Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
Phương pháp giải
+ Cách vẽ đồ thị hàm số y = |f(x)|.
Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
Bước 2: Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành
Bước 3: Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành.
+ Vẽ đồ thị hàm số dạng 
Bước 1. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), giữ lại phần có hoành độ nhỏ hơn a.
Bước 2. Vẽ đồ thị hàm số y = g(x), giữ lại phần có hoành độ lớn hơn hoặc bằng a.
+ Biện luận nghiệm phương trình dựa vào đồ thị hàm số.
Số nghiệm của phương trình f(x) = m chính là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = f(x).
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = |2x – 4|.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Đồ thị hàm số y = |2x – 4| được vẽ bằng cách:
+ Vẽ đường thẳng y = 2x – 4
+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành
+ Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Ta được đồ thị hàm số như hình vẽ dưới.
Ví dụ 2: a) Vẽ đồ thị hàm số y = |2x – 1| + |x|.
b) Dựa vào đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |2x – 1| + |x|
Hướng dẫn giải:
a) Ta có bảng xét giá trị tuyệt đối sau:
Từ đó suy ra : 
Vậy đồ thị của hàm số y = |2x – 1| + |x| gồm ba phần:
+ Đường thẳng y = 1 – 3x chỉ lấy phần đồ thị có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 0.
+ Đường thẳng y = 1 – x chỉ lấy phần đồ thị có hoành độ lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1/2 .
+ Đường thẳng y = 3x – 1 chỉ lấy phần đồ thị có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1/2 .
Ta được đồ thị hàm số y = |2x – 1| + |x| như hình vẽ dưới.
b) Nhìn vào đồ thị ta thấy điểm có tung độ nhỏ nhất thuộc đồ thị hàm số là A(1/2;1/2) .
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1/2 , đạt tại x = 1/2 .
Ví dụ 3: a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Ta có bảng xét giá trị tuyệt đối sau:
Từ đó suy ra 
Vậy đồ thị hàm số gồm ba phần:
+ Một phần đường thẳng y = 3 – 3x lấy phần có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 1/2
+ Một phần đường thẳng y = x + 1 lấy phần có hoành độ nằm giữa 1/2 và 2.
+ Một phần đường thẳng y = 3x – 2 lấy phần có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 2.
Ta có đồ thị hàm số như dưới hình:
b) Số nghiệm của phương trình
+ Nếu m < 3/2 , đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số
⇒ Phương trình vô nghiệm.
+ Nếu m = 3/2 , đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại điểm duy nhất (1/2; 3/2)
⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất .
+ Nếu m > 3/2 , đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm pb
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Vậy: Với m < 3/2 , phương trình vô nghiệm.
Với m = 3/2 , phương trình có nghiệm duy nhất .
Với m > 3/2 , phương trình có hai nghiệm.
Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Bài 1: Hàm số y = |x – 2| có giá trị nhỏ nhất là:
A. 0 B. 2 C. -2 D. -1.
Đáp án: A
Bài 2: Giá trị của hàm số y = |2x – 3| – |-x + 1| tại x = 0 là:
A. 2 B. 4 C. -2 D. -4.
Đáp án: A
Bài 3: Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?
A. y = |3x-3| B. y = |x-1|
C. y = |3x| D. y = |x-2| .
Đáp án: A
Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Phương trình f(x) = m có thể có tối đa bao nhiêu nghiệm?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Đáp án: D
Bài 5: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Đáp án: C
Bài tập tự luận tự luyện
Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số y = |x-2| – 1
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Từ đó suy ra đồi thị hàm số gồm 2 phần:
+ Một phần đường thẳng y = x – 3 có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 2.
+ Một phần đường thẳng y = 1 – x có hoành độ nhỏ hơn 2.
Ta có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới:
Bài 7: Vẽ đồ thị hàm số 
Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
Hướng dẫn giải:
Có thể nhận thấy, đồ thị hàm số 
+ Phần đường thẳng y = 3 – x với các điểm có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 1.
+ Phần đường thẳng y = 2x với các điểm có hoành độ lớn hơn 1.
Ta có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới:
Dựa vào đồ thị hàm số thấy điểm có tung độ nhỏ nhất là (1; 2).
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2, khi x = 1.
Bài 8: Tìm m để phương trình |x – 4| – |2x + 3| – m = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Xét hàm số y = |x – 4| – |2x + 3|.
Ta có bảng xét giá trị tuyệt đối dưới đây:
Suy ra: 
Vậy đồ thị hàm số gồm ba phần:
+ Phần đường thẳng y = x + 7 lấy các điểm có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng -3/2 .
+ Phần đường thẳng y = 1 – 3x lấy các điểm có hoành độ từ -3/2 đến 4.
+ Phần đường thẳng y = -x – 7 lấy các điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 4.
Ta có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới :
+ Phương trình |x – 4| – |2x + 3| – m = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ |x – 4| – |2x + 3| = m có hai nghiệm pb
⇔ Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = |x – 4| – |2x + 3| tại hai điểm phân biệt
⇔ m < 11/2 (tung độ điểm A).
Vậy với m < 11/2 thì phương trình |x – 4| – |2x + 3| – m = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Bằng đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình |x| + |x-2| = m.
Hướng dẫn giải:
Xét hàm số y = |x| + |x – 2|
+ Xét x ≤ 0, hàm số trở thành y = -x + (2 – x) = 2 – 2x
+ Xét 0 < x < 2, hàm số trở thành y = x + (2 – x) = 2.
+ Xét x ≥ 2, hàm số trở thành y = x + x – 2 = 2x – 2.
Suy ra 
Đồ thị hàm số trên gồm ba phần:
+ Phần đường thẳng y = 2 – 2x lấy các điểm có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 0.
+ Phần đường thẳng y = 2 lấy các điểm có hoành độ từ 0 đến 2.
+ Phần đường thẳng y = 2x – 2, lấy các điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 2.
Ta có đồ thị như hình vẽ dưới (đường đồ thị màu đỏ):
Số nghiệm phương trình phụ thuộc số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = |x| + |x – 2|.
+ Nếu m < 2, số giao điểm là 0, phương trình vô nghiệm.
+ Nếu m = 2, số giao điểm là vô số, phương trình có vô số nghiệm.
+ Nếu m > 2, số giao điểm bằng 2, phương trình có hai nghiệm.
Kết luận: Với m < 2, phương trình vô nghiệm.
Với m = 2, phương trình có vô số nghiệm.
Với m > 2, phương trình có hai nghiệm.
Bài 10: Cho hàm số 
a) Vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: 
+ Xét x ≤ 1, y = (1 – x) + (3 – x) = 4 – 2x.
+ Xét 1 < x < 3, y = x – 1 + 3 – x = 2.
+ Xét x ≥ 3, y = x – 1 + x – 3 = 2x – 4.
⇒ 
Đồ thị hàm số gồm ba phần :
+ Phần đường thẳng y = 4 – 2x lấy các điểm có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 1.
+ Phần đường thẳng y = 2 lấy các điểm có hoành độ từ 1 đến 3.
+ Phần đường thẳng y = 2x – 4 lấy các điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 3.
Ta có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới :
b) Quan sát đồ thị hàm số, nhận thấy điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất bằng 2.
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại mọi x thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 3.
c) Số nghiệm của phương trình 
+ Nếu m – 1 < 2 hay m < 3 ⇒ hai đồ thị không có giao điểm ⇒ phương trình vô nghiệm.
+ Nếu m – 1 = 2 hay m = 3 ⇒ có vô số giao điểm ⇒ phương trình có vô số nghiệm.
+ Nếu m – 1 > 2 hay m > 3 ⇒ có hai giao điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm.
Kết luận: Với m < 3, phương trình vô nghiệm.
Với m = 3, phương trình có vô số nghiệm.
Với m > 3, phương trình có hai nghiệm.
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
box-most-viewed-courses