Lời giải

|2x – 5| = 3

TH1: |2x – 5| = 2x – 5 khi 2x – 5 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 5 ⇔ x ≥  

Khi đó |2x – 5| = 3

⇒ 2x – 5 = 3 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4 (TM)

TH2: |2x – 5| = – (2x – 5) khi 2x – 5 < 0 ⇔ 2x < 5 ⇔ x <  

Khi đó |2x – 5| = 3

⇒ – (2x – 5) = 3 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 (TM)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4; x = 1

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

|2x – 5| = 3

TH1: |2x + 5| = 2x + 5 khi 2x + 5 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -5 ⇔ x ≥ – 

Khi đó |2x + 5| = 3

⇒ 2x + 5 = 3 ⇔ 2x = -2 ⇔ x = -1 (TM)

TH2: |2x + 5| = – (2x + 5) khi 2x + 5 < 0 ⇔ 2x < -5 ⇔ x < – 

Khi đó |2x – 5| = 3

⇒ – (2x + 5) = 3 ⇔ -2x = 8 ⇔ x = -4 (TM)

Vậy phương trình có nghiệm là x = -4; x = -1

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

TH1: |3 – 4x| = 3 – 4x khi 3 – 4x ≥ 0 ⇔ 4x ≤ 3 ⇔ x ≤

Phương trình đã cho trở thành 2(3 – 4x) + 6 = 10

⇔ 2(3 – 4x) = 4 ⇔ 3 – 4x = 2 ⇔ x =

TH2: |3 – 4x| = -(3 – 4x) khi 3 – 4x < 0 ⇔ 4x > 3 ⇔ x >

Phương trình đã cho trở thành 2(4x – 3) + 6 = 10

⇔ 2(4x – 3) = 4 ⇔ 4x – 3 = 2 ⇔ x = 5/4 (TM)

Phương trình có nghiệm

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

TH1: x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, khi đó |x – 2| = x – 2, phương trình trở thành:

– (x – 2) + 3 = 0 ⇔ -x + 5 = 0 ⇔ x = 5 (TM)

TH2: x – 2 < 0 ⇔ x < 2 thì |x – 2| = -(x – 2), phương trình trở thành:

-[-(x – 2)] + 3 = 0 ⇔ x – 2 + 3 = 0

⇔ x + 1  = 0 ⇔ x = -1 (TM)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x = -1, x = 5

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

TH1: |5x – 3| = 5x – 3 nếu |5x – 3| ≥ 0 ⇔ 5x ≥ 3 ⇔ x ≥

Phương trình đã cho trở thành 5x – 3 = x + 7

⇔ 4x = 10 ⇔ x =  (TM)

TH2: |5x – 3| = -(5x – 3) nếu 5x – 3 < 0 ⇔ 5x < 3 ⇔ x <

Phương trình đã cho trở thành –(5x – 3) = x + 7

⇔ -6x = 4 ⇔ x =  (TM)

Vậy tập nghiệm của phương trình S =

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

TH1: |5x – 3| = 5x – 3 nếu |5x – 3| ≥ 0 ⇔ 5x ≥ 3 ⇔ x ≥

Phương trình đã cho trở thành –(5x – 3) = x + 7

⇔ -6x = 4 ⇔ x =  (KTM)

TH2: |5x – 3| = -(5x – 3) nếu 5x – 3 < 0 ⇔ 5x < 3 ⇔ x <

Phương trình đã cho trở thành –[- (5x – 3)] = x + 7

⇔ 5x – 3 = x + 7

⇔ 4x = 10 ⇔ x =  (KTM)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = Ø

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

TH1: |x – 3| = x – 3 khi x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3

Phương trình đã cho trở thành x – 3 + 3x = 7

⇔ 4x = 10 ⇔ x =  (KTM)

TH2: |x – 3| = -(x – 3) khi x – 3< 0 ⇔ x < 3

Phương trình đã cho trở thành –(x – 3) + 3x = 7

⇔2x = 4 ⇔ x = 2 (TM)

Vậy phương trình có một nghiệm x = 2

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

TH1: |x – 3| = x – 3 khi x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3

Phương trình đã cho trở thành 2(x – 3) + x = 3

⇔ 2x – 6 + x – 3 = 0

⇔ 3x – 9 = 0  ⇔ x = 3 (TM)

TH2: |x – 3| = -(x – 3) khi x – 3< 0 ⇔ x < 3

Phương trình đã cho trở thành -2(x – 3) + x = 3

⇔-x = -3 ⇔ x = 3 (TM)

Vậy phương trình có một nghiệm x = 3

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

+) Xét |x – 1| = 1

TH1: |x – 1| = x – 1 khi x ≥ 1, nên ta có phương trình x – 1 = 1 ⇔ x = 2 (TM)

TH2: |x – 1| = 1 – x khi x < 1 nên ta có phương trình 1 – x = 1 ⇔ x = 0 (TM)

Vậy S = {0; 2}

+) Xét |x + 3| = 0 ⇔ x + 3 = 0 ⇒ x = -3 nên S = {-3}

+) Xét |2x| = 10

TH1: |2x| = 2x khi x ≥ 0 nên ta có phương trình 2x = 10 ⇒ x = 5 (TM)

TH2: |2x| = -2x khi x < 0 nên ta có phương trình -2x = 10 ⇔ x = -5 (TM)

Vậy S = {5; -5}

+) Xét |x| = -9

Thấy rằng |x| ≥ 0; Ɐx mà -9 < 0 nên |x| > -9 với mọi x. Hay phương trình |x| = -9 vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Đáp án A: -|x + 1| = 1 ⇔ |x + 1| = -1

Vì -1 < 0 và |x + 1| ≥ 0 nên phương trình -|x + 1| = 1 vô nghiệm.

Ngoài ra, có thể kết luận được các phương trình còn lại đều có nghiệm.

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Xét phương trình |x – 3| = 1

TH1: |x – 3| = x – 3 khi x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3

Phương trình đã cho trở thành x – 3 = 1 ⇔ x = 4 (TM)

TH2: |x – 3| = 3 – x khi x – 3 < 0 ⇔ x < 3

Phương trình đã cho trở thanh 3 – x = 1 ⇔ x = 2 (TM)

Vậy phương trình |x – 3| = 1 có hai nghiệm x = 2 và x = 4

Nên x = 4 là nghiệm của phương trình |x – 3| = 1

Khẳng định đúng là (2) và (3)

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Xét phương trình |x – 3| = 1

TH1: |x – 3| = x – 3 khi x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3

Phương trình đã cho trở thành x – 3 = 1 ⇔ x = 4 (TM)

TH2: |x – 3| = 3 – x khi x – 3 < 0 ⇔ x < 3

Phương trình đã cho trở thanh 3 – x = 1 ⇔ x = 2 (TM)

Vậy phương trình |x – 3| = 1 có hai nghiệm x = 2 và x = 4 hay (1) sai và (3) đúng

|x – 1| = 0 ⇔ x – 1 = 0  ⇔ x = 1 nên phương trình |x – 1| = 0 có nghiệm duy nhất hay (2) sai.

Vậy có 1 khẳng định đúng

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Ta có |2 + 3x| = |4x – 3|

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là x =

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Ta có |5 – 2x| = |x – 1|

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là x = 2

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

TH1: |3x – 1| = 3x – 1 khi |3x – 1| ≥ 0 ⇔ 3x ≥ 1 ⇔ x ≥

Phương trình đã cho trở thành 3x – 1 = x + 4

⇔ 2x = 5 ⇔ x =  (TM)

TH2: |3x – 1| = 1 – 3x khi 3x – 1 < 0 ⇔ x <

Phương trình đã cho trở thành 1 – 3x = x + 4

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Nếu 3x – 1 ≥ 0 ⇔ 3x ≥ 1 ⇔ x ≥  thì |3x – 1| = 3x – 1

Khi đó phương trình trở thành 3x – 1 = 3x – 1 ⇔ 0x = 0 (đúng)

Nên x ≥  luôn là nghiệm của phương trình

Nếu 3x – 1 < 0 ⇔ 3x < 1 ⇔ x <  thì |3x – 1| = 1- 3x

Khi đó phương trình trở thành 3x – 1 = 1 – 3x ⇔ 2 = 6x ⇔ x =  (KTM)

Do đó phương trình có nghiệm x ≥  hay phương trình có vô số nghiệm

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

TH1: |2x| = 2x khi 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

Phương trình đã cho trở thành 2x = 3 – 3x ⇔ 5x = 3 ⇔ x =  (TM)

TH2: |2x| = -2x khi 2x < 0 ⇔ x < 0

Phương trình đã cho trở thành -2x = 3 – 3x ⇔ x = 3 (KTM)

Vậy phương trình có nghiệm x =

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

TH1: |2x| = 2x khi 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

Phương trình đã cho trở thành 5 – 2x = -3x ⇔ 5 = -3x + 2x

⇔ x = -5 (KTM)

TH2: |2x| = -2x khi 2x < 0 ⇔ x < 0

Phương trình đã cho trở thành 5 + 2x = -3x ⇔ 5 = -5x ⇔ x = -1 (TM)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Ta có |1 – x| – |2x – 1| = x – 2 (1)

Xét:

Ta có bảng xét dấu đa thức 1 – x và 2x – 1 dưới đây

Từ bảng xét dấu ta có:

TH1: x <  khi đó |2x – 1| = 1 – 2x; |1 – x| = 1 – x nên phương trình (1) trở thành

1 – x – (1 – 2x) = x – 2 ⇔ 1 – x – 1 + 2x = x – 2 ⇔ x = x – 2

⇔ 0 = – 2 (vô lý)

TH2:  ≤ x ≤ 1, khi đó |2x – 1| = 2x – 1; |1 – x| = 1 – x nên phương trình (1) trở thành 1 – x – (2x – 1) = x – 2 ⇔ -3x + 2 = x – 2 ⇔ -4x = -4 ⇔ x = 1 (TM)

TH3: x > 1, khi đó |2x – 1| = 2x – 1; |1 – x| = x – 1 nên phương trình (1) trở thành

x – 1 – (2x – 1) = x – 2 ⇔ -x + 1 = x – 2 ⇔ 2x = 3 ⇔ x =  (TM)

vậy phương trình có hai nghiệm x = ; x = 1

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Ta có:

+) x + 1 = 0  ⇔ x = -1

+) x + 2 = 0 ⇔ x = -2

Ta có bảng:

TH2: x < -2 ta có

|x + 1| – |x + 2| = x + 3

⇔ (-x – 1) – (-x – 2) = x + 3

⇔ 1 = x + 3

⇔ x = -2 (KTM)

TH2: -2 ≤ x ≤ -1 ta có

|x + 1| – |x + 2| = x + 3

⇔ (-x – 1) – (x + 2) = x + 3

⇔ -x – 1 – x – 2 = x + 3

⇔ -2x -3 = x + 3

⇔ -3x = 6

⇔ x = -2 (TM)

TH3: x > -1 ta có

|x + 1| – |x + 2| = x + 3

⇔ (x + 1) – (x + 2) = x + 3

⇔ x + 1 – x – 2 = x + 3

⇔ -1 = x + 3

⇔x = -4 (KTM)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

+) Xét phương trình 4|2x – 1| + 3 = 15 (1)

TH1: |2x – 1| = 2x – 1 khi x ≥  

Phương trình (1) trở thành 4(2x – 1) + 3 = 15

⇔ 4(2x – 1) = 12 ⇔ 2x – 1 = 3

⇔ x = 2 (TM)

TH2: |2x – 1| = 1 – 2x khi x <  

Phương trình (1) trở thành 4(1 – 2x) + 3 = 15

⇔ 4(1 – 2x) = 12 ⇔ 1 – 2x = 3

⇔ x = -1 (TM)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = -1; x = 2

+) Xét phương trình |7x + 1| – |5x + 6| = 0

⇔ |7x + 1| = |5x + 6|

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

+) Xét phương trình 4|2x – 1| + 3 = 15 (1)

TH1: |2x – 1| = 2x – 1 khi x ≥  

Phương trình (1) trở thành 4(2x – 1) + 3 = 15

⇔ 4(2x – 1) = 12 ⇔ 2x – 1 = 3

⇔ x = 2 (TM)

TH2: |2x – 1| = 1 – 2x khi x <  

Phương trình (1) trở thành 4(1 – 2x) + 3 = 15

⇔ 4(1 – 2x) = 12 ⇔ 1 – 2x = 3

⇔ x = -1 (TM)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm nguyên x = -1; x = 2 nên A và D đúng

+) Xét phương trình |7x + 1| – |5x + 6| = 0

Dễ thấy các nghiệm của (1) không trùng với các nghiệm của (2) nên hai phương trình không tương đương hay C sai.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

TH1: |1 – x| = 1 – x với 1 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1

Bất phương trình đã cho trở thành

1 – x ≥ 3 ⇔ x ≤ -2, kết hợp điều kiện x ≤ 1 ta có x ≤ -2

TH2: |1 – x| = x – 1 với 1 – x < 0 ⇔ x > 1

Bất phương trình đã cho trở thành

x – 1 ≥ 3 ⇔ x ≥ 4, kết hợp điều kiện x > 1 ta có x ≥ 4

Vậy bất phương trình có nghiệm x ≥ 4, x ≤ -2

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

TH1: 2x – 3 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 3 ⇔ x ≥ . Khi đó bất phương trình trở thành:

2x – 3 < 3 ⇔ 2x < 6 ⇔ x < 3

Kết hợp với x ≥  ta được: ≤ x < 3 

TH2: 2x – 3 < 0 ⇔ x < . Khi đó bất phương trình trở thành:

-2x + 3 < 3 ⇔ -2x < 0 ⇔ x > 0

Kết hợp x <  ta được 0 < x < .

Kết hợp nghiệm của hai trường hợp ta được:

Vậy bất phương trình có nghiêm 0 < x < 3

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

TH1: |x – 6| = x – 6 với x – 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6

Bất phương trình đã cho trở thành

x – 6 + 5 ≥ x ⇔ -1 ≥ 0 (vô lý)

TH2: |x – 6| = 6 – x với x – 6 < 0 ⇔ x < 6

Bất phương trình đã cho trở thành

6 – x + 5 ≥ x ⇔ -2x ≥ -11 ⇔ x ≤ , kết hợp điều kiện x < 6 ta có x ≤

Bất phương trình có tập nghiệm S = {x Є R|x ≤ }

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn là x = 5

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

TH1: -x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 thì |-x + 2| = -x + 2. Khi đó:

(-x + 2) + 5 ≥ x – 2 ⇔ -x + 7 – x + 2 ≥ 2

⇔ -2x + 9 ≥ 0 ⇔ x ≤  

Kết hợp với x ≤ 2 ta được x ≤ 2

TH2: -x + 2 < 0 ⇔ x > 2 thì |-x + 2| = x – 2. Khi đó

x – 2 + 5 ≥ x – 2 ⇔ 5 > 0 (luôn đúng)

Do đó x > 2 luôn là nghiệm của bất phương trình

Vậy từ hai trường hợp ta thấy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x Є R

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 1

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Điều kiện 209x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

NX: VT ≥ 0 nên VP = 2020x – 2020 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1

Đáp án cần chọn là: A