Lời giải

Từ định nghĩa là tính chất hình chữ nhật ta có A, B, D đúng và C sai.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = AC; AD = BC; AC = BD và AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Hay OA = OB = OC = OD nên A, B, C đúng, D sai.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

+ Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên D đúng

+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật nên B đúng

+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên C đúng

+ Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông nên A sai

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên hình thang cân ABCD có thêm thì nó sẽ là hình chữ nhật nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

+ Ta thấy AB = CD = AD = BC thì ABCD chỉ có bốn cạnh bằng nhau nên ABCD chưa chắc là hình chữ nhật .

Nếu thì tứ giác ABCD có ba góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật (do dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông).

+ Nếu và AB // CD thì tứ giác ABCD có AD // BC; AB // CD nên ABCD là hình bình hành, lại có Â = 90⁰ nên ABCD là hình chữ nhật. (do dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông)

+ Nếu AB // CD; AB = CD và AC = BD thì ABCD là hình bình hành (do có cặp cạnh đối AB; CD song song và bằng nhau), lại có hai đường chéo bằng nhau AC = BD nên ABCD là hình chữ nhật (do dấu hiệu hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau).

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Ta thấy AD = BC, AD // BC, Â = 90⁰ thì ABCD là hình bình hành có 1 góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên hình bình hành ABCD có AC = BD thì ABCD là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Nối AC, BD

+ Xét tam giác ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB; AD nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD

Suy ra MQ // BD; MQ = BD (1)

+ Tương tự, xét tam giác CBD có N, P lần lượt là trung điểm của BC; CD nên NP là đường trung bình của tam giác CBD.

Suy ra NP // BD; NP =

Từ (1) và (2) ⇒ MQ // NP; MQ = NP ⇒ MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

+ Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật thì  = 90⁰ hay MQ ⊥ QP

Lại có QP // AC (do QP là đường trung bình của tam giác DAC) nên MQ ⊥ AC mà MQ // BD (cmt) nên AC ⊥ BD

Vậy tứ giác ABCD cần có AC ⊥ BD thì MNPQ là hình chữ nhật.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Từ giả thiết ta có ME // AF; MF // AE nên tứ giác AEMF là hình bình hành (dhnb).

Để hình bình hành AEMF là hình chữ nhật thì

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Xét tứ giác: AECH có: I là trung điểm của AC (gt); I là trung điểm của HE (do H và E đối xứng nhau qua I)

Do đó AECH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Lại có nên AECH là hình chữ nhật (dhnb)

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AC² + AB² hay BC² = 6² + 8²

⇒ BC² = 100. Suy ra BC = 10 (cm)

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

AH = BC : 2 = 10 : 2 = 5cm

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AC² + AB² hay BC² = 5² + 12²

⇒ BC² = 169. Suy ra BC = 13 (cm)

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

AH = BC : 2 = 13 : 2 = 6,5cm

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

+ Xét tứ giác ADME có nên ADME là hình chữ nhật

+ Xét tam giác DMB có (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác BDM vuông cân tại D. Do đó Dm = BD

+ Do ADME là hình chữ nhật nên chu vi ADME là:

(AD + DM).2 = (AD + BD).2 = 6.2 = 12 cm

Vậy chu vi ADME là 12cm

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

+ Xét tứ giác ADME có nên ADME là hình chữ nhật

+ Xét tam giác DMB có (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác BDM vuông cân tại D. Do đó DM = BD

+ Do ADME là hình chữ nhật nên chu vi ADME là:

(AD + DM).2 = (AD + BD).2 = 8.2 = 16 cm

Vậy chu vi ADME là 12cm

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

+ Xét tam giác ABC có E là trung điểm AB; D là trung điểm AC nên ED là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ ED // BC; ED = BC (1)

+ Xét tam giác GBC có N là trung điểm của GB; M là trung điểm GC nên MN là đường trung bình của tam giác GBC. ⇒ MN // BC; MN = BC (2)

Từ (1), (2) ⇒ MN // ED, MN = ED nên tứ giác MNED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

+ Xét tam giác ABG có EN là đường trung bình nên EN // AG hay EN // AI.

+ Để hình bình hành MNED là hình chữ nhật thì  = 90⁰ ⇒ EN ⊥ MN. Mà MN // BC (câu trên) nên EN ⊥ BC

+ Lại có EN // AI suy ra AI ⊥ BC

Xét tam giác ABC có AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABC cân tại A.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD. Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A

Suy ra DQ = QE = DE : 2

Tương tự tam giác BCF cân tại C, do đó FN = BN = BF : 2

Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra DE = BF

Suy ra DQ = FN và DQ // FN. Vậy DQNF là hình bình hành, từ đó QN = DF = CD =CF

Mà CD = AB = a, CF = CB = b, do đó: QN = a – b

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Xét tam giác ABD có: M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra ML // AB và ML = AB: 2 = 3. Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (1)

Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IK // AB và IK = AB : 2 = 3. Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bồn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.

Ta có: MI = (AB + CD) = (6 + 18) = 12

(do MI là đường trung bình của hình thang ABCD)

Suy ra KL = MI – ML – KI = 12 – 3 – 3 = 6

Xét tứ giác ABKL có: KL = AB ( = 6); KL // AB.

Do đó ABKL là hình bình hành.

Lại có: BL = BD, AK = AC

Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân)

Suy ra AK = BL

Xét hình bình hành ABKL có AK = KL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Theo câu trên ta có: AB = KL = 6

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông AML ta có:

AL² = AM² – ML² = 5² – 3² = 16

Vậy AL = BK = 4

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông AKL ta có:

AK² = AL² + LK² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52

Vậy AK = BL =

Vậy AB = 6; AL = 4; AK =

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.

Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên suy ra AI = QM

IH là đường trung bình của tam giác QMN nên IH = MN, IH // MN

Tương tự KC = NP, HK = PQ, HK // PQ

Do đó AI + IH + HK + KC = P_MNPQ

Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C ta có: AI + IH + HK + KC ≥ AC

Do đó P_MNPQ ≥ 2AC (không đổi)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hang theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với MN // AC // QP, QM // BD // NP hay MNPQ là hình bình hành

Theo định lý Pytago cho tam giác ACB vuông tại A ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ là 2AC =

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Xét tứ giác ADME có nên ADME là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Vì ADME là hình chữ nhật (theo câu trước) nên AM = DE (tính chất)

Để DE nhỏ nhất thì AM nhỏ nhất mà AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC

Từ đó DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Theo DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Khi đó DE = AM

Xét tam giác ABC, theo định lý Pytago ta có

BC² = BA² + AC² = 625 ⇒ BC = 25

Gọi BM = x thì MC = 25 – x

Xét tam giác AMB vuông tại M, theo định lý Pytago ta có

AM² = AB² – BM² = 15² – x² = 225 – x² (1)

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lý Pytago ta có

AM² = AC² – MC² = 20² – (25 – x)²

⇔ 225 – x² = 400 – (625 – 50x + x²)

⇔ 50x = 450 ⇔ x = 9

Suy ra: AM² = 225 – x² = 225 – 81 = 144 ⇒ AM = 12

Suy ra DE = AM =12cm

Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là 12cm

Đáp án cần chọn là: D