Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

Phương pháp giải

– Cách 1: Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế.

+ Phương trình

+ Phương trình √A = √B ⇔ A = B.

+ Phương trình A² = B² ⇔ |A| = |B| ⇔ A = ±B

– Cách 2: Đặt ẩn phụ.

– Cách 3: Sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá.

– Một số phương trình đặc biệt có cách giải riêng biệt khác.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp bình phương để giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) √x = 3 (đkxđ: x ≥ 0)

⇔ x = 3² = 9 (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 9.

b) (đkxđ: x ≥ -1)

⇔ x + 1 = 4

⇔ x = 3 (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

c) (đkxđ: x ≥ -3/2 )

⇒ 2x + 3 = x²

⇔ x² – 2x – 3 = 0

⇔ (x + 1)(x – 3) = 0

⇔ x = -1 hoặc x = 3

Thử lại chỉ có giá trị x = 3 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

d) (đkxđ: x ≥ 1).

⇒ x – 1 = (x-3)²

⇔ x – 1 = x² – 6x + 9

⇔ x² – 7x + 10 = 0

⇔ (x – 2)(x – 5) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = 5

Thử lại chỉ có giá trị x = 5 thỏa mãn.

Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

a) Đặt

⇒ x² + 5x + 3 = t²

⇒ 2x² + 10x = 2(x² + 5x) = 2. (t² – 3) = 2t² – 6

Khi đó phương trình trở thành:

t + 2t² – 6 – 15 = 0 ⇔ 2t² + t – 21 = 0

⇔ (t-3) (2t + 7/2) = 0 ⇔ t = 3 (T/M) hoặc t = -7/2(L).

Với t = 3 thì

⇔ x² + 5x + 3 = 9

⇔ x² + 5x – 6 = 0

⇔ (x-1) (x+6) = 0

⇔ x = 1 hoặc x = -6

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1 và x = -6.

b) Đặt ⇒ x = t³.

Khi đó phương trình trở thành: t³ + t – 2 = 0 ⇔ (t – 1)(t² + t + 2) = 0 ⇔ t = 1 (Vì t² + t + 2 > 0 với mọi t).

Với t = 1 ⇒ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

c) (Đkxđ: x ≠ 0 và x – 1/x ≥ 0 ).

Chia cả hai vế cho x ta được:

Phương trình trở thành: t² + 2t – 3 = 0

⇔ (t-1)(t+3) = 0 ⇔ t = 1(t/m) hoặc t = -3(l)

Với t = 1 ⇒

⇔ x² – 1 = x

⇔ x² – x – 1 = 0

⇔ (x-1/2)² = 5/4

Vậy phương trình có hai nghiệm

d) Đặt

Ta thu được hệ phương trình :

⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau đây:

Hướng dẫn giải:

a) Phương pháp giải: Phân tích thành nhân tử

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

b)

Điều kiện xác định : ⇔ x = 7.

Thay x = 7 vào thấy không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) Phương pháp giải: Đánh giá

VT = VP ⇔

Vậy phương trình vô nghiệm.

+ TH1: Xét ⇔ x-1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10 .

Phương trình trở thành:

⇔ x – 1 = 81/4 ⇔ x = 85/4 (t.m)

+ TH2: Xét (không tồn tại)

+ TH3: Xét ⇔ 5 ≤ x ≤ 10 .

Phương trình trở thành:

⇔ 1 = 4 (vô nghiệm)

+ TH4: Xét ⇔ x ≤ 5.

Phương trình trở thành:

⇔ x – 1 = 1/4 ⇔ x = 5/4 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5/4 và x = 85/4

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Nghiệm của phương trình là :

A. x = 6    B. x = 3    C. x = 9    D. Vô nghiệm.

Đáp án: A

Bài 2: Phương trình có số nghiệm là:

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3.

Đáp án: C

(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

⇔ (x + 1)(x + 3) = 8

⇔ x² + 4x + 3 = 8

⇔ x² + 4x – 5 = 0

⇔ x² + 5x – x – 5 = 0

⇔ (x + 5)(x – 1) = 0

⇔ x = -5 hoặc x = 1 (t/m)

Vậy phương trình có hai nghiệm

Bài 3: Tổng các nghiệm của phương trình x – 5√x + 6 = 0 là:

A. 5    B. 9    C. 4    D. 13.

Đáp án: D

Đkxđ: x ≥ 0.

x – 5√x + 6 = 0

⇔ x – 3√x – 2√x + 6 = 0

⇔ (√x – 3) (√x – 2) = 0

(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 13.

Bài 4: Phương trình có nghiệm là:

A. x = 4    B. x = -3    C. x = -3 và x = 4    D. Vô nghiệm.

Đáp án: A

(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

⇒ 25 – x² = (x – 1)²

⇔ 25 – x² = x2 – 2x + 1

⇔ 2x² – 2x – 24 = 0

⇔ x² – x – 12 = 0

⇔ x² – 4x + 3x – 12 = 0

⇔ (x – 4)(x + 3) = 0

⇔ x = 4 hoặc x = -3.

Thử lại chỉ có x = 4 là nghiệm của phương trình.

Bài 5: Phương trình có số nghiệm là:

A. 0    B. 1    C. 2    D. Vô số.

Đáp án: D

(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

⇔ |x-3| = x-3 ⇔ x ≥ 3

Vậy phương trình có nghiệm đúng với mọi x ≥ 3 hay phương trình có vô số nghiệm.

Bài 6: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) (đkxđ: x ≥ -3/2 )

⇔

⇔ 2x + 3 = 1/4

⇔ 2x = -11/4

⇔ x = -11/8

Vậy phương trình có nghiệm x = -11/8 .

b) (đkxđ: x ≥ 0)

⇔ 3x = 144

⇔ x = 48

c) (đkxđ: x ≥ -1)

⇔ x + 1 = 25

⇔ x = 24.

Vậy phương trình có nghiệm x = 24.

Bài 7: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a)

⇔ x² + x + 1 = 2x² – 5x + 9

⇔ x² – 6x + 8 = 0

⇔ x² – 2x – 4x + 8 = 0

⇔ (x – 2)(x – 4) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = 4.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 4.

b)

⇒ 3x² + 4x + 1 = (x – 1)²

⇔ 3x² + 4x + 1 = x² – 2x + 1

⇔ 2x² – 6x = 0

⇔ 2x(x – 3) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Thử lại chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

⇔ x² + 5x – 2 = 4

⇔ x² + 5x – 6 = 0

⇔ (x + 6)(x – 1) = 0

⇔ x = 1 hoặc x = -6

Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 hoặc x = 1.

⇒ 4(x+1)(2x+3) = (21-3x)²

⇔ 4(2x² + 2x + 3x + 3) = 441 – 126x + 9x²

⇔ 8x² + 20x + 12 = 441 – 126x + 9x²

⇔ x² – 146x + 429 = 0.

⇔ x² – 3x – 143x + 429 = 0

⇔ (x – 3)(x – 143) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 143.

Thử lại cả hai đều thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 143.

Bài 8: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a)

Đặt

+ Th1: ⇔ x = 1.

+ Th2: ⇔ x = -7.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -7.

b) (đkxđ: x ≥ -1)

Đặt

⇒ a² – b² = (2x+3) – (x+1) = x + 2

⇒ a – b = a² – b²

⇔ (a – b)(a + b) – (a – b) = 0

⇔ (a – b)(a + b – 1) = 0

⇔ a = b hoặ a + b = 1

+ Th1: a = b ⇒

⇔ 2x + 3 = x + 1 ⇔ x = -2 < -1 (Loại)

+ Th2: a + b – 1 = 0.

Mà a ≥ 1; b ≥ 0 nên a + b ≥ 1 hay a + b – 1 ≥ 0.

Phương trình chỉ xảy ra ⇔ ⇔ x = -1 .

Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

c) (đkxđ: x² – 2x – 3 ≥ 0)

Phương trình trở thành: t² + 3t – 4 = 0

⇔ t² + 4t – t – 4 = 0

⇔ (t + 4)(t – 1) = 0

⇔ t = -4 (L) hoặc t = 1 (T/M)

⇔

⇔ x² – 2x – 3 = 1

⇔ x² – 2x – 4 = 0

⇔ (x – 1)² = 5

Bài 9: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

(1)

Ta có:

⇒ VT (1) = ≥ 2 + 3 = 5.

VP (1) = 4 – 2x – x² = 5 – (1 + 2x + x²) = 5 – (x + 1)² ≤ 5.

VT = VP ⇔ ⇔ x = -1.

Thử lại x = -1 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

Bài 10: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

(Đkxđ: x ≥ -1 )

+ TH1:

Khi đó phương trình trở thành:

⇔ x = 3 (t.m)

+ TH2: ⇔ x < 3.

Khi đó phương trình trở thành:

⇔ 4 = 4 (đúng với mọi x)

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 3.

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

box-most-viewed-courses