Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

Phương pháp giải

+ Với hai số thực a, b bất kì ta luôn có:

+ Với hai số dương a,b bất kì ta có: a < b ⇔ √a < √b .

+ A² ≥ 0 với mọi biểu thức A.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: So sánh:

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 3 < 4, suy ra √3 < √4 = 2

Vậy √3 + 1 < 2 + 1 hay √3 + 1 < 3.

b) Ta có: 8 < 9, suy ra √8 < √9 = 3

suy ra 3√8 < 3.3 = 9

suy ra -3√8 > -9

Vậy -3√8 > -9

c) Ta có: 17 > 16, suy ra √17 > √16 = 4

5 > 4, suy ra √5 > √4 = 2

Vậy √17 + √5 + 1 > 4 + 2 + 1 = 7

Mà √45 < √49 = 7

Do đó : √17 + √5 + 1 > √45

d) Ta có : √1 < √36 nên 1 > 1/√36

Do đó :

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a) x + √x + 1 với x ≥ 0.

b) x – 2√(x-1) với x ≥ 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có với mọi x ≥ 0 thì √x ≥ 0

⇒ x + √x + 1 ≥ 0 + 0 + 1 = 1.

Dấu “=” khi x = 0.

Vậy Min (x + √x + 1) = 1 đạt được khi x = 0.

b)

Dấu “=” khi ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2.

Vậy Min (x – 2√(x-1)) = 0 đạt được khi x = 2.

Ví dụ 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

Hướng dẫn giải:

= 4

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Với hai số thực a < b, khẳng định nào dưới đây là đúng ?

Đáp án: B

Bài 2: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là :

A. 3    B. 4

C. 2    D. 5.

Đáp án: B

Bài 3: Giá trị lớn nhất của biểu thức

là :

A. 3    B. 2

C. 2√2    D. 3√2

Đáp án: C

Bài 4: So sánh nào dưới đây là đúng ?

Đáp án: B

Bài 5: Với mọi số nguyên dương n, so sánh :

với 2 ta được :

A. A > 2    B. A < 2

C. A = 2    D. không so sánh được

Đáp án: B

Bài 6: So sánh

và 6.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Do đó:

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ : ∀ x ∈ R.

Ta có: (x-4)² + 2 ≥ 2

Dấu “=” khi x – 4 = 0 ⇔ x = 4.

Vậy Min A = √2 – 12 xảy ra khi x = 4.

b) Đkxđ: ∀x, y ∈ R.

Ta có:

(y-2)² ≥ 0

⇒ ≥ 2 + 0 + 2010 = 2012

Dấu “=” khi

Vậy Min B = 2012 đạt được khi x = 1; y = 2.

Bài 8: Chứng minh biểu thức :

với x ≠ ±8; x ≠ 0 không phụ thuộc vào giá trị của x.

Hướng dẫn giải:

Đặt , biểu thức trở thành:

= 2 – y + y = 2.

Vậy giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 9: Chứng minh rằng, nếu : thì :

Hướng dẫn giải:

Đặt ax³ = by³ = cz³ = t

Ta có:

Mặt khác:

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Bài 10: Cho biểu thức S_n = (2-√3)ⁿ + (2+√3)ⁿ (với n nguyên dương).

a) Chứng minh S_3n + 3S_n = S_n³.

b) Tính S₃, S₉ .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: S_n³ – 3S_n

= [(2-√3) + (2+√3)ⁿ]³ – 3. [(2-√3) + (2+√3)ⁿ]

= (2-√3)³ⁿ + (2+√3)³ⁿ + 3.(2-√3)ⁿ (2+√3)ⁿ. [(2-√3) + (2+√3)ⁿ] – 3.[(2-√3) + (2+√3)ⁿ]

= (2-√3)³ⁿ + (2+√3)³ⁿ + 3.[(2-√3)ⁿ +(2+√3)ⁿ]- 3.[(2-√3)ⁿ + (2+√3)ⁿ]

(Vì (2-√3)ⁿ (2+√3)ⁿ = [(2-√3) (2 +√3)]ⁿ = 1 ).

= (2-√3)³ⁿ + (2+√3)³ⁿ = S_3n (đpcm).

2. Ta có: S₁ = (2-√3)¹ + (2+√3)¹ = 4

S₃ = S₁³ – 3S₁ = 4³ – 3.4 = 52

S₉ = S₃³ – 3S₃ = 52³ – 3.52 = 140452

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

box-most-viewed-courses