDC= Δ FCD

c, DE//Bc và DE =1/2BC

Lời giải:

a, Xét ΔADE và ΔCFE, ta có:

AE = CE (gt)

∠(AED) =∠(CEF) (đối đỉnh)

DE=FE

Suy ra: ΔADE= ΔCFE (c.g.c)

⇒AD = CF (hai cạnh tương ứng)

Mà AD = DB (gt)

Vậy: DB = CF

b, Ta có: ΔADE= ΔCFE(chứng minh trên)

⇒∠(ADE) =∠(CFE) (hai góc tương ứng)

Suy ra: AD // CF (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Hay AB // CF

Xét ΔBDC và ΔFCD, ta có:

BD = CF (chứng minh trên)

∠(BDC) =∠(FCD) (hai góc so le trong vì CF // AB)

DC cạnh chung

Suy ra: ΔBDC= ΔFCD (c.g.c)

c, Ta có: ΔBDC= ΔFCD(chứng minh trên)

Suy ra: ∠(C₁ ) =∠(D₁ ) (hai góc tương ứng)

Suy ra: DE // BC ( vì có hai góc so le trong bằng nhau)

ΔBDC= ΔFCD suy ra BC = DF (hai cạnh tương ứng)

Mà DE = 1/2 DF(gt). Vậy DE = 1/2 BC

Bài 65 trang 146 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D và E, vẽ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng DM + EN = NC

Hướng dẫn: qua N kẻ đường thẳng song song với AB

Lời giải:

Từ N kẻ đường thẳng song song vói AB cắt BC tại K. Nối EK.

Xét ΔBEK và Δ NKE, ta có:

∠(EKB) =∠(KEN) (so le trong vì EN // BC)

EK cạnh chung

∠(BEK) =∠(NKE) (so le trong vì EN // BC)

Suy ra: Δ BEK = Δ NKE(g.c.g)

Suy ra: BE = NK (hai cạnh tương ứng)

EN = BK (hai cạnh tương ứng)

Xét Δ ADM và Δ NKC, ta có:

∠A =∠(KNC) (đồng vị vì NK // AB)

AD = NK ( vì cùng bằng BE)

∠(ADM) =∠(NKC) (vì cùng bằng góc B)

Suy ra: Δ ADM = Δ NKC(g.c.g)

Suy ra: DM = KC (hai cạnh tương ứng)

Mà BC = BK + KC. Suy ra: BC = EN + DM

7

Bài 66 trang 146 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC có:∠ A =60^o

Các tia phân giác của các góc B, C cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự tại D, E. Chứng minh rằng: ID = IE

Hướng dẫn: kẻ tia phân giác góc BIC

Lời giải:

Trong ΔABC, ta có:

∠A +∠B +∠C =180^o (tổng ba góc trong tam giác)

⇒∠B +∠C =180-∠A =180-60=120^o

∠(B₁ ) =∠(B₂ ) =1/2 ∠B (gt)

∠(C₁ ) =∠(C₂ ) =1/2∠ C (gt)

Trong ΔBIC, ta có:

∠(BIC) =180^o(∠(B₁ ) +∠(C₁ ) )=180^o-(∠B /2+∠C /2)=180^o-60^o=120^o

Kẻ tia phân giác ∠(BIC) cắt cạnh BC tại K

Suy ra: ∠(I₂ ) =∠(I₃ ) =1/2 ∠(BIC) =60^o

Ta có: ∠(I₁ ) +∠(BIC) =180^o (hai góc kề bù)

⇒ ∠(I₁ ) =180^o-∠(BIC) =180^o-120^o=60^o

∠(I₄ ) =∠(I₁ ) =60^o(vì hai góc đối đỉnh)

Xét ΔBIE và ΔBIK, ta có

∠(B₂ ) =∠(B₁ ) (gt)

BI cạnhchung

∠(I₂ ) =∠(I₁ ) =60^o

Suy ra: ΔBIE= ΔBIK(g.c.g)

IK=IE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ΔCIK và ΔCID, ta có

∠(C₂ ) =∠(C₁ ) (gt)

CI cạnh chung

∠(I₃ ) =∠(I₄ ) =60^o

Suy ra: ΔCIK= ΔCID(g.c.g)

IK=ID (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IE = ID

Bài 5.1 trang 146 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC và tam giác có 3 đỉnh là D,E,F. Biết AB= DF và ∠B=∠D

Trong các khẳng định sau,khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

a)Nếu ∠A = ∠F thì hai tam giác đó bằng nhau

b)Nếu ∠A = ∠E thì hai tam giác đó bằng nhau

c)Nếu ∠C = ∠E thì hai tam giác đó bằng nhau

Lời giải:

a) Đúng;

b) Sai;

c) Đúng.

Bài 5.2 trang 146 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB.Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE=AC. Một đường thẳng đi qua A cắt DE và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:

a)BC // DE

b)AM = AN

Lời giải:

a) ΔABC = ΔADE (c.g.c)

nên ∠C = ∠E. Suy ra DE // BC.

b) ΔAEM = ΔACN (g.c.g) nên AM = AN.

Bài 5.3 trang 146 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Chứng minh rằng nếu hai tam giác bằng nhau thì hai đường cao tương ứng bằng nhau

Lời giải:

Xét các tam giác bằng nhau ΔABC = ΔA’B’C’. Kẻ AH ⊥ BC, A’H’ ⊥ B’C’

Suy ra ΔABC = ΔA’B’C’ nên AC = A’C’, ∠C = ∠C’.

Suy ra ΔAHC = ΔA’H’C’ (cạnh – huyền – góc nhọn) nên AH = A’H’.

Bài 5.4 trang 147 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác giác ABC vuông tại A có AB = AC. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BE cắt đường thẳng CA tại K. Chứng minh rằng AK = AC.

Lời giải:

∠D = ∠E₁ (cùng phụ với ∠K)

Suy ra ΔKAD = ΔBAD (g.c.g), suy ra AK = AB.

Ta lại có AB = AC nên AK = AC.