Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng (d₁): y = a₁x + b₁ và (d₂): y = a₂x + b₂.

+ (d₁) cắt (d₂) nếu a₁ ≠ a₂ .

+ (d₁) // (d₂) nếu a₁ = a₂ và b₁ ≠ b₂ .

+ (d₁) ≡ (d₂) nếu a₁ = a₂ và b1 = b₂.

Lưu ý: Nếu a₁.a₂ = -1 thì (d₁) vuông góc với d₂.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) y = 1/2x + 2 và y = -1/2x + 1 .

b) y = 2x + 3 và y = 2x – 3.

c) y = 2x + 1 và y = -1/2x

Hướng dẫn giải:

a) Đồ thị hàm số y = 1/2x + 2 có hệ số góc k₁ = 1/2

Đồ thị hàm số y = -1/2x + 1 có hệ số góc k₂ = -1/2 .

Vì k₁ ≠ k₂ nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau.

b) Đồ thị hàm số y = 2x + 3 có hệ số góc k₁ = 2.

Đồ thị hàm số y = 2x – 3 có hệ số góc k₂ = 2

Vì k₁ = k₂ nên đồ thị hai hàm số trên song song với nhau.

c) Đồ thị hàm số y = 2x + 1 có hệ số góc k₁ = 2

Đồ thị hàm số y = -1/2x có hệ số góc k₂ =

Vì k₁ ≠ k₂ nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau.

Hơn nữa k₁.k₂ = -1 nên hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.

Ví dụ 2: Tìm m để hai đường thẳng y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4:

a) Song song     b) Vuông góc.

Hướng dẫn giải:

a) y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4 song song

⇔ m + 1 = 2m – 1

⇔ m = 2.

Vậy m = 2.

b) y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4 vuông góc

⇔ (m + 1)(2m – 1) = -1

⇔ 2m² + m – 1 = -1

⇔ 2m² + m = 0

⇔ m(2m + 1) = 0

Vậy với m= 0 hoặc m = -1/2 thì hai đường thẳng trên vuông góc.

Ví dụ 3: a) Tìm đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.

b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 và đi qua A(2; -1).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b.

(d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 ⇒ a = 2.

(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 ⇒ b = 4.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 2x + 4.

b) Gọi đường thẳng cần tìm là (d’): y = kx + m

(d) vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 ⇔ k. 1/3 = -1 ⇔ k = -3.

(d) đi qua A(2; -1) ⇔ -1 = 2k + m = 2.(-3) + m ⇔ m = 5.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = -3x + 5.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Đồ thị của hàm số y = 2x + 1 và y = 2x – 1 :

A. Song song    B. Vuông góc    C. Cắt nhau    D. Trùng nhau.

Đáp án: A

Bài 2: Đường thẳng y = 2x + 1 vuông góc với đường thẳng nào dưới đây ?

A. y = 2x + 3    B. y = -2x + 3

C. y = 1/2x    D. y= -1/2x

Đáp án: D

Bài 3: Đường thẳng y = (2m – 3)x + 1 và đường thẳng y = -x + 3 song song nhau thì giá trị của m là :

A. -1    B. 0    C. 1    D. 2

Đáp án: C

Bài 4: Hai đường thẳng y = (m – 2)x + 3 và y = mx – 1 vuông góc với nhau thì giá trị của m là :

A. m = 0    B. m = 1    C. m = 2    D. m = 3.

Đáp án: B

Bài 5: Hàm số có đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua điểm A(-1 ; 2) là :

A. y = 2x + 4    B. y = -2x.

C. y = -1/2x + 3/2    D. y = -1/2x – 3/2 .

Đáp án: C

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Tính góc tạo bởi hai đường thẳng y = -3x + 1 và y = 1/3x.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d₁) : y = -3x + 1 có hệ số góc k₁ = -3

Đường thẳng (d₂) : y = 1/3x có hệ số góc k₂ = 1/3 .

Ta có : k₁. k₂ = -1

⇒ (d₁) ⊥ (d₂).

Hay góc tạo bởi (d₁) và (d₂) là 90^o.

Bài 7: Cho hai đường thẳng (d₁) y = (2 – m²)x + m – 5 và (d₂) y = mx + 3m – 7.

a) Tìm m để d₁ // d₂.

b) Có giá trị nào của m để d₁ và d₂ trùng nhau không ?

Hướng dẫn giải:

a) d₁ // d₂

⇔ m = -2.

b) d₁ và d₂ trùng nhau

⇔ m = 1.

Bài 8: Cho đường thẳng (d) : y = -2x + 1. Xác định đường thẳng d’ đi qua M(-1 ; 2) và vuông góc với d.

Hướng dẫn giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là y = kx + m

(d’) vuông góc với (d) ⇔ k.(-2) = -1 ⇔ k = 1/2 .

(d’) đi qua M(-1; 2) ⇔ 2 = k.(-1) + m hay m = 2 + k = 5/2 .

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 1/2x + 5/2 .

Bài 9: Cho đường thẳng (d) : y = 2x + 1 và điểm M(1 ; 1). Xác định hình chiếu của M lên đường thẳng (d).

Hướng dẫn giải:

+ Tìm đường thẳng d’: y = kx + m qua M và vuông góc với d:

(d’) vuông góc với (d) ⇔ k.2 = -1 ⇔ k = -1/2 .

(d’) đi qua M(1; 1) ⇔ ⇔ m = 1/2 .

Vậy d’: y = -1/2x + 1/2 .

+ Hình chiếu H của M trên d chính là giao điểm của d và d’.

Hoành độ điểm H là nghiệm của phương trình:

2x +1 = -1/2x + 1/2 ⇔ x = -1/5 ⇒ y = 3/5 .

Vậy hình chiếu của M trên d là H (-1/5; 3/5).

Bài 10: Cho hai hàm số y = (m + 2)x + n – 1 và y = (4 – 2m)x + 5 – n. Xác định m và n để đồ thị hai hàm số trên vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2.

Hướng dẫn giải:

+ y = (m + 2)x + n – 1 và y = (4 – 2m)x + 5 – n cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2

⇔ (m + 2). 2 + n – 1 = (4 – 2m).2 + 5 – n

⇔ n = -3m + 5

+ y = (m + 2)x + n – 1 và y = (4 – 2m)x + 5 – n vuông góc

⇔ (m + 2).(4 – 2m) = -1

⇔ -2m² + 8 = -1

⇔ m² = 9/2

⇔

+ Với m =

+ Với m =

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

box-most-viewed-courses